خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


استدلال با منطق If-Then

استدلال با منطق If-Then
نویسنده : امیر انصاری
هر اثبات هندسی دنباله ای از استنتاج های منطقی می باشد. شما یکی از حقایق داده شده را به عنوان گزارۀ 1 می نویسید. سپس، برای گزارۀ 2، چیزی را که از گزارۀ 1 تبعیت می کند به کار می برید و دلیل آوری هایتان برای آن را در ستون دلیل (reason column) می نویسید. سپس به سمت گزارۀ 3 رهسپار می شوید، و به همین ترتیب، تا اینکه به گزارۀ اثبات (prove statement) برسید. روشی که از گزارۀ 1 به گزارۀ 2، از گزارۀ 2 به گزارۀ 3 می روید، و به همین ترتیب، استفاده از منطق if-then می باشد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



راستی، مفاهیم ارائه شده در چند بخش بعدی، مفاهیم بزرگی هستند، پس اگر بر حسب اتفاق اندکی خواب آلود هستید، بیدار شوید و دقت کنید!

زنجیرۀ منطق If-then


یک اثبات دو ستونیِ هندسی، در اصل یک استدلال منطقی یا زنجیره ای از استنتاج های منطقی می باشد، مانند:

  1. اگر (If) خوب مطالعه کنم، سپس (then) نمرات خوبی می گیرم.
  2. اگر نمرات خوبی بگیرم، سپس به یک دانشگاه خوب می روم.
  3. اگر به یک دانشگاه خوب بروم، سپس فرد موفقی می شوم.
  4. (و به همین ترتیب ...)

(با این استثناء که اثبات های هندسی به طور طبیعی در مورد اشکال هندسی می باشند.) توجه داشته باشید که هر کدام از این جملات، جمله ای با یک جزء if (اگر) و یک جزء then (سپس) می باشند.

یادداشت مترجم: معنای لغوی if برابر با "اگر" و معنای لغوی then برابر با "سپس" می باشد. این دو کلمه به لحاظ رعایت استاندارد منطق با تاکید بر روی حروف انگلیسی شان ذکر شده اند، ممکن است در فارسی برخی جاها به جای then شما بنویسید "پس" ، یا "بنابراین"، یا "در نتیجه" و ... . در این صورت مشکلی ندارد و صرفاً این اهمیت دارد که به نحوی معادلی از این دو کلمه را در فارسی ذکر نمایید.

در اینجا مثالی از یک اثبات دو ستونی در زندگی روزمره داریم. فرض کنید که شما یک سگ از نژاد دالمیشن (Dalmatian) با نام اسپات (Spot) دارید، و می خواهید اثبات کنید که او یک پستاندار (mammal) است. شکل 2-4 این اثبات را به شما نشان می دهد.

استدلال با منطق If-Then
ترجمۀ شکل 2-4:
Spot is a Dalmation : اسپات یک دالمیشن است.
Spot is a dog: اسپات یک سگ است.
Spot is a mammel: اسپات یک پستاندار است.
Given: مفروضات مسأله (حقیقت داده شده)
If something is a Dalmation, then it's a dig: اگر چیزی دالمیشن باشد، پس یک سگ است.
If something is a dog, then it's a mammal: اگر چیزی یک سگ باشد، پس یک پستاندار است.

در خط اول از ستون گزاره (statement column)، شما این حقیقت را قرار داده اید که اسپات یک دالمیشن می باشد، و در ستون دلیل (reason column) آن را به عنوان یک حقیقت داده شده (Given) ذکر کرده اید. سپس، در گزارۀ 2، واقعیت جدیدی را که از گزارۀ 1 نتیجه گیری کرده اید، قرار داده اید ـــ و آن اینکه اسپات یک سگ است. در دلیل 2، شما از این ادعا به این صورت دفاع کرده اید یا به نوعی برایش دلیل آورده اید، که اگر چیزی یک دالمیشن باشد، پس یک سگ است.

در اینجا چندین روش برای تفکر در مورد اینکه دلایل چگونه کار می کنند آورده ایم:

  • فرض کنید من می دانم که اسپات یک دالمیشن است و سپس شما به من می گویید، "اسپات یک سگ است." من از شما می پرسم، "از کجا می دونی؟" پاسخ شما به من چیزی است که در ستون دلیل می نویسید.
  • وقتی دلیلی مانند این را می نویسید که اگر چیزی یک دالمیشن باشد، پس آن چیز یک سگ است، شما می توانید به کلمۀ if (اگر) اینطور فکر کنید "من هم اکنون می دانم که"، و می توانید به کلمۀ then (سپس) اینطور فکر کنید "من می توانم نتیجه بگیرم که". بنابراین اساساً، دلیل دوم، در شکل 2-4 بدین معنا می باشد که از آنجا که هم اکنون می دانید که اسپایت یک دالمیشن است، شما می توانید نتیجه بگیرید که اسپات یک سگ است.

با ادامه دادن این اثبات، در گزارۀ 3، شما چیزی را می نویسید که از گزارۀ 2 نتیجه گیری کرده اید، یعنی اسپات یک پستاندار است. سرانجام، برای دلیل 3، دفاعیه یا همان توجیهتان برای گزارۀ 3 را اینطور می نویسید: اگر چیزی یک سگ باشد، آن چیز یک پستاندار است. ساختار هر پاسخِ اثبات هندسی مشابه این ساختار ساده می باشد.

تعاریف، قضیه ها، و قیاس های منطقی


تعاریف (Definitions)، قضیه ها (theorems)، و قیاس های منطقی (postulates) بلوک های تشکیل دهندۀ اثبات های هندسی هستند. با استثنائاهایی خیلی اندک، بسیاری از توجیهات در ستون دلیل، یکی از این سه چیز هستند. به شکل 2-4 مجدداً نگاهی بیندازید. اگر به جای اثبات پستاندار بودن آن یک اثبات هندسی می بود، ستون دلیل شامل تعاریف، قضیه ها، و قیاس های منطقی if-then از دیدگاه هندسی می بود. در اینجا مهمترین حقایق در مورد تعاریف، قضیه ها، و قیاس های منطقی را داریم.

استفاده از تعاریف در ستون دلیل


تعریف (Definition): (این تعریفِ کلمۀ تعریف است؛ قبول دارم که اندکی عجیب و غریب است!) من مطمئن هستم که شما می دانید تعریف چه معنایی دارد ـــ آن تعیین می کند یا تشریح می کند که معنای یک اصطلاح چه می باشد. در اینجا مثالی داریم: "یک نقطۀ میانی (midpoint) یک پاره خط را به دو بخش همنهشت تقسیم می کند."

شما می توانید تمامی تعاریف را در شکل if-then در هر یک از این دو جهت، بنویسید. "اگر یک نقطه، نقطۀ میانی در یک پاره خط باشد، سپس آن پاره خط را به دو قسمت همنهشت تقسیم می کند" یا "اگر یک نقطه پاره خطی را به دو قسمت همنهشت تقسیم کند، سپس آن نقطه، نقطۀ میانی آن پاره خط می باشد."

شکل 3-4 به شما نشان می دهد که چگونه از هر دو نسخۀ تعریف نقطۀ میانی در یک اثبات دو ستونی استفاده کنید.

اثبات های کوچک زیر از این شکل استفاده می کنند:

استدلال با منطق If-Then
برای اثبات اول، به شما این حقیقت داده شده است که \(M\) نقطۀ میانی \(\overline{AB}\) می باشد، و شما باید ثابت کنید که \(\overline{AM} \cong \overline{MB}\) .

استدلال با منطق If-Then
ترجمۀ شکل:
\( \text{M is the midpoint of } \overline{AB}\) : \(M\) نقطۀ میانی \(\overline{AB}\) می باشد.
If a point is the midpoint of a segment, then it divides the segment into two congruent parts: اگر یک نقطه، نقطۀ میانی یک پاره خط باشد، سپس آن پاره خط را به دو قسمت همنهشت تقسیم می کند.

برای اثبات دوم به شما این حقیقت داده شده است که \(\overline{AM} \cong \overline{MB}\) ، و شما باید ثابت کنید که \(M\) نقطۀ میانی \(\overline{AB}\) می باشد.

استدلال با منطق If-Then
ترجمۀ شکل:
If a point divides a segment into two congruent parts, then it's the midpoint of the segment:
اگر یک نقطه پاره خطی را به دو قسمت همنهشت تقسیم کند، سپس آن نقطه، نقطۀ میانی آن پاره خط می باشد.

هنگامی که مجبور می شوید بین این دو نسخۀ متفاوت از تعریف نقطۀ میانی، گزینشی را انجام بدهید، یادتان باشد که می توانید به کلمۀ if به معنای "از آنجا که در حال حاضر من می دانم" و به کلمۀ then به معنای "من الان نتیجه می گیرم" فکر کنید. به عنوان مثال، برای دلیل 2 در اثبات اول، شما نسخه ای را انتخاب کردید که می گوید "اگر نقطه ای، نقطۀ میانی یک پاره خط باشد، سپس آن پاره خط را به دو قسمت همنهشت تقسیم می کند"، از آنجا که شما در حال حاضر می دانید که \(M\) نقطۀ میانی \(\overline{AB}\) می باشد (زیرا به شما داده شده است) و از روی این حقیقت داده شده شما می توانید نتیجه بگیرید که \(\overline{AM} \cong \overline{MB}\) .

استفاده از قضایا و قیاس های منطقی در ستون دلیل


قضیه (Theorem) و قیاس منطقی (postulate): هم قضایا و هم قیاس های منطقی گزاره هایی از حقایق هندسی هستند، مانند اینکه "تمامی زاویه های قائمه همنهشت هستند" یا "تمامی شعاع های یک دایره همنهشت هستند". تفاوت بین قیاس های منطقی و قضایا اینست که در قیاس های منطقی مفروض بر اینست که آنها صحیح هستند، اما قضایا باید اثبات گردند که بر اساس قیاس های منطقی و/یا قضایای اثبات شدۀ فعلی، صحیح می باشند. این تمایز چیزی نیست که مجبور باشید خیلی به آن اهمیت بدهید، مگر اینکه مشغول نوشتن پایان نامۀ دکترای خود در زمینۀ ساختار قیاسی در هندسه باشید. با این حال، از آنجا که من مشکوک به این هستم که شما در حال حاضر بر روی پایان نامۀ دکترای خود در هندسه مشغول باشید، نگران این نکتۀ ظریف نخواهم بود.

قضیۀ "تمامی زاویه های قائمه همنهشت هستند"، در شکل if-then اینطور خواهد بود، "اگر دو زاویه قائمه باشند، سپس آنها همنهشت هستند". برخلافِ تعاریف، قضایا به طور کلی برگشت پذیر (reversible) نیستند. به عنوان مثال، اگر این قضیۀ زاویۀ قائمه را معکوس کنید، به گزاره ای نادرست می رسید: "اگر دو زاویه همنهشت باشند، سپس آنها زاویۀ قائمه هستند". (اگر یک قضیه در هر دو جهت درست کار کند، شما برای هر نسخه از آن یک قضیۀ جداگانه را خواهید داشت. قضیۀ دو ضلع یک مثلث متساوی الساقین (isosceles-triangle) ـــ اگر ضلعها سپس زاویه ها و اگر زاویه ها، سپس ضلع ها ـــ مثالی از این نوع می باشد. فصل 9 را ببینید.) شکل 4-4 قضیۀ مثلث قائم الزاوایه را در یک اثبات نشان می دهد.

استدلال با منطق If-Then
ترجمۀ شکل:
در این اثبات کوچک، به شما این حقایق داده شده است که \(\angle{A}\) و \(\angle{B}\) زاویه های قائمه می باشند، و شما باید اثبات کنید که \(\angle{A} \cong \angle{B}\) .
  1. \(\angle{A}\) یک زاویۀ قائمه است. \(\angle{B}\) یک زاویۀ قائمه است.
    داده های مسأله.
  2. اگر دو زاویه قائمه باشند، سپس آنها همنهشت هستند.

نکته: هنگامیکه مشغول انجام اولین اثباتتان هستید، یا بعدها زمانیکه در کشمکش با یک اثبات سخت هستید، بسیار سودمند است که دلایلتان را (تعاریف، قضایا، و قیاس های منطقی) در شکل if-then بنویسید. هنگامی که از شکل if-then استفاده می کنید، ساختار منطقیِ اثبات را ساده تر می توان دنبال کرد. بعد از اینکه یک خبرۀ اثبات شدید، می توانید دلایلتان را در شکلهای بدون if-then مختصرنویسی کنید یا به سادگی فقط نام تعاریف، قضایا، یا قیاس های منطقی را ذکر کنید.

استفاده از منطق حبابی در اثبات های دو ستونی


من دوست داریم تا حُباب ها و فلش ها را به یک پاسخ اثبات بیفزایم تا ارتباط بین گزاره ها و دلایل را نشان بدهم. هنگامی که یک اثبات را حل می کنید، از شما چنین درخواستی نمی شود؛ این فقط روشی است که در درک کارکرد اثبات ها به شما کمک می کند. شکل 5-4 اثبات مربوط به سگی با نام اسپات را که قبلاً گفتیم به شما نشان می دهد (در شکل 2-4)، این بار با استفاده از حباب ها و فلش ها که به شما نشان می دهند چگونه منطق در این اثبات جریان دارد.

استدلال با منطق If-Then
ترجمۀ شکل:
  1. اسپات یک دالمیشن است.
    داده های مسأله.
  2. اسپات یک سگ است.
    اگر چیزی یک دالمیشن باشد، سپس آن چیز یک سگ است.
  3. اسپات یک پستاندار است.
    اگر چیزی یک سگ باشد، سپس آن چیز یک پستاندار است.

این فلش ها را از حبابی به حباب دیگر دنبال کنید، و نکات من را دنبال کنید تا از مشکل دور بمانید! نکتۀ بعدی واقعاً مهم است، بنابراین به آن توجه کنید.

نکته: در یک اثبات دو ستونی،

  • مفهوم موجود در جزء if در هر دلیل باید از ستون گزاره ها و جایی بالای آن دلیل بیاید.
  • مفهوم موجود در جزء then در هر دلیل باید با مفهوم ارائه شده در گزارۀ همان خط دلیل مطابقت کند.

فلش ها و حباب ها در شکل 5-4 به شما نشان می دهند چگونه این ساختار منطقی فوق العاده مهم کار می کند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.