خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


قضایای زاویه های متمم و مکمل

قضایای زاویه های متمم و مکمل
نویسنده : امیر انصاری
در این فصل، شما از موارد دست گرمی که در فصل های پیشین مطرح کردیم، عبور می کنید و شروع به کار با اثبات های هندسی واقعی می کنید. (اگر برای این جهش آماده نیستید، فصل 4 را مرور کنید). در اینجا یک بستۀ آغازین که شامل 18 قضیه (theorem) و همراه با آن چندین اثبات که نشان می دهد چگونه آن قضایا مورد استفاده قرار می گیرند را به شما ارائه می کنم.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



زوایای متمم و زوایای مکمل


این بخش به شما قضایایی را در مورد زاویه های متمم (Complementary) و زاویه های مکمل (supplementary) معرفی می کند. زوایای متمم، دو زاویه هستند که حاصلجمع آنها \(90^{\circ}\) یا یک زاویۀ قائمه می شود؛ زوایای مکمل حاصل جمعشان \(180^{\circ}\) یا یک زاویۀ نیم صفحه می شود. این زاویه ها هیجان انگیزترین چیزهای هندسه نیستند، اما شما باید قادر باشید آنها را در یک شکل هندسی شناسایی کنید و بدانید چگونه قضایای مرتبط با آنها را مورد استفاده قرار دهید.

شما از قضایایی که من در اینجا لیست کرده ام برای زاویه های متمم استفاده می کنید:

  • متمم هایِ زاویه ای یکسان، همنهشت می باشند. اگر دو زاویه هر کدامشان متمم یک زاویۀ سوم باشند، سپس آن دو زاویه با هم همنهشت خواهند بود. (توجه داشته باشید که این قضیه شامل مجموعاً سه زاویه می شود.)
  • متمم هایِ زاویه هایی همنهشت، با یکدیگر همنهشت می باشند. اگر دو زاویه متمم دو زاویۀ همنهشت دیگر باشند، سپس آنها با هم همنهشت هستند. (این قضیه روی هم رفته شامل چهار زاویه می شود.)

مثالهای زیر به شما نشان می دهند، منطق این دو قضیه به صورت غیر قابل باوری چقدر ساده می باشد.


متمم های یک زاویۀ یکسان

داده ها: شکل هندسی زیر

زاویه های متمم و مکمل
نتیجه گیری: \(\angle{A} \cong \angle{C}\) زیرا هر دوی آنها باید زاویه های \(30^{\circ}\) باشند.

متمم های زاویه های همنهشت

داده ها: شکل هندسی زیر

زاویه های متمم و مکمل
نتیجه گیری: \(\angle{A} \cong \angle{D}\) زیرا هر دوی آنها باید زاویه های \(40^{\circ}\) باشند.

نکته: منطق نشان داده شده در این دو تصویر، یکسان کار می کنند، البته، هنگامی که اندازۀ زاویه های داده شده را ندانید (\(\angle{B}\) در شکل اول و \(\angle{B}\) و \(\angle{C}\) در شکل دوم).

و در اینجا دو قضیه در مورد زاویه های مکمل داریم که دقیقاً مشابه همان روشی که در مورد قضیۀ دو زاویۀ متمم مشاهده کردید، کار می کنند.

  • مکمل های یک زاویۀ یکسان با هم همنهشت هستند. اگر دو زاویه هر کدامشان مکمل یک زاویۀ سوم باشند، سپس آن دو زاویه با یکدیگر همنهشت می باشند. (این نسخه سه زاویه ای است.)
  • مکمل های زاویه های همنهشت با یکدیگر همنهشت هستند. اگر دو زاویه مکمل دو زاویۀ همنهشت دیگر باشند، سپس آن دو زاویه با هم همنهشت هستند. (این نسخۀ چهار زاویه ای می باشد.)

این چهار قضیه اشاره شده در مورد زاویه های متمم و مکمل، بعلاوۀ قضایای جمع و تفریق (addition and subtraction theorems) و قضایای تراگذری (transitivity theorems) ـــ که در ادامۀ همین فصل خواهید دید ـــ به صورت جفتی می آیند: یکی از این قضایا شامل سه پاره خط یا زاویه می باشد، و دیگری، که بر اساس همان مفهوم می باشد، شامل چهار پاره خط یا زاویه می باشد. هنگامی که مشغول انجام یک اثبات هستید، توجه داشته باشید که آیا بخش های مرتبط در شکل اثبات شامل سه یا چهار پاره خط یا زاویه می باشند، تا تعیین کنید که آیا باید از نسخۀ سه تایی یا نسخه چهارتایی از قضیۀ مناسب، استفاده کنید.

بیایید در عمل، نگاهی به یکی از قضایای زاویه های متمم و یکی از قضایای زاویه های مکمل بیندازیم:

زاویه های متمم و مکمل
داده ها:
\(\overline{TD} \bot \overline{DC}\)
\(\overline{QC} \bot \overline{DC}\)
\(\angle{TDQ} \cong \angle{QCT}\)

اثبات:
\(\angle{UDC} \cong \angle{SCD}\)

یک تست اضافی هم برای شما داریم، که اگر جواب بدهید امتیاز بیشتری می گیرید: به نظر شما UDTQCS مخفف چیست؟

قبل از اینکه سعی کنید یک اثبات رسمیِ دو ستونی بنویسید، معمولاً ایدۀ خوبی است که واقعیتها در مورد اینکه چرا گزاره اثبات صحیح می باشد را با استفادۀ استدلالهایی مبتنی بر تجربۀ شخصی خودتان در نظر بگیرید. من این نوع استدلال را استراتژی بازی (game plan) می نامم (در فصل 6 جزئیات بیشتری را در مورد استراتژی بازی به شما ارائه خواهم داد). استراتژی های بازی مخصوصاً در اثبات های طولانی تر سودمند هستند، زیرا بدون یک استراتژی، شما ممکن است در میانۀ اثبات راهتان را گم کنید. در سراسر این کتاب من مثالهایی از استراتژی های بازی را برای بسیاری از اثبات ها گنجانده ام؛ هرگاه که من این کار را نکرده باشم، شما می توانید قبل از پرداختن به اثبات رسمی دو ستونی، استراتژی خودتان را پیاده کنید.

هنگامی که مشغول کار بر روی یک استراتژی بازی هستید، ممکن است دریابید که انتخاب اندازه های دلخواه برای پاره خطها و زاویه ها در اثبات، می تواند کاری سودمند باشد. شما می توانید این کار را برای پاره خطها و زاویه هایی که در داده های اثبات موجودند و گاهی برای پاره خطها و زاویه های اشاره نشده، انجام دهید. اگرچه، شما نباید برای چیزهایی که سعی دارید آنها را به عنوان همنهشت نشان بدهید، اندازه بسازید.

استراتژی بازی: به عنوان مثال، در این اثبات، شما می توانید به خودتان بگویید، "بزار ببینم .... بخاطر پاره خطهای عمودی که داده شده اند، من دو زاویۀ قائمه دارم. بعد، بقیه داده ها به من می گویند که \(\angle{TDQ} \cong \angle{QCT}\) . اگر هر دوی آنها \(50^{\circ}\) باشند، \(\angle{QDC}\) و \(\angle{TCD}\) هر دو باید \(40^{\circ}\) باشند، و سپس \(\angle{UDC}\) و \(\angle{SCD}\) هر دو باید \(140^{\circ}\) باشند (زیرا یک خط راست برابر با \(180^{\circ}\) می باشد)". خودشه.

در اینجا اثبات رسمی را داریم:

زاویه های متمم و مکمل
ترجمۀ شکل:
  1. \(\overline{TD} \bot \overline{DC}\)
    \(\overline{QC} \bot \overline{DC}\)
    داده های اثبات (چرا باید اینها را به شما بگویند؟ دلیل 2 را ببینید.)
  2. \(\angle{TDC}\) یک زاویۀ قائمه است.
    \(\angle{QCD}\) یک زاویۀ قائمه است.
    اگر پاره خطها بر یکدیگر عمود باشند، سپس آنها زاویه های قائمه را می سازند (تعریف متعامد).
  3. \(\angle{CDQ}\) متمم زاویۀ \(\angle{TDQ}\) می باشد.
    \(\angle{DCT}\) متمم زاویۀ \(\angle{QCT}\) می باشد.
    اگر دو زاویه یک زاویۀ قائمه را شکل دهند، سپس آنها متمم یکدیگر می باشند (تعریف زاویه های متمم).
  4. \(\angle{TDQ} \cong \angle{QCT}\)
    داده های اثبات.
  5. \(\angle{CDQ} \cong \angle{DCT}\)
    اگر دو زاویه متمم دو زاویۀ همنهشت دیگر باشند، سپس آنها با هم همنهشت هستند.
  6. \(\angle{UDQ}\) یک زاویۀ نیم صفحه می باشد.
    \(\angle{SCT}\) یک زاویۀ نیم صفحه می باشد.
    از روی شکل مفروض شده است.
  7. \(\angle{UDC}\) مکمل \(\angle{CDQ}\) می باشد.
    \(\angle{SCD}\) مکمل \(\angle{DCT}\) می باشد.
    اگر دو زاویه یک زاویۀ نیم صفحه را تشکیل دهند، سپس آنها مکمل یکدیگر می باشند (تعریف زاویه های مکمل).
  8. \(\angle{UDC} \cong \angle{SCD}\)
    اگر دو زاویه مکمل دو زاویۀ همنهشت دیگر باشند، سپس آنها همنهشت هستند.

نکته: بسته به اینکه معلم شما چقدر سختگیر و دقیق باشد، او ممکن است به شما اجازه دهد مراحلی همچون مرحلۀ 6 در این اثبات را نادیده بگیرید، زیرا بسیار ساده و بدیهی است. خیلی از معلم ها در نیمسال اول اصرار دارند که حتی کوچکترین مراحل نیز در اثبات گنجانده شوند، اما سپس، در نیمسال دوم اندکی از سخت گیریشان می کاهند و اجازه می دهند تا مراحلی اینچنین بدیهی را نادیده بگیرید.

در این مسأله یک سوال اضافی نیز مطرح کردیم: به نظر شما UDTQCS مخفف چیست؟

پاسخ این سوال اینست: UDTQCS مخفف \(\text{Un, Due, Tre, Quattro, Cinque, Sei}\) می باشد. این شمارش اعداد از یا تا شش البته به زبان ایتالیایی می باشد. (برای آنها که اندکی فرانسه هم بلد هستند، قابل ذکر است که شمارش اعداد از یک تا شش به زبان فرانسوی نیز همینگونه است.)



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.