شما می توانید ماتریس ها را با هم جمع بزنید، یک ماتریس را از دیگری تفریق کنید، آنها را در اعدادی ضرب کنید، ماتریس ها را در یکدیگر ضرب کنید، و آنها را تقسیم نمایید. خوب، در واقع شما ماتریس ها را تقسیم نمی کنید؛ بلکه مسألۀ تقسیم را به یک مسالۀ ضرب تبدیل می کنید. با این وجود، شما نمی توانید هر ماتریسی را با ماتریس دیگر جمع، تفریق، یا ضرب کنید. هر کدام از این عملیات ها مجموعه قوانین خاص خودش را دارد. در این فصل این قوانین را پوشش می دهم.

جمع و تفریق ماتریس ها

شکل 1-15 قوانین جمع زدن و تفریق کردن ماتریس ها را به شما نشان می دهد.


در این شکل می بینید که چرا ماتریس ها قبل از انجام عملیات جمع و تفریق الزام دارند که ابعاد یکسانی داشته باشند. ماتریس های متفاوت درایه هایی بدون شریک خواهند داشت.

در اینجا مثالی با اعداد واقعی برای درایه ها داریم. اگر می خواهید ماتریس های زیر را جمع یا تفریق کنید، صرفاً درایه ها را ترکیب یا تفریق کنید:
$$
C=
\begin{bmatrix}
2&5&-3&8\\
-1&0&7&-4\\
\end{bmatrix}
,D=
\begin{bmatrix}
-2&4&3&-6\\
0&2&7&3\\
\end{bmatrix}
\\[4ex]
C+D=
\begin{bmatrix}
2+(-2)&5+4&-3+3&8+(-6)\\
-1+0&0+2&7+7&-4+3\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0&9&0&2\\
-1&2&14&-1\\
\end{bmatrix}
\\[4ex]
C-D=
\begin{bmatrix}
2-(-2)&5-4&-3-3&8-(-6)\\
-1-0&0-2&7-7&-4-3\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
4&1&-6&14\\
-1&-2&0&-7\\
\end{bmatrix}
$$

ضرب کردن ماتریس ها در اسکالر

اسکالر (Scalar) صرفاً یک نام فانتزی برای عدد است. جبر از کلمۀ اسکالر در ارتباط با ماتریس ها استفاده می کند تا یک عدد را با یک ماتریس که دارای ابعاد می باشد، مقایسه کند. یک اسکالر هیچ ابعادی ندارد، بنابراین شما می توانید آن را به صورت یکنواخت در سرتاسر آن ماتریس مورد استفاده قرار دهید.


به عنوان مثال، برای ضرب کردن ماتریس \(A\) در عدد \(k\) ، هر درایه در ماتریس \(A\) را در \(k\) ضرب می کنید. شکل 2-15 چگونگی انجام این ضرب را به شما نشان می دهد.


در اینجا چگونگی انجام این فرآیند را با اعداد واقعی می بینید. با ضرب کردن ماتریس \(F\) در اسکالر \(3\) ، ماتریسی را ایجاد می کنید که هر درایه از آن مضربی از \(3\) می باشد:
$$
F=
\begin{bmatrix}
4&-3&1\\
2&0&-1\\
5&10&-4\\
\end{bmatrix}
,3F=3
\begin{bmatrix}
4&-3&1\\
2&0&-1\\
5&10&-4\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
12&-9&3\\
6&0&-3\\
15&30&-12\\
\end{bmatrix}
$$

ضرب دو ماتریس در یکدیگر

ضرب ماتریس ها نیازمند اینست که تعداد ستونها در ماتریس اول با تعداد سطرها در ماتریس دوم، برابر باشند. این بدین معنا می باشد که، به عنوان نمونه، یک ماتریس با \(3\) سطر و \(11\) ستون، می تواند در ماتریسی با \(11\) سطر و \(4\) ستون، ضرب گردد ـــ اما باید این ترتیب برقرار باشد. \(11\) ستون موجود در ماتریس اول باید با \(11\) ردیف موجود در ماتریس دوم، مطابقت داشته باشند.

ضرب ماتریس ها نیازمند برخی قوانین شدید در مورد ابعاد و ترتیب قرار گیری ماتریس ها در عملیات ضرب می باشد. حتی زمانیکه ماتریس ها مربع باشند و به دلیل مربع بودن قابلیت جابجایی با یکدیگر را دارا باشند، هنگامی که آنها را در ترتیب های متفاوت در یکدیگر ضرب می کنید، به نتایج یکسانی نخواهید رسید. به طور کلی، حاصلضرب \(AB\) با حاصلضرب \(BA\) برابر نخواهند بود.

تعیین ابعاد

اگر بخواهید ماتریس ها را در یکدیگر ضرب کنید، تعداد ستونها در ماتریس اول باید با تعداد سطرها در ماتریس دوم برابر باشند. بعد از ضرب ماتریس ها، به ماتریس جدیدی می رسید که تعداد سطرهایش با تعداد سطرهای ماتریس اول برابر می باشد و تعداد ستونهایش با تعداد ستونهای ماتریس دوم برابر می باشد.


به عنوان مثال، اگر یک ماتریس \(2 \times 3\) را در یک ماتریس \(3 \times 7\) ضرب کنید، به یک ماتریس \(2 \times 7\) خواهید رسید. با این وجود، شما نمی توانید یک ماتریس \(2 \times 2\) را در یک ماتریس \(7 \times 2\) ضرب کنید. برای نشان دادن اینکه ترتیبی که در آن ضرب را انجام می دهید واقعاً مهم می باشد، شما می توانید یک ماتریس \(7 \times 2\) را در یک ماتریس \(2 \times 2\) ضرب کنید و به یک ماتریس \(7 \times 2\) برسید.

تعریف فرآیند ضرب

ضرب ماتریس ها کار آسانی نیست، اما آنقدرها هم سخت نیست ـــ به شرطی که بتوانید عملیات ضرب و جمع را به درستی انجام بدهید. هنگامی که دو ماتریس را در یکدیگر ضرب می کنید، درایه های آنها را با قوانین زیر محاسبه می کنید:


اوکی، این قانون تا حدودی شبیه جادوگری به نظر می رسد. چطور است که یک چیز واقعی تر به شما بدهم؟ در شکل 3-15 ، ماتریس \(A\) دارای ابعاد \(3 \times 2\) می باشد، و ماتریس \(B\) دارای ابعاد \(2 \times 4\) می باشد. بنابر قوانینی که بر ضرب ماتریس ها حکمرانی می کنند، شما می توانید ماتریس \(A\) را در ماتریس \(B\) ضرب کنید، زیرا تعداد ستونها در ماتریس \(A\) برابر با دو می باشد، و تعداد سطرها در ماتریس \(B\) نیز دو می باشد. ماتریس نتیجه شده از ضرب این دو ماتریس، دارای ابعاد \(3 \times 4\) خواهد بود.


در اینجا درایۀ \(c_{11}\) با ضرب کردن درایه های موجود در اولین سطر از ماتریس \(A\) در درایه های موجود در اولین ستون از ماتریس \(B\) و سپس جمع زدن حاصل این ضربها با یکدیگر، بدست می آید: \(c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}\) . همچنین درایۀ \(c_{23}\) با ضرب کردن سطر دوم از ماتریس \(A\) در ستون سوم از ماتریس \(B\) و جمع کردن آنها با یکدیگر حاصل شده است: \(c_{23}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}\) .

اگرچه آخرین مثال واقعی تر بود، برای شما اعداد را تدارک ندیده بود. در ماتریس های زیر، شما می توانید ماتریس \(J\) را در ماتریس \(K\) ضرب کنید، زیرا تعداد ستونها در ماتریس \(J\) با تعداد سطرها در ماتریس \(K\) مطابقت دارند. شما همچنین می توانید محاسبات مورد نیاز برای یافتن ماتریس نتیجه را مشاهده کنید.


با انجام این ضرب، شما به یک ماتریس \(2 \times 2\) می رسید، زیرا ضرب کردن یک ماتریس \(2 \times 3\) در یک ماتریس \(3 \times 2\) منجر به ایجاد یک ماتریس با دو سطر و دو ستون می شود. فرآیند ضرب ممکن است اندکی پیچیده به نظر برسد، اما بعد از اینکه با تکرار و تمرین بر روی آن تسلط پیدا کردید، می توانید این ضرب و جمع ها را در ذهنتان انجام بدهید.

کاربردهای ماتریس ها و عملیات آنها

یکی از ویژگی های بزرگِ ماتریس ها، ظرفیت آنها برای سازماندهی اطلاعات و سودمندتر کردن آن می باشد. اگر صاحب یک کسب و کار کوچک هستید، می توانید آمار فروشها و پرداختهایتان را بدون متوسل شدن به ماتریس ها مدیریت کنید. اما شرکتها و کارخانجات بزرگ، اگر نگوییم هزاران، صدها آیتم مختلف دارند که نیاز به ردیابی آنها می باشد. ماتریس ها به سازمانها کمک می کنند، و از آنجا که می توانید آنها را در کامپیوترها وارد نمایید، دقت و سادگی استفاده از آنها بیشتر هم شده است.

وضعیت فروش زیر را که در یک فروشگاه لوازم الکترونیکی رخ می دهد، در نظر بگیرید. در این فروشگاه آریل (Ariel)، بن (Ben)، کارلی (Carlie)، و دان (Don) کار می کنند. در ژانویه، آریل \(12\) تلویزیون، \(9\) دستگاه پخش سی دی، و \(4\) کامپیوتر فروخت؛ بن \(21\) دستگاه پخش سی دی و \(3\) کامپیوتر فروخته است؛ کارلی \(4\) تلویزیون، \(10\) دستگاه پخش سی دی، و \(1\) کامپیوتر فروخته است؛ و دان \(13\) تلویزیون، \(12\) دستگاه پخش سی دی، و \(5\) کامپیوتر فروخته است. در شکل 4-15 شما نتایج فروش آریل، بن، کارلی، و دان را در طول ماه ژانویه می بینید (همچنین آمار فروش فوریه، و مارچ را نیز می بینید). بینید ماتریس ها چگونه به زیبایی هر چه تمامتر، اطلاعات را سازماندهی کرده اند!

هنگامی که اطلاعات را درون ماتریس ها سازماندهی می کنید، در یک نگاه می توانید ببینید، چه کسی بیشتر از بقیه فروخته است، چه کسی ماه بدی را داشته است، چه کسی ماه خوبی را داشته است، و کدام لوازم الکترونیکی به نظر می رسد بهتر به فروش رفته باشند. وقتی این اطلاعات را در اختیار داشته باشید، چندین سوال ممکن است به ذهن شما خطور کند.

تعیین اینکه از هر آیتم به چه میزان فروش رفته است

اولین سوال اینست: این فروشگاه، در طول این سه ماه، چند تا تلویزیون، دستگاه پخش سی دی، و کامپیوتر، فروخته است؟ از آنجا که تمامی ماتریسهای موجود در شکل 4-15 دارای ابعاد یکسانی می باشند، شما می توانید آنها را با یکدیگر جمع بزنید. شکل 5-15 به شما نشان می دهد چگونه با عملیات جمع ماتریسها، مجموع فروش این سه ماه را بدست می آورید (حاصلجمع مجزا برای هر فروشنده).


برای یافتن مجموع فروش، هر نوع از لوازم الکترونیکی، ماتریس حاصل جمع را (ماتریسی را که بدست آورده اید) در ماتریس سطریِ \(T=\begin{bmatrix}1&1&1&1 \end{bmatrix}\) ضرب می کنید. شما یک ماتریس با ابعاد \(1 \times 4\) را در یک ماتریس با ابعاد \(4 \times 3\) ضرب می کنید، بنابراین نتیجۀ بدست آمده یک ماتریس با ابعاد \(1 \times 3\) خواهد بود؛ مجموع هر وسیلۀ الکترونیکی به ترتیب از چپ به راست ظاهر می شود. به ماتریس سطریِ \(T\) با نام هر فروشنده در بالای آن فکر کنید. هنگامی که این ماتریس را در ماتریس حاصل جمع ضرب می کنید، هر کدام از ستونهای \(T\) را با هر کدام از سطرهای مجموع، مطابقت می دهید. ستونهای \(T\) و سطرهای موجود در مجموع (sum) فروشنده ها هستند، بنابراین آنها به خط می شوند. با ضرب کردن تمامی اعداد ماتریس دوم در \(1\) ها، اساساً آنها را در \(100\) درصد ضرب می کنید ـــ شما همه چیز را با هم جمع می زنید. ماتریس حاصله یک ماتریس سطری می باشد که تعداد هر آیتم الکترونیکی در ستون مربوط به آن قرار دارد. شکل 6-15 این محاسبات و نتایج آن را به شما نشان می دهد.

تعیین فروش هر فروشنده

در اینجا سوال دیگری را می بینید که می توانید از روی ماتریس های شکل 4-15 پاسخ آن را بدهید: هر فروشنده چقدر پول بدست آورده است؟ به عنوان مثال، فرض کنید که قیمت میانگین یک تلویزیون، دستگاه پخش سی دی، و کامپیوتر به ترتیب برابر با \($1,500\) ، \($400\) ، و \($2,000\) باشند. شما می توانید یک ماتریس ستونی بسازید که شامل این مقادیر دلاری باشد، آن را ماتریس dollar بنامید، و آن را در ماتریس sum ضرب کنید.

شکل 7-15 حاصلضرب ماتریس sum در ماتریس dollar را همراه با مبالغ حاصله توسط هر فروشنده نشان می دهد. در اینجا نتایج ضرب مقادیر موجود در هرسطر از ماتریس اول در ستونهای ماتریس دوم را می بینید:

تعیین چگونگی افزایش فروش

در اینجا آخرین سوال را که با درصد سر و کار دارد، داریم: اگر فروشنده ها بخواهند تا در طول سه ماهۀ بعدی، \(125\) درصد فروش را افزایش بدهند، هر فروشنده باید در هر دسته بندی چندتا لوازم الکترونیکی بفروشد؟

شما این مسأله را به عنوان یک مسألۀ ضرب اسکالر می شناسید، زیرا هر درایه در ماتریس sum را در \(125\) درصد ضرب می کنید تا هدف فروش را بدست آورید. مقدار \(1.25\) نشان دهندۀ \(125\) درصد می باشد ـــ \(25\) درصد بیشتر از آخرین سه ماهه. شکل 8-15 نتایج این ضرب اسکالر را به شما نشان می دهد و یک ماتریس دومی هم داریم که مقادیر در آن گرد شده اند. دلیل گرد کردن مقادیر ماتریس اینست که شما نمی توانید نیمی از یک کامپیوتر را بفروشید، و مقادیر گرد شده به نحوی هستند که هر فروشنده به هدف نهایی برسد یا از آن اندکی بگذرد، نه اینکه اندکی زیر هدف فروش قرار بگیرد.