خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 5258 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

دنباله های حسابی و هندسی

دنباله های حسابی و هندسی

کد مطلب : 5343 PDF

دنباله های حسابی (arithmetic sequences) و دنباله های هندسی (geometric sequences) انواع خاصی از دنباله ها هستند که کاربردهای زیادی در ریاضیات دارند. از آنجا که شما معمولاً می توانید دنباله های حسابی و هندسی را شناسایی کنید و قاعده های عمومی آنها را به آسانی بنویسید، این دنباله ها تبدیل به بهترین دوستان ریاضیدان ها شده اند. همچنین، دنباله های حسابی و هندسی دارای فرمول های بسیار زیبایی برای مجموع جملاتشان هستند، که یک شاخۀ جدید کامل از فعالیتهای ریاضی را باز کرده اند.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

دنباله های حسابی


دنباله های حسابی، دنباله هایی هستند که جملاتشان دارای تفاضل یکسانی می باشند، تفاوتی هم نمی کند که تعداد جملات موجود در لیست چقدر باشد.

یک روش برای توصیف فرمول عمومیِ دنباله های حسابی، فرمول زیر می باشد:
$$ a_n = a_{n-1}+d $$
این فرمول بیان می کند که جملۀ \(n\)ام از دنباله برابر است با جمله ای که دقیقاً قبل از آن قرار دارد، بعلاوۀ تفاضل مشترک \((d)\) .

معادلۀ دیگری که با دنباله های حسابی می توانید مورد استفاده قرار دهید، معادلۀ زیر می باشد:
$$ a_n = a_1 + (n-1)d $$
این فرمول می گوید که جملۀ \(n\)ام از دنباله برابر است با جملۀ اول \((a_1)\) ، بعلاوۀ \(n-1\) ضربدر تفاضل مشترک \((d)\) .

یادتان باشد: معادله ای که شما مورد استفاده قرار می دهید، بستگی به کاری دارد که می خواهید انجامش بدهید. اگر یک جمله را در دنباله انتخاب کنید و بخواهید جملۀ بعدی را مشخص پیدا کنید، از فرمول اول استفاده می کنید. به عنوان مثال، اگر بخواهید جملۀ بعد از \(201\) را در دنبالۀ \(a_n=a_{n-1}+3\) بیابید، صرفاً کافیست \(3\) را به \(201\) بیفزایید و جملۀ بعد از آن یعنی \(204\) را بدست آورید. از فرمول دوم زمانی استفاده می کنید که بخواهید یک جملۀ خاص را در یک دنباله بیابید. به عنوان مثال، اگر بخواهید جملۀ \(50\)ام را در دنبالۀ \(a_n=5+(n-1)7\) بیابید، \(n\) را با \(50\) جایگزین می کنید، \(1\) را از آن تفریق می کنید، در \(7\) ضربش می کنید، \(5\) را به آن می افزایید، و به \(348\) خواهید رسید. این روش بسیار ساده تر از اینست که بخواهید \(50\) جمله را در دنباله لیست کنید. به هر حال اگر اطلاعات کافی داشته باشید می توانید با استفاده از یکی از این دو فرمول به قاعدۀ کلی دنباله دست یابید.

به عنوان مثال، اگر بدانید که تفاضل مشترک بین جملات یک دنبالۀ حسابی \(4\) می باشد و ششمین جملۀ دنباله برابر با \(37\) می باشد، می توانید این اطلاعات را در معادلۀ \(a_n=a_1+(n-1)d\) جایگذاری کنید، اجازه دهید \(a_n=37\) و \(n=6\)، و \(d=4\) باشد. به نتایج زیر می رسید:
$$
a_n = a_1+(n-1)d \\[2ex]
a_6 = a_1+(6-1)d \\[2ex]
37 = a_1+(6-1) \cdot 4 \\[2ex]
37 = a_1+20 \\[2ex]
17 = a_1
$$
شما دریافتید که اولین جملۀ این دنباله برابر با \(17\) می باشد. اکنون می توانید با جایگذاری \(a_1\) و \(d\) و ساده سازی، به قاعدۀ کلی این دنباله برسید:
$$
a_n=a_1 + (n-1)d \\[2ex]
a_n=17 + (n-1) \cdot 4 \\[2ex]
a_n=17 + 4n-4 \\[2ex]
a_n=13 + 4n
$$
یک دنبالۀ حسابی که دارای تفاضل مشترک \(4\) باشد و ششمین جمله اش برابر با \(37\) باشد، دارای قاعدۀ کلی \(\{13+4n\}\) است.

شما از این رویه ها زمانی استفاده می کنید که مقادیر عددی جملات را به شما بدهند و همینطور زمانی که بخواهید آنها را از برخی کاربردها یا مسائل داستانی ریاضی بدست آورید. در اینجا مثالی از یک مسألۀ داستانی داریم که در آن نیاز به استفاده از یک دنبالۀ حسابی دارید. شما و یک گروه از دوستانتان برای شغل راهنمایی کردن حضار در یک تئاتر استخدام شده اید، و علاوه بر حقوقتان، امکان استفاده از بلیط های رایگان را نیز دارید. مجموعۀ مربوطه ردیف میانیِ آخر سالن را به گروه شما اختصاص داده است. اولین ردیف در بخش میانی تئاتر دارای \(26\) صندلی می باشد، و همینطور که رو به سمت عقب می روید در هر ردیف تعداد صندلی ها یکی بیشتر می شود، مجموع ردیف ها \(25\) ردیف می باشد. در ردیف آخر چند صندلی وجود دارد؟

شما می توانید این مسأله را با یک دنبالۀ حسابی، به سرعت حل کنید. با استفاده از فرمول \(a_n=a_1+(n-1)d\) ، و جایگزینی \(a_1\) با \(26\) ، \(n\) با \(25\) ، و \(d\) با \(1\) ، خواهید داشت:
$$
a_n=a_1+(n-1)d \\[2ex]
a_{25}=26+(25-1) \cdot 1 \\[2ex]
a_{25}=26+(24) \cdot 1 = 26 + 24\\[2ex]
a_{25}=50
$$
با این تعداد صندلی، به نظر می رسد که می توانید دوستان دیگرتان را نیز با خودتان همراه کنید!

دنبالۀ هندسی


یک دنبالۀ هندسی (geometric sequence) ، دنباله ای است که در آن هر جمله با جمله ای که بعد از آن می آید با یک نسبت (ratio) مشترک تفاوت دارد. به عبارت دیگر، دنباله دارای یک عدد ثابت می باشد که در هر جمله ضرب می شود تا جملۀ بعدی را بسازد. در دنبالۀ حسابی، شما یک ثابت را می افزایید؛ در دنبالۀ هندسی، شما ضرب می کنید.

یک فرمول عمومی یا قاعده برای دنباله های هندسی به شرح زیر می باشد:
$$ g_n=rg_{n-1} $$
در این معادله، \(r\) نسبت ثابتی می باشد که در هر جمله ضرب می گردد. این قانون می گوید، برای رسیدن به جملۀ \(n\)ام، جملۀ قبل از آن یعنی جملۀ \((n-1)\)ام را، در آن نسبت ثابت ضرب می کنید.

روش دیگری که می توانید قاعده کلی یک دنباله هندسی را بنویسید به شرح زیر است:
$$ g_n =g_1r^{n-1} $$
دومین شکل این قانون شامل جملۀ اول یعنی \(g_1\) می باشد، و نسبت را به تعداد مورد نیاز اعمال می کند. جملۀ \(n\)ام برابر است با جملۀ اول ضربدر نسبت ثابت به توان \(n-1\) .

یادتان باشد: شما از قانون اول، یعنی \(g_n=rg_{n-1}\) ، زمانی استفاده می کنید که این نسبت ، \((r)\)، و یک جملۀ خاص در دنباله، به شما داده شده باشد، و شما بخواهید جملۀ بعدی را بیابید. یه عنوان مثال، اگر نهمین جمله در یک دنباله که نسبت آن \(3\) است، برابر با \(65,610\) باشد، و شما به دنبال جملۀ دهم باشید، آنوقت \(65,610\) را در \(3\) ضرب می کنید تا به \(196,380\) برسید. شما از قانون دوم، \(g_n=g_1r^{n-1}\)، زمانی استفاده می کنید که اولین جملۀ یک دنباله را به شما داده باشند و شما به دنبال جمله ای خاص در آن دنباله باشید. به عنوان مثال، اگر بدانید که اولین جمله \(3\) ، و نسبت \(2\) می باشد، و به دنبال دهمین جمله باشید، این جمله را با ضرب کردن \(3\) در \(2^9\) بدست می آورید، که برابر با \(1,536\) است.

توجه: اگر دو جملۀ متوالی را در یک دنبالۀ هندسی داشته باشید، همواره می توانید نسبت یا مضرب ،\((r)\)، را بیابید. صرفاً کافیست جملۀ دوم را بر جملۀ قبل از آن تقسیم کنید ـــ خارج قسمت برابر با نسبت می باشد. به عنوان مثال، اگر یک دنبالۀ هندسی داشته باشید که ششمین جمله اش \(1,288,408\) باشد، و جملۀ پنجم آن \(117,128\) باشد، می توانید \(r\) را با تقسیم کردن \(1,288,408\) بر \(117,128\) بیابید، که برابر با \(11\) می شود.

فرض کنید قاعدۀ یک دنبالۀ هندسی خاص برابر با \(\biggl \{ 360\bigl({1\over3}\bigr)^{n-1} \biggr \}\) باشد. هنگامیکه \(n=1\) است، توان موجود بر روی کسر \(0\) می شود، و شما \(360\) ضربدر \(1\) را خواهید داشت. بنابراین، \(g_1=360\) . هنگامیکه \(n=2\) است، توان برابر با \(1\) است، بنابراین، کسر مربوطه در \(360\) ضرب می شود، و نتیجۀ \(120\) را به شما می دهد. در ادامه چندین جملۀ دیگر از این دنباله را نیز می بینید:
$$ \biggl \{ 360,120,40,{40\over3},{40\over9},{40\over27},... \biggr \} $$
شما می توانید هر جمله را با ضرب کردن جملۀ قبل از آن در \({1\over3}\) بیابید.

در اینجا مثال دیگری داریم تا شما را با فرمول دنباله های هندسی بیشتر آشنا کند ... اگر بخواهید می توانید این داستان را در آینده در مهمانی ها تعریف کنید. یک قمار باز کم عقل، یک دلار روی صاف ایستادن سکه شرط بست (یعنی نه شیر بیاید و نه خط، سکه سیخ بایستد!). بعد از اینکه شرط را باخت، به جای اینکه یک دلار را بدهد به طرف مقابلش گفت: "دو برابر یا هیچی"، معنی اش این می شود که شرط را تکرار کنیم، اگر من دوباره باختم تو دو برابر گیرت می آید و اگر تو باختی هیچ ضرری نمی کنی و فقط آن سکه اول را از من نمی گیری؛ اوه! دوباره باخت!و باز هم دوباره باخت! هر بار هم که می باخت همین جملۀ "دو برابر یا هیچی" را تکرار می کرد. اگر این فرآیند باختن و دوبرابر یا هیچی کردن شرط \(20\) مرتبه تکرار شود، در مرتبۀ \(21\)ام چقدر پول باخته است؟

با استفاده از فرمول \(g_n=g_1r^{n-1}\) و داشتن این داده ها که جملۀ اول برابر با \(1\) (یک دلار) می باشد، و نسبت برابر با \(2\) می باشد (چون هر بار دو برابر یا هیچی را تکرار می کرد)، و \(n\) نیز برابر با \(21\) است، خواهیم داشت:
$$ g_{21}=1(2)^{21-1}=1(2)^{20}=1,048,576 $$
اگر این قمارباز نادان تا مرحلۀ \(21\) پیش برود، بیش از یک میلیون دلار خواهد باخت. اگر او برای بردن یک دلار در شرط بندی اینقدر طمع نمی داشت الان این یک میلیون دلار را از دست نداده بود!

شاید او از اول نباید با یک دلار آغاز می کرد. شاید اگر به جای یک دلار با \(25\) سنت آغاز می کرد الان اینقدر ضرر نکرده بود؟ دوباره از همان فرمول استفاده می کنیم، فقط اینبار به جای یک دلار از \(25\) سنت یا \(0.25\) دلار استفاده می کنیم.
$$ g_{21}=(0.25)(2)^{21-1}=(0.25)(2)^{20}=262,144 $$
به نظر می رسد این دوست قمارباز ما هنوز هم باید با مشکل بزرگی دست و پنجه نرم کند. اگر دوبار دیگر شرط را تکرار کند و \(n\) برابر با \(23\) گردد، باز هم به بیش از یک میلیون دلار ضرر خواهد رسید.



نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

دوره آموزشی رایگان جبر 2