خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


دو مثلث قائم الزوایه خاص

دو مثلث قائم الزوایه خاص
نویسنده : امیر انصاری
در این بخش مطمئن شوید که این دو نوع مثلث قائم الزاویۀ خاص را بشناسید: مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) و مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) . این مثلث ها در مسائل هندسی بسیار زیادی ظاهر می شوند، لازم به ذکر نیست که در مثلثات (trigonometry)، پیش حسابان (pre-calculus)، و حسابان (calculus) نیز به وفور پدیدار می شوند. علیرغم اینکه دارای اضلاع آزار دهندۀ گویا (به صورت جذر) در برخی از اضلاعشان می باشند، اینها بسیار اساسی تر و مهمتر از مثلث های سه تایی فیثاغورث هستند (در همین فصل به مثلث های سه تایی فیثاغورثی پرداختیم). این مثلث ها بسیار اساسی تر هستند زیرا فرزند مربع و مثلث متوازی الاضلاع می باشند، و مهمتر هستند زیرا زاویه های آنها کسر زیبایی از زاویۀ قائمه می باشند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) ـــ نصفِ یک مربع


مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) (یا مثلث قائم الزاویۀ متساوی الساقین): مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) مثلثی است که زاویه های آن \(45^{\circ}\) ، \(45^{\circ}\) ، و \(90^{\circ}\) می باشند، و اضلاع آن دارای نسبت \(1:1:\sqrt{2}\) هستند. توجه داشته باشید که این شکل نیمی از یک مربع است، مربعی که به صورت مورب بریده شده است، همچنین این مثلث، متساوی الساقین نیز می باشد (هر دو ساق آن دارای طول یکسان هستند). شکل 7-8 را ببینید.

دو مثلث قائم الزوایه خاص
چند تا مسأله را امتحان کنید. در مثلث \(BAT\) و \(BOY\) که در شکل 8-8 نشان داده شده اند، اضلاع مجهول را پیدا کنید.

دو مثلث قائم الزوایه خاص
شما مسائل مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) به دو روش می توانید حل کنید: به روش رسمی کتاب و روش متکی بر تجربه شخصی. هر دوی آنها را امتحان کنید و گزینه خودتان را انتخاب کنید. روش رسمی کتاب از نسبت اضلاع از شکل 7-8 استفاده می کند.
$$
\begin{array}{c c c c c}
\text{leg} & : & \text{leg} & : & \text{hypotenuse} \\
x & : & x & : & x\sqrt{2}
\end{array}
$$
ترجمۀ شکل:
leg: ساق
hypotenuse: وتر

در \(\triangle{BAT}\) ، از آنجا که یکی از ساق ها برابر با \(8\) می باشد، مقدار \(x\) در نسبت برابر با \(8\) خواهد بود. \(8\) را در سه \(x\) داده شده جایگذاری کنید، تا به نتیجۀ زیر برسید:
$$
\begin{array}{c c c c c}
\text{leg} & : & \text{leg} & : & \text{hypotenuse} \\
8 & : & 8 & : & 8\sqrt{2}
\end{array}
$$
و در \(\triangle{BOY}\) ، وتر برابر با \(10\) می باشد، بنابراین شما نسبت \(x\sqrt{2}\) را برابر با \(10\) قرار می دهید و آن را برای \(x\) حل می کنید:
$$
x\sqrt{2}=10 \\
x=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}
$$
کار تمام است:
$$
\begin{array}{c c c c c}
\text{leg} & : & \text{leg} & : & \text{hypotenuse} \\
5\sqrt{2} & : & 5\sqrt{2} & : & 10
\end{array}
$$
اکنون به سراغ روش متکی بر تجربه شخصی برای کار کردن با مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) می رویم (روش مبتنی بر تجربه شخصی بر پایۀ همان ریاضیاتی می باشد که در روش رسمی مورد استفاده قرار می گیرد، اما شامل مراحل کمتری می باشد): مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) را به عنوان مثال \(\sqrt{2}\) به خاطر بسپارید. با استفاده از این چیز عالی، یکی از کارهای زیر را انجام دهید:

  • اگر یک ساق را داشته باشید و بخواهید تا وتر را محاسبه کنید (یک چیز طولانی تر)، آن را در \(\sqrt{2}\) ضرب می کنید. در شکل 8-8 ، یکی از ساق های \(\triangle{ABT}\) برابر با \(8\) می باشد، بنابراین شما آن را در \(\sqrt{2}\) ضرب می کنید تا به وتر برسید: \(8\sqrt{2}\) .
  • اگر وتر را داشته باشید و بخواهید طول یکی از ساق ها را محاسبه کنید (یک چیز کوچکتر)، آن را بر \(\sqrt{2}\) تقسیم می کنید. در شکل 8-8 ، وتر در \(\triangle{BOY}\) برابر با \(10\) است، بنابراین شما آن را بر \(\sqrt{2}\) تقسیم می کنید تا به طول ساق یعنی \(\frac{10}{\sqrt{2}}\) برسید.

مجدداً به طول اضلاع در \(\triangle{BAT}\) و \(\triangle{BOY}\) نگاهی بیندازید. در \(\triangle{BAT}\) ، وتر تنها ضلعی است که شامل یک رادیکال می باشد. در \(\triangle{BOY}\) ، وتر تنها ضلع بدون رادیکال می باشد. این دو مورد (یک یا دو ضلع بدون نماد رادیکال) با فاصلۀ زیادی از سایر موارد، رایج ترین آنها می باشند، اما در موارد غیر معمول، هر سه ضلع ممکن است شامل رادیکال باشند.

با این حال، شما هرگز یک مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) را بدون نماد رادیکال نخواهید دید. این وضعیت تنها در صورتی میسر خواهد بود که آن مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) عضوی از خانوادۀ سه تایی های فیثاغورثی باشد ـــ که نمی باشد. (در مورد سه تایی های فیثاغورثی پیشتر در همین فصل بحث نمودیم.)

مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) ـــ نیمی از یک مثلث متساوی الاضلاع


مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) : مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) مثلثی است که زاویه های آن \(30^{\circ}\) ، \(60^{\circ}\) ، و \(90^{\circ}\) می باشند و اضلاع آن دارای نسبت \(1:\sqrt{3}:2\) می باشند. توجه کنید که این شکلِ نیمی از یک مثلث متساوی الاضلاع می باشد، که آن را مستقیماً از وسط آن و در امتداد ارتفاعش بریده اند. شکل 9-8 را بررسی کنید.

دو مثلث قائم الزوایه خاص
با انجام چند مسأله با این مثلث بیشتر آشنا شوید. طول اضلاع مجهول در \(\triangle{UMP}\) و \(\triangle{IRE}\) در شکل 10-8 را پیدا کنید:

دو مثلث قائم الزوایه خاص
شما می توانید مثلث های \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) را با روش کتاب درسی یا روش مبتنی بر تجربۀ شخصی حل کنید. روش کتاب با نسبت اضلاع از روی شکل 9-8 آغاز می شود:
$$
\begin{array}{c c c c c}
\text{short leg} & : & \text{long leg} & : & \text{hypotenuse} \\
x & : & x\sqrt{3} & : & 2x
\end{array}
$$
ترجمۀ شکل:
leg: ساق
short leg: ساق کوتاهتر
long leg: ساق بلندتر
hypotenuse: وتر

در \(\triangle{UMP}\) وتر برابر با \(10\) است، بنابراین شما \(2x\) را برابر با \(10\) قرار می دهید و آن را برای \(x\) حل می کنید، و به نتیجۀ \(x=5\) می رسید. اکنون کافیست \(5\) را در \(x\) ها جایگذاری کنید، و \(\triangle{UMP}\) را به شکل زیر خواهید داشت:
$$
\begin{array}{c c c c c}
\text{short leg} & : & \text{long leg} & : & \text{hypotenuse} \\
5 & : & 5\sqrt{3} & : & 10
\end{array}
$$
در \(\triangle{IRE}\) ، ساق بلندتر برابر با \(9\) می باشد، بنابراین \(x\sqrt{3}\) را برابر با \(9\) قرار دهید و آن را حل کنید:
$$
x\sqrt{3}=9 \\
x=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}
$$
مقدار \(x\) را جایگذاری کنید و کار تمام است:
$$
\begin{array}{c c c c c}
\text{short leg} & : & \text{long leg} & : & \text{hypotenuse} \\
(3\sqrt{3}) & : & (3\sqrt{3})\sqrt{3} & : & 2(3\sqrt{3}) \\
3\sqrt{3} & : & 9 & : & 6\sqrt{3}
\end{array}
$$
در اینجا روش مبتنی بر تجربۀ شخصی را در مورد مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) داریم. (این روش اندکی پیچیده تر از روش مورد استفاده در مورد مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) دارد.) به مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) به عنوان مثلث \(\sqrt{3}\) بنگرید. با استفاده از این واقعیت، کارهای زیر را انجام دهید:

  • ارتباط بین ساق کوتاه و وتر بسیار ساده است: وتر دوبرابر ضلع کوتاهتر می باشد. بنابراین اگر شما یکی از این دو را داشته باشید، می توانید به صورت ذهنی به دیگری برسید. روش \(\sqrt{3}\) عمدتاً مرتبط به رابطۀ بین ضلع کوچکتر و وتر می باشد.
  • اگر ضلع کوچکتر را داشته باشید و بخواهید ضلع بزرگتر را محاسبه کنید (یک چیز طولانی تر)، آن را در \(\sqrt{3}\) ضرب می کنید. اگر طول ضلع بزرگتر را داشته باشید و بخواهید طول ضلع کوچکتر را محاسبه کنید (یگ چیز کوتاهتر)، آن را بر \(\sqrt{3}\) تقسیم کنید.

این روش مبتنی بر تجربۀ شخصی را بر روی مثلث های موجود در شکل 10-8 امتحان کنید. وتر در \(\triangle{UMP}\) برابر با \(10\) می باشد، بنابراین ابتدا آن را بر دو تقسیم می کنید تا طول ضلع کوچکتر را بدست آورید، که \(5\) می شود. سپس برای بدست آوردن طول ضلع بزرگتر، آن را در \(\sqrt{3}\) ضرب می کنید، که نتیجه اش \(5\sqrt{3}\) می شود. در \(\triangle{IRE}\) ، طول ضلع بزرگتر برابر با \(9\) می باشد، بنابراین برای رسیدن به ضلع کوچکتر، آن را بر \(\sqrt{3}\) تقسیم کنید، که نتیجه اش \(\frac{9}{\sqrt{3}}\) یا \(3\sqrt{3}\) می شود. وتر دو برابر آن یعنی برابر با \(6\sqrt{3}\) می باشد.

مشابه مثلث های \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) ، مثلث های \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) تقریباً همیشه دارای یک یا دو ضلع می باشند که شامل یک جذر است. اما در مثلث های \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) ضلع بزرگتر با بقیه متفاوت است (تقریباً همیشه، ضلع بزرگتر تنها ضلعی می باشد که دارای جذر است، و یا تنها ضلعی می باشد که بدون جذر است). و همچنین مشابه مثلث های \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) هر سه ضلع یک مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) می توانند شامل جذر باشند، اما اینکه هیچ کدام از اضلاع آن جذر نداشته باشند، غیرممکن است ـــ که منجر شده است تا هشداری را که در ادامه می بنید، بدهم.

از آنجا که دست کم یکی از اضلاع مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) باید شامل یک جذر باشد، یک مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) نمی تواند متعلق به هیچکدام از خانواده های مثلث های سه تایی فیثاغورثی باشد. بنابراین به اشتباه این گمان را نکنید که یک مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) به عنوان مثال در خانوادۀ \(8:15:17\) و یا هر مثلث دیگری که در یکی از خانواده های مثلث های سه تایی فیثاغورثی است، می باشد. بین مثلث های \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) (یا مثلث های \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\)) و هر کدام از مثلث های سه تایی فیثاغورثی و خانواده های آنها، هیچ همپوشانی وجود ندارد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.