خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اندازه گیری پاره خطها و زاویه ها

اندازه گیری پاره خطها و زاویه ها
نویسنده : امیر انصاری
این فصل شامل چیزهای خیلی ساده در مورد اندازۀ پاره خطها و زوایا، اینکه چگونه آنها را اندازه گیری کنیم، چگونه آنها را جمع و تفریق کنیم، و چگونه آنها را به دو یا سه قسمت برابر تقسیم کنیم، می باشد. اما علیرغم ماهیت سادۀ این ایده ها، موارد پایه ای مهمی هستند، بنابراین اگر می خواهید آنها را نادیده بگیرید، ریسکش با خودتان است! از آنجا که همۀ چندضلعی ها از پاره خطها و زوایا تشکیل شده اند، این دو شیء پایه ای کلید تعداد زیادی از مسائل و اثبات های هندسی می باشند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



اندازه گیری پاره خطها و زوایا


اندازه گیری پاره خطها و زوایا ـــ مخصوصاً پاره خطها ـــ به سادگی آب خوردن است. در مورد یک پاره خط، طول آن را اندازه گیری می کنید؛ و در مورد یک زاویه، میزان باز بودن آن را اندازه گیری می کنید (چیزی شبیه اینکه میزان باز بودن یک درب را اندازه گیری کنید). هرگاه که در یک کتاب هندسه به نموداری نگاه می کنید، به اندازۀ پاره خطها و زاویه هایی که شکلی را ساخته اند، توجه کنید، این به شما کمک می کند تا برخی از ویژگیهای مهم آن شکل را درک کنید.

اندازه گیری پاره خطها


اگر بخواهم واقعیت را به شما بگویم، نظر من اینست که اندازه گیری پاره خطها خیلی ساده تر از آنست که آن را به عنوان یک مفهوم آموزشی در این کتاب قرار بدهم، اما عقیدۀ سردبیرِ من اینست که باید آن را به منظور کامل بودن مطالب، در کتاب بگنجانم، بنابراین، این موضوع اینجاست. اندازۀ یک پاره خط به سادگی طول آن می باشد. چه چیز دیگری می تواند باشد؟ وانگهی، طول تنها ویژگی موجود در یک پاره خط است. شما پاره خطهای کوتاه، متوسط، و بلند دارید. (نه، اینها واژگان فنی ریاضی نیستند.) برای شوک دیگری آماده شوید: اگر به شما گفته شود که یک پاره خط دارای طول \(10\) ، و پاره خط دیگری دارای طول \(20\) می باشد، سپس پاره خط با طول \(20\) دوبرابر طولانی تر از پاره خط با اندازۀ \(10\) واحد می باشد. چیز شگفت انگیزی بود، اینطور نیست؟ (من اینها را پاره خطهای \(10\) واحد و \(20\) واحد می نامم زیرا در مسائل هندسه شما معمولاً واحد خاصی همچون فوت، اینچ، یا مایل را نمی بینید.)

پاره خطهای همنهشت (Congruent segments)، پاره خطهایی هستند که دارای طول یکسانی می باشند. اگر \(\overline{MN}\) با \(\overline{PQ}\) همنهشت باشند، آن را به شکل \(\overline{MN} \cong \overline{PQ}\) می نویسید. شما زمانی می دانید دو پاره خط با هم همنهشت هستند که هر دوی آنها دارای طول عددی یکسانی باشند، یا وقتیکه شما طول آنها را نمی دانید اما در می یابید (یا به سادگی به شما گفته می شود) که آنها همنهشت هستند. در یک شکل، اینکه هر پاره خط را با تعداد یکسانی تیک مارک مشخص سازند، نشان دهندۀ همنهشتی می باشد. به عنوان مثال، در شکل 1-3 ، این واقعیت که هم \(\overline{WX}\) و هم \(\overline{YZ}\) دارای سه تیک مارک می باشند، به شما می گوید که این دو پاره خط همنهشت هستند.

اندازه گیری پاره خطها و زاویه ها
پاره خطهای همنهشت (و زاویه های همنهشت، که در ادامه به آن هم خواهیم پرداخت) عناصری ضروری در اثبات ها می باشند که در بقیۀ این کتاب خواهید دید. به عنوان مثال، هنگامی که دریافتید که یک ضلع (یک پاره خط) از یک مثلث با یک ضلع از مثلثی دیگر همنهشت می باشند، شما می توانید از این واقعیت استفاده کنید تا در اثبات هنهمشت بودن آن مثلثها به شما کمک کند (برای جزئیات بیشتر در این زمینه فصل 9 را ببینید).

یادتان باشد: هنگامی که نام یک پاره خط را بدون قرار دادن خط بر روی آن می نویسید، به معنای طول آن پاره خط می باشد، بنابراین \(AG\) نشان می دهد که طول \(\overline{AG}\) مُراد است. به عنوان مثال، اگر \(\overline{XY}\) دارای طول \(5\) باشد، شما آن را به شکل \(XY=5\) می نویسید. و اگر \(\overline{AB}\) با \(\overline{CD}\) همنهشت باشند، طولهای آنها با هم برابر خواهند بود، و شما آن را به شکل \(AB=CD\) می نویسید. توجه داشته باشید که در دو معادلۀ اخیر، علامت برابری استفاده شده است، و نه نماد همنهشتی.

اندازه گیری زاویه ها


اندازه گیری یک زاویه کاملاً ساده است، اما نسبت به اندازه گیری یک پاره خط می تواند اندکی مهارت آمیزتر باشد زیرا اندازۀ یک زاویه مبتنی بر چیزی به سادگی طول نمی باشد. در عوض، اندازه یک زاویه مبتنی بر اینست که میزان باز شدن آن زاویه چقدر است. در این بخش، شما را با برخی نکات و تصاویر ذهنی آشنا می کنم تا چگونگی اندازه گیری زاویه ها را بخوبی درک کنید.

درجه (Degree): واحد پایۀ اندازه گیری زاویه ها درجه (degree) می باشد. یک درجه برابر با \({1\over360}\) از یک دایره است، یا \({1\over360}\) از یک دَوَران (چرخش) کامل.

نکته: یک روش خوب برای شروع فکر کردن در مورد اندازۀ زاویه و واحد درجه اینست که یک پیتزای کامل را تصور کنید ـــ آن یک پیتزای \(360^{\circ}\) می باشد. این پیتزا را به \(360\) تکۀ مساوی تقسیم کنید، اندازۀ زاویۀ هر تکه از این پیتزا برابر با \(1^{\circ}\) خواهد بود (البته اگر گرسنه هستید توصیه نمی کنم اینقدر پیتزا را کوچک تکه تکه کنید).

برای سایر اندازه گیری های زاویه، لیست زیر و شکل 2-3 را ببینید:

  • اگر یک پیتزا را به چهار تکۀ بزرگ تقسیم کنید، هر تکه یک زاویۀ \(90^{\circ}\) را می سازد \((360^{\circ} \div 4 = 90^{\circ})\) .
  • اگر یک پیتزا را به چهار تکۀ بزرگ تقسیم کنید، و سپس هر کدام از آن تکه ها را نصف کنید، به هشت تکه می رسید، هر کدام از آنها یک زاویۀ \(45^{\circ}\) را می سازند \((360^{\circ} \div 8 = 45^{\circ})\) .
  • اگر پیتزای اصلی را به \(12\) قسمت مساوی تقسیم کنید، هر تکه یک زاویۀ \(30^{\circ}\) را می سازند \((360 \div 12 = 30^{\circ})\) .

اندازه گیری پاره خطها و زاویه ها
بنابراین \({1\over12}\) از یک پیتزا برابر با \(30^{\circ}\) می باشد، \({1\over8}\) برابر با \(90^{\circ}\) ، و به همین ترتیب. هر چقدر اندازۀ کسر بزرگترباشد، زاویۀ مربوطه بزرگتر خواهد بود.

هنگامی که بحث از اندازۀ زاویه به میان می آید، کسری از این پیتزا یا دایره تنها چیزی است که حائز اهمیت می باشد. اندازۀ نانِ پیتزا و مساحت آن تکه از پیتزا در مورد اندازۀ زاویه هیچ چیزی را به شما نمی گویند. به عبارت دیگر، \({1\over6}\) از یک پیتزای \(10\) اینچی نشان دهندۀ همان زاویه ای است که \({1\over6}\) از یک پیتزای \(16\) اینچی نشان می دهد، و \({1\over8}\) از یک پیتزای کوچک دارای زاویه ای بزرگتر (\(45^{\circ}\)) از \({1\over12}\) از یک پیتزای بزرگ (\(30^{\circ}\)) می باشد. شکل 3-3 را ببینید.

اندازه گیری پاره خطها و زاویه ها
روش دیگر برای فکر کردن در مورد اندازۀ زاویه اینست که به باز شدن یک در یا قیچی، یا دهان یک تمساح فکر کنیم. هر چقدر دهان تمساح بیشتر باز شود، زاویه بزرگتر خواهد بود. همانطور که شکل 4-3 به شما نشان می دهد، یک بچه تمساح که دهانش را بیشتر باز کرده است نسبت به یک تمساح بالغ که دهانش را کمتر باز کرده است، زاویۀ بزرگتری را ایجاد کرده است.

اضلاع یک زاویه هر دو نیم خط می باشند، و تمامی نیم خطها، صرفنظر از اینکه در شکل چطور ترسیم شده باشند، بی نهایت طول دارند. طول اضلاع یک زاویه در یک شکل هندسی، به هیچ وجه در اندازه های واقعی نیستند، و هیچ ارتباطی هم به اندازۀ زاویه ندارند. حتی اگر در یک شکل یک زاویه را با دو پاره خط به عنوان اضلاع زاویه نشان بدهند، آن اضلاع از نظر فنی هنوز هم نیم خط می باشند و بی نهایت طول دارند.

اندازه گیری پاره خطها و زاویه ها
زاویه های همنهشت (Congruent angles) زاویه هایی با اندازۀ یکسان در واحد درجه می باشند. به عبارت دیگر، در زاویه های همنهشت میزان باز شدن آنها در رأس یکسان می باشد. اگر دو زاویۀ همنهشت را روی یکدیگر قرار دهید، به نحویکه رأس هایشان روی هم بیفتد، دو ضلع یک زاویه، کاملاً با دو ضلع زاویۀ دیگر در یک ردیف قرار خواهند گرفت.

شما می دانید که دو زاویۀ زمانی همنهشت هستند که هر دوی آنها اندازۀ عددی یکسانی داشته باشند (به عنوان مثال هر دو \(70^{\circ}\) باشند) یا اینکه شما اندازۀ آنها را نمی دانید اما می دانید (یا به شما گفته شده است) که آن دو زاویه همنهشت هستند. در شکلها، زاویه های دارای تعداد یکسانی علامت تیک با یکدیگر همنشهت هستند. شکل 5-3 را ببینید.

اندازه گیری پاره خطها و زاویه ها



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.