خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


قضیۀ عمود منصف

قضیۀ عمود منصف
نویسنده : امیر انصاری
علیرغم اینکه در این فصل بر روی موضوع مثلث های همنهشت متمرکز شده ایم، در این بخش، دو قضیه را به شما می گویم که معمولاً به جای اثبات همنهشتی مثلث ها می توانید از آنها استفاده کنید. با وجود اینکه در شکل های هندسی اثبات های این بخش مثلث های همنهشت را خواهید دید، شما مجبور نخواهید بود تا همنهشتی مثلث ها را اثبات کنید ـــ یکی از قضایای متساوی الفاصله (equidistance theorems) به شما میانبری برای گزارۀ اثبات می دهد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



برای میانبرهای متساوی الفاصله آماده باشید. هنگام انجام اثبات های مثلث ها، در مورد دو احتمال هشیار باشید: مثلث های همنهشت را مورد جستجو قرار دهید و به روش هایی برای اثبات همنهشتی آنها فکر کنید، اما همزمان، سعی کنید ببینید می توانید مسألۀ همنهشتی مثلث ها را با قضایای متساوی الفاصله دور بزنید.

تعیین یک عمود منصف (perpendicular bisector)


اولین قضیۀ متساوی الفاصله به شما می گوید که دو نقطه، عمود منصف یک پاره خط را تعیین می کنند. (در اینجا منظور از تعیین می کنند این می باشد که محل آن را به شما نشان می دهند.) این قضیه بدین شرح است.

دو نقطه عمود منصف را تعیین می کنند: اگر دو نقطه هر کدامشان از نقاط پایانی یک پاره خط فاصلۀ یکسانی داشته باشند، سپس آن نقاط عمود منصف آن پاره خط را تعیین می کنند. (در اینجا یک روش ساده ـــ گرچه بیش از حد ساده سازی شده است ـــ برای فکر کردن در مورد آن داریم: اگر دو جفت پاره خط همنهشت داشته باشید، سپس آنجا یک عمود منصف دارید.)

این قضیه اندکی دهان پر کن است، بنابراین بهترین روش برای درک آن، روش بصری می باشد. تصویر شبیهِ بادبادک موجود در شکل 12-9 را در نظر بگیرید.

قضیۀ عمود منصف
اگر شما بدانید که \(\overline{XW} \cong \overline{XY}\) و \(\overline{ZW} \cong \overline{ZY}\) ، سپس می توانید نتیجه گیری کنید که \(\overleftrightarrow{XZ}\) عمود منصف \(\overline{WY}\) می باشد.

این قضیه اینطور کار می کند: اگر شما یک نقطه (مانند \(X\))داشته باشید که از نقاط انتهایی یک پاره خط (\(W\) و \(Y\)) دارای فاصلۀ یکسانی باشد و نقطۀ دیگری (مانند \(Z\)) داشته باشید که آن هم از این نقاط پایانی فاصلۀ یکسانی داشته باشد، سپس این دو نقطه (\(X\) و \(Z\)) عمود منصف آن پاره خط (\(\overline{WY}\)) را تعیین می کنند. شما همچنین می توانید در این شکل هندسی معنای خلاصه شدۀ این قضیه را ببینید: اگر دو جفت پاره خط همنهشت داشته باشید (\(\overline{XW} \cong \overline{XY}\) و \(\overline{ZW} \cong \overline{ZY}\)) ، سپس آنجا یک عمود منصف وجود دارد (\(\overleftrightarrow{XZ}\) عمود منصف \(\overline{WY}\) می باشد).

در اینجا یک اثبات کوتاه داریم که چگونگی استفاده از اولین قضیۀ مسافت الفاصله را به عنوان یک میانبر به شما نشان میدهد تا شما بتوانید از همنهشت نشان دادن مثلث ها صرفنظر کنید.

قضیۀ عمود منصف
داده ها:
\(\overline{SR} \cong \overline{SH}\)
\(\angle{ORT} \cong \angle{OHT}\)
اثبات کنید:
\(T\) نقطۀ میانی \(\overline{RH}\) می باشد

شما می توانید این اثبات را با استفاده از مثلث های همنهشت انجام بدهید، اما حدود نُه مرحله طول می کشد و شما مجبور خواهید بود تا از دو جفت از مثلث های همنهشت استفاده کنید. اولین قضیۀ متساوی الفاصله این اثبات را به شکل زیر کوتاه می کند:

قضیۀ عمود منصف
ترجمۀ شکل:
  1. \(\angle{ORT} \cong \angle{OHT}\)
    داده ها.
  2. \(\overline{OR} \cong \overline{OH}\)
    اگر زاویه ها، سپس اضلاع.
  3. \(\overline{SR} \cong \overline{SH}\)
    داده ها.
  4. \(\overleftrightarrow{SO}\) عمود منصف \(\overline{RH}\) می باشد
    اگر دو نقطه (\(S\) و \(O\)) هر کدام از نقاط پایانی یک پاره خط (\(\overline{RH}\)) هم فاصله باشند، سپس آن دو نقطه عمود منصف آن پاره خط را تعیین می کنند.
  5. \(\overline{RT} \cong \overline{TH}\)
    تعریف تنصیف.
  6. \(T\) نقطۀ میانی \(\overline{RH}\) می باشد
    تعریف نقطۀ میانی.

استفاده از یک عمود منصف


با قضیۀ متساوی الفاصله دوم، شما از یک نقطه بر روی عمود منصف برای اثبات همنهشتی دو پاره خط استفاده می کنید.

یک نقطه بر روی عمود مُنَصّفِ یک پاره خط با نقاط پایانی آن پاره خط، فاصلۀ یکسانی دارد: اگر یک نقطه بر روی عمود منصف یک پاره خط قرار داشته باشد، سپس آن نقطه تا نقاط پایانیِ آن پاره خط فاصلۀ یکسانی را خواهد داشت. (در اینجا نسخۀ خلاصه شدۀ من را می بینید: اگر شما یک عمود منصف داشته باشید، سپس یک جفت پاره خط همنهشت خواهید داشت.)

شکل 13-9 به شما نشان می دهد قضیۀ متساوی الفاصلۀ دوم چگونه کار می کند.

قضیۀ عمود منصف
اگر بدانید که \(\overleftrightarrow{YZ}\) عمود منصف \(\overline{MO}\) می باشد، سپس می توانید نتیجه بگیرید که \(N\) با نقاط \(M\) و \(O\) هم فاصله می باشد (به عبارت دیگر، شما می توانید نتیجه گیری کنید که \(\overline{NM} \cong \overline{NO}\)).

این قضیه به شما می گوید که اگر با یک پاره خط (مانند \(\overline{MO}\)) و عمود منصف آن (مانند \(\overleftrightarrow{YZ}\)) آغاز کنید و نقطه ای بر روی آن عمود منصف داشته باشید (مانند \(N\))، سپس آن نقطه با نقاط پایانیِ آن پاره خط هم فاصله می باشد. توجه داشته باشید که شما می توانید دلایل پشتِ شکل کوتاه این قضیۀ را در این شکل هندسی ببینید: اگر یک عمود منصف داشته باشید (خط \(\overleftrightarrow{YZ}\) عمود منصف \(\overline{MO}\) می باشد) ، سپس یک جفت پاره خط همنهشت در آنجا وجود خواهد داشت (\(\overline{NM} \cong \overline{NO}\)).

در اینجا اثباتی داریم که از قضیۀ دوم متساوی الفاصله استفاده می کند:

قضیۀ عمود منصف
داده ها:
\(\angle{1} \cong \angle{4}\)
\(\overline{LQ} \cong \overline{NQ}\)
اثبات کنید:
\(\overline{LP} \cong \overline{NP}\)

قضیۀ عمود منصف
ترجمۀ شکل:
  1. \(\overline{LQ} \cong \overline{NQ}\)
    داده ها.
  2. \(\angle{2} \cong \angle{3}\)
    اگر اضلاع، سپس زوایا.
  3. \(\angle{1} \cong \angle{4}\)
    داده ها.
  4. \(\angle{MLR} \cong \angle{MNR}\)
    اگر دو زاویۀ همنهشت (\(\angle{2}\) و \(\angle{3}\)) به دو زاویۀ همنهشت دیگر (\(\angle{1}\) و \(\angle{4}\)) اضافه شوند، سپس مجموع آنها همنهشت خواهند بود.
  5. \(\overline{ML} \cong \overline{MN}\)
    اگر زوایا، سپس اضلاع.
  6. \(\overleftrightarrow{MQ}\) عمود منصف \(\overline{LN}\) می باشد
    اگر دو نقطه (\(M\) و \(Q\)) از نقاط پایانی یک پاره خط هم فاصله باشند (\(\overline{LN}\)؛ گزاره های 1 و 5)، سپس آن نقاط عمود منصف آن پاره خط را نشان می دهند.
  7. \(\overline{LP} \cong \overline{NP}\)
    اگر یک نقطه (نقطۀ \(P\)) بر روی عمود منصف یک پاره خط باشد، سپس از نقاط پایانی آن پاره خط هم فاصله خواهد بود.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.