زاویه ها (Angles) یکی از بلوک های پایه ای تشکیل دهندۀ مثلث ها و سایر چندضلعی ها می باشند (بلوک های پایه ای دیگر پاره خط ها می باشند). شما تقریباً می توانید زاویه ها را در هر صفحه از هر کتاب هندسه بیابید، بنابراین شما باید هر چه زودتر با آنها درگیر شوید ـــ هیچ اما و اگری هم نیاورید. در اولین بخش از این بخش، پنج واژه را به شما می گویم که زاویه ها را به تنهایی توصیف می کنند. در بخش بعدی، در مورد چهار نوع از جفت های زاویه ها گفتگو خواهم کرد.





در ادامه پنج نوع از زاویه ها را به شما معرفی خواهم کرد. سه نوع اول، انواع اصلی می باشند؛ دو مورد آخر اندکی خاص تر هستند. برای مشاهدۀ بصری شکل 12-2 را ببینید.

زاویۀ حاده (Acute angle)

یک زاویۀ حاده (زاویۀ تند) کمتر از \(90^{\circ}\) می باشد. زاویه های حاده به نوعی شبیه دهان یک تمساح هستند که خیلی باز نشده است.

زاویۀ قائمه (Right angle)

یک زاویۀ قائمه (زاویۀ راست) برابر با \(90^{\circ}\) می باشد. زاویه های قائمه باید برای شما آشنا باشند، آنها را در گوشه های قاب عکس ها، قسمت بالای میزها، جعبه ها، و کتابها، تقاطع بیشتر جاده ها، و صدها جای دیگر دیده اید. اضلاع یک زاویۀ قائمه بر یکدیگر متعامد (perpendicular) می باشند.

زاویۀ منفرجه (Obtuse angle)

یک زاویۀ منفرجه دارای اندازه ای بیش از \(90^{\circ}\) می باشد. این زاویه ها بیشتر شبیه صندلی های کنار استخرها یا صندلی های کنار ساحل ها می باشند ـــ آنها خیلی زیاد باز می شوند، و طوری هستند که می توانید به آنها لَم بدهید. (خیلی راحتتر از دهان یک تمساح هستند، اینطور نیست؟)

زاویۀ نیم صفحه (Straight angle)

یک زاویۀ نیم صفحه دارای اندازۀ \(180^{\circ}\) می باشد؛ درست شبیه یک خط است که نقطه ای بر روی آن قرار دارد (اگر از من بپرسید، برای یک زاویه اندکی عجیب و غریب است).

زاویۀ مقعر (Reflex angle)

یک زاویۀ مقعر دارای اندازه ای بیش از \(180^{\circ}\) می باشد. در واقع، یک زاویۀ مقعر سمت دیگر یک زاویۀ معمولی می باشد. به عنوان مثال، یکی از زوایای مثلث را در نظر بگیرید. زاویۀ بزرگ در سمت بیرون مثلث را تصور کنید که در اطراف گوشه پیچیده است ـــ این چیزی است که به آن زاویۀ مقعر گفته می شود.

جفت های زوایا

برخلاف زاویه های انفرادی در بخش قبلی، در اینجا زاویه ها باید در ارتباط با زاویه های دیگر بررسی و تعریف گردند تا معنا داشته باشند. زوایای مجاور (Adjacent angles) و زوایای متقابل به رأس (vertical angles) همواره یک رأس مشترک دارند، بنابراین به معنای واقعی کلمه، جدایی ناپذیر هستند. زوایای متمم (Complementary angles) و زوایای مکمل (supplementary angles) می توانند یک رأس را به اشتراک بگذارند، اما ضرورتی ندارد که حتماً این کار را بکنند. در ادامه تعاریف را داریم.

زوایای مجاور (Adjacent angles)

زوایای مجاور با یکدیگر همسایه هستند که دارای رأس مشترکی می باشند و یک ضلع مشترک دارند؛ همچنین، هیچکدام از این زاویه ها نمی تواند داخل دیگری باشد. شگل 13-2 را بررسی کنید. در این شکل، \(\angle{BAC}\) و \(\angle{CAD}\) مجاور هستند، همینطور \(\angle{1}\) و \(\angle{2}\) نیز مجاورند. اگرچه، هیچکدام از \(\angle{1}\) و \(\angle{2}\) با \(\angle{XYZ}\) مجاور نمی باشد، زیرا هر دوی آنها درون \(\angle{XYZ}\) قرار دارند. هیچکدام از زوایای بدون نام سمت راست، مجاور همدیگر نمی باشند، زیرا یا رأس مشترک ندارند و یا ضلع مشترک ندارند.

زوایای متمم (Complementary angles)

دو زاویه که مجموع آنها \(90^{\circ}\) یا یک زاویۀ قائم (right angle) گردد، زوایای متمم یکدیگر می باشند. آنها می توانند مجاور یکدیگر باشند، اما ضرورتی ندارد. در شکل 14-2 زوایای مجاور \(\angle{1}\) و \(\angle{2}\) متمم می باشند، زیرا آنها یک زاویۀ قائمه را می سازند؛ \(\angle{P}\) و \(\angle{Q}\) متمم هستند زیرا مجموع این دو زاویه \(90^{\circ}\) می شود. (تعریف زوایای متمم، گاهی اوقات در اثبات ها مورد استفاده قرار می گیرد. فصل 4 را ببینید.)

زوایای مکمل (supplementary angles)

دو زاویه که مجموع آنها \(180^{\circ}\) یا یک زاویۀ نیم صفحه (Straight angle) گردند، مکمل می باشند. آنها ممکن است مجاور یکدیگر نیز باشند یا خیر. در شکل 15-2 ، \(\angle{1}\) و \(\angle{2}\) یا دو زاویۀ قائمه، مکمل هستند زیرا با یکدیگر یک زاویۀ نیم صفحه را تشکیل می دهند. این نوع جفت زاویه ها، با نام جفت خطی (linear pair) شناخته می شوند. \(\angle{A}\) و \(\angle{Z}\) مکمل هستند زیرا مجموع آنها \(180^{\circ}\) می شود. (تعریف زوایای مکمل، گاهی اوقات در اثبات ها مورد استفاده قرار می گیرد. فصل 4 را ببینید.)

زوایای متقابل به رأس (vertical angles)

خطهای متقاطع یک شکل X می سازند، و زوایای موجود در دو سمت مقابل این X زوایای متقابل به رأس نامیده می شوند. شکل 16-2 را ببینید، که زوایای متقابل به رأس \(\angle{1}\) و \(\angle{3}\) و زوایای متقابل به رأس \(\angle{2}\) و \(\angle{4}\) را نشان می دهد. دو زاویۀ متقابل به رأس همواره اندازه یکسانی با یکدیگر دارند. راستی، همانطور که در شکل می بینید، این vertical در اینجا با آن vertical angles (زوایای عمودی) که رو به سمت بالا یا پایین می رفتند، هیچ ارتباطی ندارند، مراقب باشید این دو vertical را با هم اشتباه نگیرید.