خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


عملیات مجموعه ها

عملیات مجموعه ها
نویسنده : امیر انصاری
جبر سه نوع عملیات ساده را ارائه می کند که می توانید آنها را بر روی مجموعه ها اجرا کنید: اجتماع (union)، اشتراک (intersection)، و متمم (complement). عملیات های اجتماع و اشتراک در یک زمان نیاز به دو مجموعه دارند تا بر روی آنها اجرا گردند ـــ مانند جمع و تفریق که نیاز به دو عدد دارند. یافتن متمم یک مجموعه (یا منفی کردن آن) مشابه یافتن معکوس یک مجموعه می باشد، بنابراین در یک زمان، آن را فقط بر روی یک مجموعه انجام می دهید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



یک فرآیند دیگر، که در واقع یک عملیات نمی باشد، شمارش اعضای یک مجموعه می باشد. این فرآیند دارای نمادهای خاص خودش می باشد تا به شما بگویند شمارش را انجام بدهید، درست مانند اجتماع، اشتراک، و عملیات منفی کردن که آنها هم دارای نمادهای خاص خودشان می باشند.

اجتماع دو مجموعه


یافتن اجتماع دو مجموعه مشابه ادغام دو شرکت در یکدیگر می باشد. شما آنها را با هم یکی می کنید تا یک مجموعۀ بزرگتر را بسازید.

قوانین جبر: برای یافتن اجتماع مجموعه های \(A\) و \(B\)، که با \(A \cup B\) نشان داده می شود، شما تمامی اعضاء هر دو مجموعه را با یکدیگر ترکیب می کنید و در یک مجموعه می نویسید. هر عضوی را که در هر دو مجموعه مشترک باشد، صرفاً یکبار در اجتماع می آورید و از آوردن موارد تکراری پرهیز می کنید.

در اینجا مثالی از اجتماع مجموعه ها داریم:
$$
A = \{10, 20, 30, 40, 50, 60\} \\
B = \{15, 30, 45, 60\} \\
A \cup B = \{10, 15, 20, 30, 40, 45, 50, 60\}
$$
شما همچنین می توانید بگویید که هر مجموعه، زیرمجموعه ای از اجتماع این دو مجموعه می باشد.

همچنین این امکان را دارید که عملیات اجتماع را بر روی بیش از دو مجموعه به صورت همزمان انجام بدهید (اما دست کم نیاز به دو مجموعه دارید). به مثال زیر توجه کنید:
$$
R = \{ \text{ rabbit,bunny, hare} \} \\
S = \{\text{ bunny, egg, basket, spring} \} \\
T = \{\text{ summer, fall, winter,spring} \} \\
R \cup S \cup T=\{\text{ rabbit, bunny, hare, egg, basket, spring, summer, fall, winter} \}
$$
دوباره توجه داشته باشید که موارد تکراری را در اجتماع، صرفاً یکبار می آوریم و نه بیشتر.

یک جفت از اجتماع های خاص شامل زیرمجموعه ها و مجموعه های تهی می باشد. اگر عملیات اجتماع را بر روی دو مجموعه ای که یکی از آنها زیرمجموعۀ دیگری می باشد انجام بدهید، چه اتفاقی می افتد؟ به عنوان مثال، فرض کنید مجموعۀ \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) و \(H = \{2, 4, 6\} \) را داریم. شما می توانید اجتماع این دو مجموعه را به شکل \(G \cup H=G\) بنویسید، زیرا اجتماع این دو مجموعه، صرفاً مجموعۀ \(G\) می باشد. \(H\) زیرمجموعه ای از \(G\) می باشد ـــ هر عضوی از \(H\) در \(G\) نیز وجود دارد. همچنین، از آنجا که \(H\) زیرمجموعه ای از \(G\) می باشد، \(H\) باید زیرمجموعه ای از اجتماع این دو مجموع، یعنی \(G \cup H\) نیز باشد.

از آنجا که مجموعۀ تهی، زیرمجموعه ای از هر مجموعه ای می باشد، شما می توانید بگویید \(G \cup \emptyset = G\) ، \(H \cup \emptyset=H\) ، \(T \cup \emptyset = T\) ، و به همین ترتیب. مشابه تاثیری که صفر در هنگام عملیات جمع می گذارد.

اشتراک مجموعه ها


اشتراک دو مجموعه مشابه تقاطع دو خیابان می باشد. اگر خیابان اصلی رو به سمت شرق و غرب باشد و خیابان دانشگاه رو به سمت شمال و جنوب باشد، آنها در محل تقاطعشان، خیابانها را به اشتراک می گذارند. کارگران شهرداری مجبور نیستند آن قسمت مشترک خیابانها را دو بار آسفالت کنند، زیرا آن قسمت کوچک بین این دو خیابان مشترکند.

قوانین جبر: برای یافتن اشتراک بین دو مجموعۀ \(A\) و \(B\) ، که با \(A \cap B\) نشان داده می شود، تمامی عناصر مشترک بین این دو مجموعه را لیست می کنید. اگر مجموعه ها چیز مشترکی نداشته باشند، اشتراک آنها مجموعۀ تهی می باشد.

در اینجا مثالی از اشتراک مجموعه ها داریم:
$$
A =\text{ {a, e, i, o, u} } \\
B = \text{{v, o, w, e, l} } \\
A \cap B = \text{{e, o}}
$$
اگر مجموعۀ \(A\) زیرمجموعه ای از مجموعۀ دیگری باشد، اشتراک \(A\) با ابرمجموعه اش صرفاً مجموعۀ \(A\) می باشد. به مثال زیر توجه کنید:
$$
C = \text{ {a, c, e, g, i, k, m, o, q, s, u, w, z} } \\
A = \text{ {a, e, i, o, u} } \\
A \cap C = \text{ {a, e, i, o, u} } = A
$$
اشتراک هر مجموعه ای با مجموعۀ تهی، صرفاً مجموعۀ تهی می باشد.

متمم مجموعه


متمم مجموعۀ \(A\) ، که به صورت \(A'\) نوشته می شود، شامل هر عضوی می باشد که در مجموعۀ \(A\) نباشد. هر آیتمی که در \(A\) نباشد می تواند چیزهای فراوانی را شامل گردد، مگر اینکه شما به نحوی آنها را محدود کنید.

قوانین جبر: برای تعیین متمم یک مجموعه، نیاز دارید تا مجموعۀ مرجع آن را بدانید. اگر \(A = \text{{p, q, r}}\) و مجموعۀ مرجع آن ، یعنی \(U\)، شامل تمامی حروف الفبا باشد، خواهید داشت:
$$
A' = \text{ {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, s, t, u, v, w, x, y, z} }
$$
شما هنوز هم با عناصر زیادی سر و کار دارید، اما گزینه های شما محدود به حروف الفبا می باشند.

یادتان باشد: تعداد اعضاء یک مجموعه بعلاوۀ تعداد اعضاء مجموعۀ متمم آن، همواره برابر است با تعداد اعضاء مجموعۀ مرجع. شما این قانون را به این صورت می نویسید:
$$ n(A) + n(A') = n(U) $$
زمانیکه مجبورید با تعداد اعضاء زیادی سر و کار داشته باشید، و به دنبال روش ساده ای برای شمارش آنها می باشید، این رابطه بسیار سودمند خواهد بود.

شمارش اعضاء مجموعه ها


معمولاً شرایطی پیش می آید که نیاز به دانستن تعداد اعضاء مجموعه ها پیدا می کنید. هنگامیکه مجموعه ها در احتمال (probability)، منطق (logic)، یا سایر مسأله های ریاضی ظاهر می گردند، معمولاً برای شما اهمیتی ندارد که اعضاء مجموعه ها چه هستند ـــ فقط برای شما این مهم است که چند نفر روی صندلی ها نشسته اند. نماد نشان دادن اینکه شما می خواهید تعداد اعضاء یک مجموعه را بدانید \(n(A) = k\) می باشد، بدین معنا که "تعداد اعضاء مجموعۀ \(A\) برابر با \(k\) می باشد". عدد \(k\) همواره عددی کامل می باشد: \(0,1,2,...\) .

قوانین جبر: اجتماع و اشتراک مجموعه ها دارای یک رابطۀ جالب دربارۀ تعداد اعضاء می باشد:
$$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) $$

مثال زیر را در نظر بگیرید:
$$
A =\text{ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} }\\
B = \text{ {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} } \\
A \cup B =\text{ {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,15, 16, 18, 20, 21} } \\
A \cap B =\text{ {6, 12, 18}}
$$
در اینجا، شما می توانید فرمول گقته شده برای شمارش تعداد اعضاء مجموعه ها را به این شکل بکار بگیرید:
$$
n(A) = 10 \\
n(B) = 7 \\
n(A \cup B) = 14 \\
n(A \cap B) = 3
$$
با قرار دادن این اعداد در فرمول در می یابید که \(14 = 10 + 7 – 3\) . این یک گزارۀ صحیح می باشد. شما باید حسابتان را درست آزمایی کنید تا مطمئن شوید مسأله را بدرستی حل کرده اید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.