استفاده از همنهشتی مثلث ها با CPCTC

در بخش قبلی از همین فصل، اثبات های نسبتاً کوتاهی داشتیم که با نشان دادن اینکه دو مثلث همنهشت می باشند، به پایان می رسیدند. اما در اثبات های پیشرفته تر، نشان دادن همنهشت بودن مثلث ها، صرفاً یکی از مراحل اثبات سایر چیزها می باشد. در این بخش، شما این اثبات ها را یک گام جلوتر می برید.

اثبات همنهشت بودن مثلث ها معمولاً مهمترین بخش یک اثبات می باشد، بنابراین همیشه شکل هندسی را برای تمامی جفت های مثلث هایی که به نظر شکل و اندازۀ یکسان دارند، بررسی کنید. اگر چیزی یافتید، به احتمال بسیار زیاد باید اثبات کنید که یک یا چند جفت از آن مثلث ها همنهشت می باشند.

تعریف CPCTC

CPCTC: CPCTC مخفف شدۀ "corresponding parts of congruent triangles are congruent" به معنای "بخش های متناظر از مثلث های همنهشت با یکدیگر همنهشت می باشند" می باشد. این مفهوم به نظر حس یک قضیه را دارد، اما در واقع فقط تعریف مثلث های همنهشت می باشد.

از آنجا که مثلث های همنهشت دارای شش جفت از بخش های همنهشت می باشند (سه جفت پاره خط و سه جفت زاویه) و شما سه جفت از آنها را برای SSS ، SAS ، یا ASA نیاز دارید، همواره سه جفت دیگر باقی می مانند که در اثبات از آنها استفاده نمی کنید. هدف از CPCTC اینست که نشان دهد یک یا چند تا از این جفت های باقیمانده با یکدیگر همنهشت می باشند.

استفاده از CPCTC بسیار ساده می باشد. بعد از اینکه نشان دادید دو مثلث با یکدیگر همنهشت می باشند، شما می توانید در خط بعدی اثبات بیان کنید که دو تا از اضلاع یا زاویه های آنها همنهشت می باشند، و از CPCTC به عنوان توجیه (دلیل آوری) آن گزاره استفاده نمایید. این گروه از خطهای متوالی هسته یا قلب بسیاری از اثبات ها را می سازند.

فرض کنید در میانۀ یک اثبات هستید (بخشی از اثبات که در شکل 6-9 نشان داده شده است، مفهوم اصلی را به شما می رساند). و فرض کنید، در نقطه ای از آن اثبات، شما قادر هستید که با ASA نشان دهید \(\triangle{PQR}\) با \(\triangle{XYZ}\) همنهشت می باشند. (علامتهای تیک در این شکل هندسی جفت اضلاع همنهشت و دو جفت زاویۀ همنهشت را که در ASA مورد استفاده قرار گرفته اند، نشان می دهند.) سپس، از آنجا که شما نشان داده اید که این مثلثها با یکدیگر همنهشت می باشند، می توانید در خط بعد از آن بیان کنید که \(\overline{QR} \cong \overline{YZ}\) و از CPCTC به عنوان دلیل آن استفاده نمایید (شما همچنین می توانید از CPCTC برای توجیه اینکه \(\overline{PR} \cong \overline{XZ}\) یا اینکه \(\angle{QRP} \cong \angle{YZX}\) استفاده نمایید).

مواجه شدن با یک اثبات CPCTC

شما می توانید در اثباتی که متعاقباً آمده است، CPCTC را در عمل بررسی کنید. اما قبل از پرداختن به آن، در اینجا یک ویژگی داریم که برای انجام این مسأله به آن نیاز دارید. این یک مفهوم بی نهایت ساده می باشد که در بسیاری از اثبات ها می آید.

خاصیت بازتابی یا خاصیت انعکاسی (Reflexive Property): خاصیت بازتابی بیان می دارد که هر پاره خط یا زاویه با خودش همنهشت می باشد. (مگه میشه؟ مگه داریم؟)

هرگاه دو مثلث را می بینید که یک زاویه یا ضلع را به اشتراک گذاشته اند، آن زاویه یا ضلع به هر دوی آنها تعلق دارد. با استفاده از خاصیت بازتابی، آن ضلع یا زاویۀ مشترک تبدیل به یک جفت چیز همنهشت می گردد که با استفاده از آن می توانید همنهشتی آن مثلث ها را اثبات کنید. شکل 7-9 را بررسی کنید.

در اینجا اثبات CPCTC را داریم:

داده ها:
\(\overline{BD}\) یک میانه و ارتفاع در \(\triangle{ABC}\) می باشد
اثبات کنید:
\(\overrightarrow{BD}\) نیمساز \(\angle{ABC}\) می باشد

قبل از اینکه اثبات رسمی را بنویسید، ابتدا یک استراتژی بازی می سازیم. در اینجا یک چیز ممکن را می بینید:

مثلث های همنهشت را بیابید.
مثلث های همنهشت از روی این شکل کاملاً آشکار هستند. در مورد این فکر کنید که چگونه باید همنهشتی آنها را اثبات کنید. این مثلث ها ضلع \(\overline{BD}\) را به اشتراک گذارده اند، که یک جفت از اضلاع همنهشت را به شما می دهد. \(\overline{BD}\) یک ارتفاع می باشد، بنابراین به شما مثلث های قائم الزاویۀ همنهشت را می دهد. و از آنجا که \(\overline{BD}\) میانه می باشد، \(\overline{AD} \cong \overline{CD}\) (برای اطلاعات بیشتر در مورد میانه ها و ارتفاع ها، فصل 7 را ببینید). تمام شد؛ شما SAS را دارید.
اکنون در مورد چیزی که باید اثبات کنید و چیزی که برای رسیدن به آنجا نیاز به دانستنش دارید، فکر کنید.
برای رسیدن به این نتیجه گیری که \(\overrightarrow{BD}\) نیمساز \(\angle{ABC}\) می باشد، شما نیاز دارید تا در یک خط مانده به آخر گزارۀ \(\angle{ABD} \cong \angle{CBD}\) را داشته باشید. و چگونه باید به آن برسید؟ البته که با CPCTC!

در اینجا اثبات دو ستونی را می بینید:

ترجمۀ شکل:

\(\overline{BD}\) یک میانه در \(\triangle{ABC}\) می باشد
داده ها.
\(D\) نقطۀ میانی \(\overline{AC}\) می باشد
تعریف میانه.
\(\overline{AD} \cong \overline{CD}\)
تعریف نقطۀ میانی.
\(\overline{BD}\) یک ارتفاع از \(\triangle{ABC}\) می باشد
داده ها.
\(\overline{BD} \bot \overline{AC}\)
تعریف ارتفاع (اگر یک پاره خط ارتفاع باشد ـــ گزارۀ 4 ـــ ، سپس آن پاره خط بر قاعدۀ مثلث عمود می باشد ـــ گزارۀ 5).
\(\angle{ADB}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
\(\angle{CDB}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
تعریف خطهای متعامد.
\(\angle{ADB} \cong \angle{CDB}\)
همۀ زاویه های قائمه همنهشت می باشند.
\(\overline{BD} \cong \overline{BD}\)
خاصیت بازتابی.
\(\triangle{ABD} \cong \triangle{CBD}\)
اصل SAS (گزاره های 3، 7، 8)
\(\angle{ABD} \cong \angle{CBD}\)
CPCTC
\(\overrightarrow{BD}\) نیمساز \(\angle{ABC}\) می باشد.
تعریف نیمساز.

هر مرحلۀ جزئی در اثبات باید نوشته شود. به عنوان مثال، در این اثبات، شما نمی توانید در یک گام از مفهوم میانه (خط 1) به پاره خط های همنهشت (خط 3) بروید ـــ حتی اگر بدیهی باشد ـــ زیرا تعریف میانه چیزی در مورد پاره خطهای همنهشت نمی گوید. به همین دلیل، شما نمی توانید در یک گام یا حتی دو گام، از مفهوم ارتفاع (خط 4) به زوایای قائمه همنهشت (خط 7) بروید. شما برای متصل کردن این زنجیرۀ منطق نیاز به سه گام دارید: ارتفاع \(\leftarrow\) خط های متعامد \(\leftarrow\) زاویه های قائمه \(\leftarrow\) زاویه های همنهشت.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی