خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مجموعه ها (Sets)

مجموعه ها (Sets)
نویسنده : امیر انصاری
یک مجموعه (set) گردآیه ای از آیتم ها می باشد. به عنوان مثال این آیتم ها می توانند افراد، کفش ها، یا اعداد باشند، اما آنها معمولاً یک چیز مشترک با یکدیگر دارند ـــ حتی اگر تنها ویژگی که آنها را به هم گره می زند این واقعیت باشد که در یک مجموعه یکسان ظاهر شده اند. آیتم های یک مجموعه را اعضاء (elements) آن می نامند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



نمادهای مجموعه ها (Set Notation)


ریاضیدانان تعدادی نماد و قاعده خاص ایجاد کرده اند تا به شما کمک کنند در دنیای مجموعه ها مانور بدهید. فرا گرفتن این نمادها و واژگان مشکل نیست؛ شما فقط باید یادتان باشد هر کدامشان چه معنایی می دهند. آشنا شدن با نمادهای مجموعه ها مانند فراگیری یک زبان جدید است.

لیست کردن اعضا با نماد لیست (roster notation)


نام یک مجموعه با حروف بزرگ نشان داده می شود (به عنوان مثال \(A\)) ، تا آنها را از سایر مجموعه ها تمیز بدهید. برای شناسایی عناصر یک مجموعه، آنها را در نماد لیست (roster notation) قرار می دهید، که صرفاً به معنای لیست کردن اعضا می باشد. به عنوان مثال، اگر مجموعۀ \(A\) شامل پنج عدد کامل (whole numbers) اول باشد، این مجموعه را به شکل زیر می نویسید:
$$ A=\{0, 1, 2, 3, 4\} $$
شما اعضای یک مجموعه را در داخل آکولادها می نویسید و آنها را با ویرگول از یکدیگر جدا می کنید. ترتیب قرارگیری اعضا در کنار یکدیگر مهم نیست. به عنوان مثال، مجموعه بالا را به شکل زیر نیز می توانید بنویسید و هر دو با هم یکسانند:
$$ A = \{0, 2, 4, 1, 3\} $$

ایجاد مجموعه ها از ابتدا


یک روش ساده برای توصیف مجموعه ها (به جز نماد مجموعه که اندکی پیش گفتیم) استفاده از قواعد نماد سازنده مجموعه (set builder notation) می باشد. به عنوان مثال، شما می توانید مجموعۀ \(A = \{0, 1, 2, 3, 4\}\) را به شکل زیر بنویسید:
$$ A = \{x | x \in W, x \lt 5\} $$
شما نماد سازندۀ مجموعه را اینطور می خوانید: "\(A\) مجموعه ای شامل تمامی \(x\) ها می باشد به نحویکه \(x\) عضوی از \(W\) یعنی اعداد کامل (whole numbers)، است، و \(x\) کوچکتر از \(5\) می باشد." این نوار عمودی \(|\) ، متغیر را از قاعده جدا می سازد، و نماد اپسیلون (epsilon) که با \(\in\) نشان داده شده است، "عضوی است از" خوانده می شود. اینها همگی میانبرهای فوق العادۀ ریاضی هستند.

شما ممکن است با خودتان بیندیشید، وقتی لیست کردن عناصر یک مجموعه به اندازۀ کافی ساده می باشد، چرا ممکن است کسی بخواهد از این نمادهای طولانی برای نمایش مجموعه ها استفاده کند. شما حق دارید تعجب کنید؛ در مثال قبلی این کار معنای زیادی نداشت، اما اگر بخواهیم در مورد مجموعۀ دیگری با نام \(B\) که شامل تمامی اعداد فرد بین \(0\) تا \(100\) می باشد، صحبت کنیم، چطور؟ آیا واقعاً می خواهید تمامی این اعضا را لیست کنید؟

نکته: هنگامی که با مجموعه های دارای تعداد زیادی عضو سر و کار دارید، استفاده از نمادهای سازندۀ مجموعه می تواند در زمان و انرژی شما صرفه جویی بزرگی کند. و اگر الگوی اعضاء بدیهی باشد، می توانید از نماد انداختن لغات (ellipsis) که \(...\) می باشد، استفاده کنید. برای مثال، در مورد مجموعه ای که شامل تمامی اعداد فرد بین \(0\) تا \(100\) است، شما می توانید آن را به شکل \(B = \{1, 3, 5, 7, ..., 99\}\) بنویسید، یا می توانید از نماد سازندۀ مجموعه استفاده کنید: \(B = \{x|x \text{ is odd }, \text{ and } 0 \lt x \lt 100\}\) . هر دوی این روش ها از لیست کردن تمامی اعضاء مجموعه ساده تر می باشند.

مجموعۀ مرجع (universal set) و مجموعۀ تهی (empty set)


مجموعۀ \(F = \{ \text{Iowa, Ohio, Utah} \}\) و مجموعۀ \( I = \{\text{Idaho, Illinois, Indiana, Iowa}\}\) را در نظر بگیرید. مجموعۀ \(F\) شامل سه عضو و مجموعۀ \(I\) شامل چهار عضو می باشد. از درون این مجموعه ها شما می توانید مجموعۀ دیگری را گسترش بدهید که به آن مجموعۀ مرجعِ (universal set) مجموعه هایِ \(F\) و \(I\) گفته می شود. شما همچنین می توانید مجموعۀ دیگری را مشخص سازید که مجموعۀ تهی (empty set) نام دارد ـــ به مجموعۀ تهی null set نیز گفته می شود. این کار همه یا هیچی، پایه گذار اجرای عملیات مجموعه ها می باشند (در ادامۀ همین فصل در مورد عملیات مجموعه ها خواهیم گفت.)

در لیست زیر ویژگیهای این دو مجموعۀ همه یا هیچی، توصیف شده اند:

  • مجموعۀ مرجع: یک مجموعۀ مرجع برای یک یا چند مجموعه، شامل تمامی اعضای ممکن در یک دسته خاص می باشد. نویسندۀ این وضعیت باید تصمیم بگیرد چند عضو را باید در یک مسألۀ خاص لحاظ کند. اما یک ویژگی کاملاً استاندارد وجود دارد و آن اینکه مجموعۀ مرجع را با \(U\) نشان می دهند.

    به عنوان مثال، شما می توانید بگویید که مجموعۀ مرجع برای مجموعۀ \(F = \{ \text{Iowa, Ohio, Utah} \}\) و مجموعۀ \( I = \{\text{Idaho, Illinois, Indiana, Iowa}\}\) ، برابر است با \(U = \{\text{states in the United States}\}\) . (تمامی ایالتهای ایالات متحدۀ آمریکا). مجموعۀ مرجع برای مجموعه های \(F\) و \(I\) الزاماً نباید شامل تمامی ایالتهای آمریکا باشد؛ این مجموعۀ مرجع می تواند شامل تمامی ایالتهایی باشد که با یک حرف صدادار شروع شده اند.

  • مجموعۀ تهی: متضاد مجموعۀ مرجع، مجموعۀ تهی می باشد. مجموعۀ تهی شامل هیچی نیست (شوخی نمی کنم!) برای نشان دادن مجموعۀ تهی دو نماد \(\emptyset\) و \(\{\}\) وجود دارند. اولین نماد یک صفر را همراه با یک اسلش درون آن نشان می دهد، و دومین نماد یک جفت آکولاد خالی می باشد. برای نشان دادن مجموعه تهی باید یکی از این دو نماد را استفاده کنید، توجه داشته باشید که نباید هر دو نماد را هم زمان استفاده کنید.

    به عنوان مثال، اگر بخواهید تمامی اعضای مجموعۀ \(G\) را لیست کنید، و مجموعۀ \(G\) شامل تمامی ایالتهایی در آمریکا باشد که با حرف Q آغاز می شوند، آن را به شکل \(G=\{\}\) می نویسید. شما یک مجموعۀ تهی دارید، زیرا هیچ ایالتی در آمریکا نداریم که با حرف Q آغاز گردد.

زیرمجموعه ها (subsets)


مجموعه ها می توانند زیرمجموعه داشته باشند. یک زیرمجموعه (subset) یک مجموعه ای است که به طور کامل در داخل مجموعه ای دیگر وجود داشته باشد ـــ هیچ عضوی از زیر مجموعه نداریم که در مجموعه اصلی آن ـــ که به آن ابرمجموعه (superset) گفته می شود ـــ وجود نداشته باشد.

نمایش زیرمجموعه ها با نماد


مجموعۀ \(B = \{2, 4, 8, 16, 32\}\) زیرمجموعه ای از \(C = \{x|x = 2^n, n \in Z \}\) می باشد. مجموعۀ \(B\) زیر مجموعه ای از \(C\) می باشد، زیرا \(B\) کاملاً در \(C\) وجود دارد. مجموعۀ \(C\) عبارت از تمامی اعدادی است که توانی از \(2\) هستند، که این توانها همگی تماماً عناصری از مجموعۀ اعداد صحیح یعنی \(Z\) می باشند. نماد زیرمجموعه \(\subset\) است، و برای نشان دادن اینکه \(B\) زیرمجموعه ای از \(C\) می باشد، آن را به شکل \(B \subset C\) می نویسید.

نکته: حرف \(Z\) معمولاً برای نشان دادن اعداد صحیح بکار می رود، اعداد کامل مثبت و منفی، و صفر.

روش دیگری برای نوشتن ابرمجموعۀ \(C\) اینست:
$$ C= \biggl \{ ...,{1\over8},{1\over4},{1\over2},1,2,4,8,16,32,64,128,... \biggr\} $$
از نماد انداختگی (ellipses) برای نشان دادن اینکه این مجموعه تا ابد ادامه دارد، استفاده می شود.

یادتان باشد: هنگامی که مجموعه ای، زیرمجموعۀ دیگری باشد، و این دو مجموعه با هم برابر نباشند (بدین معنا که دارای عناصر یکسانی نباشند)، این زیرمجموعه یک زیرمجموعۀ محض (proper subset) نامیده می شود ـــ به آن زیرمجموعۀ سره نیز گفته می شود ـــ، و نشان می دهد که زیرمجموعه دارای عناصر کمتری نسبت به ابرمجموعه می باشد. از نظر فنی، هر مجموعه ای، زیرمجموعۀ خودش می باشد، بنابراین شما می توانید بگویید که یک مجموعه یک زیرمجموعۀ ناسره (improper subset) از خودش می باشد. شما این گزاره را با نماد زیرمجموعه و یک خط در زیر آن می نویسید تا نشان دهید: "زیرمجموعه و همچنین برابر با". برای اینکه بگویید مجموعۀ \(B\) زیرمجموعۀ خودش می باشد آنرا اینطور می نویسید: \(B \subseteq B\) . شاید انجام این کار به نظر شما احمقانه باشد، اما مانند تمامی قواعد دیگر ریاضی، شما دلیل خوبی برای انجام این کار هم دارید. یکی از این دلایل به تعداد زیرمجموعه های هر مجموعۀ مشخص، مرتبط است.

شمارش تعداد زیرمجموعه ها


به لیست های زیر که تعدادی مجموعه گزینش شده و تمامی زیرمجموعه های آنها می باشند، نگاهی بیندازید. توجه داشته باشید که من مجموعۀ تهی را در لیست زیرمجموعه های هر مجموعه، گنجانده ام. من این کار را به این دلیل انجام داده ام که مجموعۀ تهی در تعریف زیرمجموعه می گنجد، یعنی هیچ عضوی در ابرمجموعه نداریم که در زیرمجموعۀ آن (در اینجا تهی) نباشد. در اینجا لیست اول را داریم:

زیرمجموعه های مجموعۀ \(A=\{3,8\}\) عبارتند از:
$$ \{3\}, \{8\}, \emptyset, \{3, 8\} $$
مجموعۀ \(A\) دارای چهار زیرمجموعه می باشد: دو زیرمجموعه تک عضوی، یک زیرمجموعه بدون هیچ عضو، و یک مجموعه دارای هر دو عضو موجود در مجموعۀ اصلی.

در اینجا یک مجموعه با موضوع حیوانات اهلی را داریم: \(B= \{ \text{dog, cat, mouse} \}\)
زیرمجموعه های آن عبارتند از:
$$
\{ \text{dog} \}, \{ \text{cat}\}, \{\text{mouse}\}, \{\text{dog, cat}\}, \{\text{dog, mouse}\}, \{\text{cat, mouse}\}, \emptyset, \{\text{dog, cat, mouse}\}
$$
مجموعۀ \(B\) دارای هشت زیرمجموعه می باشد: سه زیرمجموعۀ تک عضوی، سه زیرمجموعۀ دو عضوی، یک زیرمجموعۀ بدون عضو، و یک زیرمجموعه دارای تمامی اعضای مجموعۀ اصلی.

زمانش رسیده سراغ یک مثال بزرگتر برویم: \(C = \{ \text{r, s, t, u} \}\)
زیر مجموعه های \(C\) عبارتند از:
$$
\text{{r}, {s}, {t}, {u}, {r, s}, {r, t}, {r, u}, {s, t}, {s, u}, {t, u}} \\
\text{, {r, s, t}, {r, s, u}, {r, t, u}, {s, t, u}, ø, {r, s, t, u}}
$$
مجموعۀ \(C\) دارای \(16\) زیرمجموعه است: چهار زیرمجموعۀ تک عضوی، شش زیرمجموعۀ دو عضوی، چهار زیرمجموعۀ سه عضوی، یک زیرمجموعۀ بدون عضو، و یک زیرمجموعه شامل تمامی اعضای مجموعۀ اصلی.

آیا هنوز الگوی تعداد زیرمجموعه ها را کشف نکرده اید؟ ببینید آیا اطلاعات زیر به شما کمک می کنند:

  • یک مجموعۀ دو عضوی دارای چهار زیرمجموعه می باشد.
  • یک مجموعۀ سه عضوی دارای هشت زیرمجموعه می باشد.
  • یک مجموعۀ چهار عضوی دارای شانزده زیرمجموعه می باشد.

تعداد زیرمجموعه های تولیدشده توسط هر مجموعه برابر با توانی از \(2\) می باشد.

قوانین جبر: اگر مجموعۀ \(A\) دارای \(n\) عضو باشد، دارای \(2^n\) زیرمجموعه است.

به عنوان مثال، شما می توانید این قانون را بر روی مجموعۀ \( Q = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) بکار ببندید. این مجموعه شش عضو دارد، بنابراین دارای \(2^6=64\) زیرمجموعه می باشد. دانستن تعداد زیرمجموعه هایِ یک مجموعه برای لیست کردنشان کمکی نمی کند، اما به شما امکان می دهد تا اگر چیزی را از قلم انداخته بودید، متوجه شوید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.