خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean Theorem)

قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean Theorem)
نویسنده : امیر انصاری
در دنیای واقعی مثلث های قائم الزاویه کاملاً رواج دارند. زاویه های قائمه همه جا وجود دارند: گوشه های دیوارها، سقف ها، کف ها، دربها، پنجره ها، تزئینات دیواری؛ میزها، جعبه ها، و تکه های کاغذ؛ تقاطع بیشتر خیابان ها؛ زاویۀ بین ارتفاع چیزها (یک ساختمان، درخت، یا کوه) و زمین. این لیست بی پایان است. و شما در هر جایی یک مثلث قائم الزاویه می بینید، شما به صورت بالقوه یک مثلث قائم الزاویه دارید. مثلث های قائم الزاویه در ناوبری، نقشه برداری، نجاری، و معماری به وفور وجود دارند ـــ حتی سازندگان اهرام بزرگ مصر از ریاضیات مثلث قائم الزاویه استفاده کرده اند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



دلیل دیگر برای فراوانی مثلث های قائم الزاویه در کتابهای هندسی، سادگی ارتباط بین طول اضلاع آن می باشد. به دلیل این ارتباط، مثلث های قائم الزاویه منبع خوبی برای مسائل هندسی می باشند. در این فصل، من به شما نشان می دهم چگونه مثلث های قائم الزاویه سهم عادلانه ای از کارها را به عهده گرفته اند.

به کار بردن قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean Theorem)


قضیۀ فیثاغورث برای دست کم \(2500\) سال است که شناخته شده می باشد (من می گویم دست کم زیرا هیچ کس واقعاً نمی داند آیا شخص دیگری قبل از فیثاغورث این قضیه را کشف کرده است یا خیر).

شما زمانی از قضیۀ فیثاغورث استفاده می کنید که طول دو ضلع از یک مثلث قائم الزاویه را داشته باشید و بخواهید طول ضلع سوم را بدست آورید.

قضیۀ فیثاغورث (The Pythagorean Theorem): قضیۀ فیثاغورث بیان می دارد که مجموع مربع ساق های یک مثلث قائم الزاویه با مربع وتر آن برابر می باشد:
$$a^2+b^2=c^2$$

در اینجا، \(a\) و \(b\) طول ساق ها می باشند و \(c\) طول وتر است. ساق ها دو ضلع کوتاهترند که زاویۀ قائمه را لمس می کنند، و وتر (طولانی ترین ضلع) در مقابل زاویۀ قائمه قرار دارد.

شکل 1-8 به شما نشان می دهد چگونه قضیۀ فیثاغورث برای یک مثلث قائم الزاویه که ساق های آن \(3\) و \(4\) و وترش \(5\) می باشد، کار می کنند.

در ادامه سه مسأله داریم که از قضیۀ فیثاغورث استفاده می کنند و با استفاده از آنها می توانید کیفیت خودتان در این زمینه را بسنجید. هر چه جلوتر بروید این مسأله ها سخت تر می گردند.

این اولین مسأله است (شکل 2-8): در مسیر پیاده روی به سمت محل کارتان، شما می توانید از کنار یک پارک عبور کنید و یا اینکه به صورت مورب از آن پارک عبور کنید. اگر این پارک 2 بلوک در 3 بلوک باشد، در صورتی که از مسیر میان بر مورب داخل پارک بروید، چقدر مسیرتان کوتاهتر می شود؟

قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean Theorem)
شما یک مثلث قائم الزاویه با ساق های 2 و 3 بلوک دارید. این اعداد را در قضیۀ فیثاغورث جایگذاری کنید تا طول مسیر میانبر که در واقع همان وتر مثلث قائم الزاویه می باشد را بدست آورید:
$$2^2+3^2=c^2 \\
4+9=c^2 \\
13=c^2 \\
c = \sqrt{13} \approx 3.6 \text{ blocks }$$
این طول مسیر میانبر می باشد. اگر از اطراف پارک مسیر را بروید، \(2+3=5\) بلوک را طی خواهید کرد، بنابراین این میانبر در حدود \(1.4\) بلوک کوتاهتر است.

در اینجا مسأله دیگری اندکی سخت تر داریم. این یک مسأله چند مرحله ای است که در آن شما باید بیش از یکبار از قضیۀ فیثاغورث استفاده کنید. در شکل 3-8 ، \(x\) را بیابید و همچنین مساحت شش ضلعیِ \(ABCDEF\) را نیز بیابید.

قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean Theorem)
شش ضلعیِ \(ABCDEF\) از چهار مثلث قائم الزوایۀ متصل بیکدیگر تشکیل شده است، هر کدام از این مثلث ها دست کم یک ضلع را با بقیۀ مثلث ها به اشتراک گذارده اند. برای بدست آوردن \(x\) ، یک واکنش زنجیره ای ایجاد می کنید که در آن شما یک ضلع نامشخص از یک مثلث قائم الزاویه را بدست می آورید و سپس از آن پاسخ برای بدست آوردن ضلع نامشخص مثلث بعدی استفاده می کنید ـــ کافیست قضیۀ فیثاغورث را چهار بار استفاده کنید. شما هم اکنون طول دو ضلع از \(\triangle{BAF}\) را دارید، بنابراین کار را با یافتن \(BF\) آغاز کنید.
$$(BF)^2=(AF)^2+(AB)^2 \\
(BF)^2=1^2+2^2 \\
(BF)^2=5 \\
BF= \sqrt{5}
$$
اکنون که \(BF\) را دارید، دو تا از اضلاع \(\triangle{CBF}\) را در اختیار دارید. از قضیۀ فیثاغورث برای یافتن \(CF\) استفاده کنید:
$$
(CF)^2=(BF)^2+(BC)^2 \\
(CF)^2=\sqrt{5}^2+3^2 \\
(CF)^2=5+9 \\
CF=\sqrt{14}
$$
با پر شدن \(CF\) ، شما می توانید ضلع کوتاه \(\triangle{ECF}\) را بیابید:
$$
(CE)^2+(CF)^2=(FE)^2 \\
(CE)^2+\sqrt{14}^2=5^2 \\
(CE)^2+14=25 \\
(CE)^2=11 \\
CE=\sqrt{11}
$$
و حالا که \(CE\) را در اختیار دارید، می توانید \(x\) را بدست آورید:
$$
x^2=(CE)^2+(ED)^2 \\
x^2=\sqrt{11}^2+5^2 \\
x^2=11+25 \\
x^2=36 \\
x=6
$$
اوکی، به سوی نیمۀ دوم این مسأله پیش می رویم. برای بدست آوردن مساحت \(ABCDEF\) ، صرفاً کافیست مساحت این چهار مثلث قائم الزاویه را با یکدیگر جمع بزنید. مساحت یک مثلث برابر است با \({1\over2} base \cdot height\) . در مورد یک مثلث قائم الزوایه، می توانید از دو ساق آن به عنوان قاعده و ارتفاع استفاده کنید. با حل کردن \(x\)، شما اکنون طول تمامی اضلاع این مثلث ها را در اختیار دارید، بنابراین صرفاً اعداد را در فرمول مساحت جایگذاری کنید:
$$
Area_{\triangle{BAF}} = {1\over2} \cdot 1 \cdot 2 = 1 \\
Area_{\triangle{CBF}} = {1\over2} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 = 1.5\sqrt{5} \\
Area_{\triangle{ECF}} = {1\over2} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{14} = 0.5\sqrt{154} \\
Area_{\triangle{DCE}} = {1\over2} \cdot \sqrt{11} \cdot 5 = 2.5\sqrt{11}
$$
بنابراین، مساحت چندضلعیِ \(ABCDEF\) برابر با \(1+1.5\sqrt{5}+0.5\sqrt{154}+2.5\sqrt{11}\) ، یا در حدود \(18.9\) واحد مربع می باشد.

و اکنون یک مسألۀ چالش انگیزتر داریم. در این یکی، شما نیاز خواهید داشت تا یک دستگاه متشکل از دو معادلۀ دومجهولی را حل کنید. اطلاعات جبری خود را گردگیری کنید و برای شروع آماده باشید. مسأله اینست: مساحت \(\triangle{FAC}\) را در شکل 4-8 با استفاده از فرمول استاندارد مساحت مثلث، و نه فرمول هرون بیابید. چرا که استفاده از فرمول هرون منجر می شود تا این چالش بسیار آسانتر گردد؛ در پایان با استفاده از فرمول هرون پاسخ بدست آمده را درست آزمایی کنید (برای مشاهده هر دو فرمول، فصل 7 را ببینید.)

قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean Theorem)
شما هم اکنون طول قاعدۀ \(\triangle{FAC}\) را دارید، بنابراین برای یافتن مساحت آن، نیاز به دانستن ارتفاع آن دارید. ارتفاع این مثلث، زاویه های قائمه ای را با قاعدۀ \(\triangle{FAC}\) تشکیل می دهد، بنابراین شما دو مثلث قائم الزاویه دارید: \(\triangle{FAT}\) و \(\triangle{CAT}\) . اگر شما بتوانید طول ساق پایینی هر کدام از این دو مثلث قائم الزاویه را بیابید، می توانید از قضیۀ فیثاغورث استفاده کنید و ارتفاع آن را بیابید.

شما می دانید که مجموع \(FT\) و \(TC\) برابر با \(14\) میباشد. بنابراین، اگر اجازه دهید \(FT\) برابر با \(x\) باشد، \(TC\) برابر با \(14-x\) می گردد. اکنون دو متغیر در این مسأله دارید، \(h\) و \(x\). اگر از قضیۀ فیثاغورث برای هر دو مثلث استفاده کنید، به یک دستگاه معادله با دو معادله و دو مجهول می رسید:
$$
\begin{array}{c c}
\triangle{FAT}: & h^2+x^2=13^2 \\
& h^2+x^2=169
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{c c}
\triangle{CAT}: & h^2+(14-x)^2=15^2 \\
& h^2+196-28x+x^2=225 \\
& h^2 +x^2-28x=29
\end{array}
$$
برای حل کردن این دستگاه، ابتدا نیاز دارید تا به یک معادلۀ واحد با یک مجهول برسید. می توانید با استفاده از روش جایگذاری این کار را انجام دهید. معادلۀ نهایی برای \(FAT\) را بگیرید و آن را برای بدست آوردن \(h^2\) حل کنید:
$$
\begin{array}{c c}
\triangle{FAT}: & h^2+x^2=169 \\
& h^2=169-x^2
\end{array}
$$
اکنون سمت راست این معادله را بگیرید و آن را به جای \(h^2\) در معادلۀ نهایی \(CAT\) جایگذاری کنید. این جایگذاری به شما یک معادلۀ واحد با متغیر \(x\) می دهد، که سپس می توانید آن را حل کنید:
$$\begin{array}{c c}
\triangle{CAT}: & h^2+x^2-28x=29 \\
& (169-x^2)+x^2-28x=29 \\
& 169-28x=29 \\
& -28x=-140 \\
& x= 5
\end{array}$$
آیا متوجه میانبری کارآمد و موثر برای حل کردن این دستگاه شدید؟ (من وارد راه حل طولانی تر و استاندارد شدم، زیرا این میانبر به ندرت کار می کند.) معادلۀ \(FAT\) به شما می گوید \(h^2+x^2=169\) . از آنجا که معادلۀ نهایی \(CAT\) نیز شامل \(h^2+x^2\) می باشد، شما صرفاً می توانید این عبارت را با 169 جایگزین کنید، که به شما نتیجۀ \(169-28x=29\) را می دهد. شما می توانید این را شبیه آنچه که من انجام دادم به انجام برسانید. (راستی، ایده آل اینست که شما تمایل داشته باشید تا آن را برای یافتن \(h\) حل کنید و نه \(x\) ، زیرا برای انجام این مسأله \(h\) چیزی می باشد که به آن نیاز دارید؛ در اینجا، اگرچه، شامل جذرها و پیچیدگی می گردد، با این حال حل کردن برای \(x\) شانس اول موفقیت شما می باشد.)

خوب، اکنون در اولین معادلۀ \(FAT\) کافیست فقط \(5\) را به جای \(x\) قرار دهید. (یا در اولین معادلۀ \(CAT\)، هرچند معادلۀ \(FAT\) ساده تر است) و آن را برای \(h\) حل کنید:
$$
h^2+x^2=169 \\
h^2+5^2=169 \\
h^2=144 \\
h=\pm 12
$$
در اینجا می توانید \(-12\) را نادیده بگیرید.

در پایان، مسأله را با فرمول مساحت خاتمه دهید:
$$
Area_{\triangle{FAC}}={1\over2}bh \\
={1\over2} \cdot 14 \cdot 12 \\
=84 \text{ units}^2
$$
اکنون با استفاده از فرمول هرون این نتایج را درست آزمایی کنید: \(Area_{\triangle}=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\) . شما می توانید فرض کنید \(a=13\) ، \(b=14\) ، و \(c=15\) باشد (مهم نیست که کدام مقدار را به کدام متغیر نسبت می دهید) ، و سپس برای نیم محیط داریم: \(S=\frac{13+14+15}{2}=21\) . بنابراین:
$$
Area_{\triangle{FAC}}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} \\
=\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \\
=\sqrt{7,056} \\
=84 \text{ units}^2
$$
پاسخ درست آزمایی شد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.