خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 5678 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

شکل های متشابه (Similar)

شکل های متشابه (Similar)

کد مطلب : 5519 PDF

شما معنی کلمۀ متشابه (similar) را در گفتار روزمره می دانید. در هندسه یک معنای مرتبط اما فنی دارد. دو شکل با هم متشابه می باشند، اگر دقیقاً شکل یکسانی داشته باشند. به عنوان مثال هنگامی که از یک دستگاه فتوکپی استفاده می کنید، تا تصویری را بزرگتر کنید، به شکلهای متشابه دست پیدا می کنید. نتیجه بزرگتر است اما دقیقاً شبیه تصویر اصلی می باشد. و عکس ها اشکالی را نشان می دهند که کوچکتر از اندازۀ واقعی می باشند اما از نظر هندسی مشابه اشیاء اصلی می باشند.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

شما تقریباً در هر دقیقه از روز شاهد تشابه (similarity) می باشید. همچنانکه چیزهایی (افراد، اشیاء، هر چیزی) را مشاهده می کنید که رو به سمت شما می آیند یا از شما دور می شوند، شما آنها را می بینید که بزرگتر یا کوچکتر می شوند، اما در همان شکل باقی می مانند. شکل این کتاب یک مستطیل است. اگر آن را نزدیک به خودتان نگهدارید، یک شکل مستطیلی در اندازه ای خاص را می بینید. اگر آن را از خودتان دورتر کنید، یک شکل کوچکتر اما مشابه همان مستطیل را خواهید دید. در این فصل، تمامی انواع چیزهای جذاب در مورد تشابه، و اینکه چگونه تشابه در هندسه مورد استفاده قرار می گیرد را به شما نشان می دهم.

نکته: اشکال همنهشت به صورت اتوماتیک وار متشابه می باشند، اما هنگامی که دو شکل همنهشت داشته باشید، آنها را به طور طبیعی همنهشت می نامید؛ شما دلیل زیادی ندارید تا به تشابه آنها نیز اشاره کنید زیرا بسیار بدیهی است. بنابراین حتی با وجود اینکه اشکال همنهشت واجد شرایط اشکال متشابه نیز می باشند، مسأله های مربوط به تشابه معمولاً با اشکالی سر و کار دارند که دارای شکل یکسان اما اندازه ای متفاوت می باشند.

شروع کار با اشکال متشابه


در این بخش، تعریف رسمی تشابه، اینکه چگونه اشکال متشابه نامگذاری می شوند، و اینکه چگونه در موقعیتشان قرار می گیرند، را پوشش می دهم. سپس با مسأله هایی این مفاهیم را تمرین خواهید کرد.

تعریف و نامگذاری چندضلعی های متشابه


همانطور که در شکل 1-13 می بینید، چهارضلعیِ \(WXYZ\) دارای شکل مشابهی با چهارضلعیِ \(ABCD\) می باشد، اما ده مرتبه بزرگتر است (البته قطعاً در مقیاس واقعی ترسیم نشده است). بنابراین این چهارضلعی ها متشابه می باشند.

شکل های متشابه (Similar)
چندضلعی های متشابه (Similar polygons): برای اینکه دو چندضلعی متشابه باشند، هر دو مورد زیر باید برقرار باشد:

  • زوایای متناظر (Corresponding angles) همنهشت باشند.
  • اضلاع متناظر (Corresponding sides) متناسب باشند.

برای اینکه این تعریف را به صورت کامل درک کنید، باید بدانید زوایای متناظر و اضلاع متناظر چه معنایی دارند. (شاید هم اکنون با نگاه کردن به تصویر این موضوع را درک کرده باشید.) در اینجا اصل حقیقت در مورد متناظر (corresponding) را می بینید. اگر در شکل 1-13، \(ABCD\) را بزرگتر کنید تا با \(WXYZ\) هم اندازه گردد، و آن را به سمت راست بلغزانید، دقیقاً بر روی \(WXYZ\) قرار خواهد گرفت. \(A\) بر روی \(W\) ، \(B\) بر روی \(X\) ، \(C\) بر روی \(Y\) ، و \(D\) بر روی \(Z\)، قرار خواهند گرفت. بنابراین این رأس ها متناظر می باشند. و از این رو می گویید که \(\angle{A}\) با \(\angle{W}\) متناظر است، \(\angle{B}\) با \(\angle{X}\) متناظر است، و به همین ترتیب. همچنین ضلع \(\overline{AB}\) با ضلع \(\overline{WX}\) متناظر است، \(\overline{BC}\) با \(\overline{XY}\) متناظر است، و به همین ترتیب. به طور خلاصه، اگر یکی از دو شکل متشابه بزرگتر یا کوچکتر گردد تا اندازۀ دیگری شود، زوایا و اضلاعی که بر روی یکدیگر قرار می گیرند، متناظر نامیده می شوند.

هنگام نامگذاری چندضلعی های متشابه، به چگونگی جفت شدن رأس ها دقت کنید. در مورد چندضلعی های موجود در شکل 1-13، شما این را اینگونه می نویسید: \(ABCD \sim WXYZ\) (معنی این نماد موج دار، متشابه است با می باشد)، زیرا \(A\) و \(W\) (اولین حروف) رأس های متناظر می باشند، \(B\) و \(X\) (دومین حروف) متناظر می باشند، و به همین ترتیب. شما همچنین می توانید این تشابه را اینگونه هم بنویسید: \(BCDA \sim XYZW\) (زیرا رأس های متناظر با یکدیگر جفت می شوند)، اما نمی توانید آن را به شکل \(ABCD \sim YZWX\) بنویسید.

اکنون از چهارضلعی های \(ABCD\) و \(WXYZ\) برای بررسی عمیقتر در مورد چندضلعی های متشابه استفاده می کنم:

  • زوایای متناظر همنهشت می باشند.
    شما می توانید ببینید که \(\angle{A}\) و \(\angle{W}\) هر دو \(105^{\circ}\) می باشند و از این رو با یکدیگر همنهشت می باشند، \(\angle{B} \cong \angle{X}\) ، و به همین ترتیب. هنگامی که یک شکل را بزرگتر یا کوچکتر می کنید، زوایای آن تغییری نمی کند.

  • اضلاع متناظر متناسب می باشند.
    نسبت های اضلاع متناظر مانند موارد اشاره شده در زیر، برابر می باشند:

    شکل های متشابه (Similar)
    هر نسبت، برابر با \(10\) می باشد، در اینجا فاکتور گسترش. (اگر نسبت ها وارونه گردند ـــ که به همان اندازه صحیح می باشد ـــ هر نسبت برابر با \({1\over10}\) خواهد بود، در اینجا فاکتور کوچک شدن.) و نه تنها تمامی این نسبتها برابر با \(10\) می باشند، بلکه نسبت محیط \(WXYZ\) به \(ABCD\) نیز برابر با \(10\) می باشد.

محیط چندضلعی های متشابه: نسبت محیط دو چندضلعی متشابه با نسبت هر جفت از اضلاع متناظر آن برابر می باشد.

چگونگی به خط شدن اشکال متشابه


دو شکل متشابه می توانند در موقعیت هایی قرار بگیرند که یا به خط شده باشند و یا اینکه در یک خط نباشند. شما در شکل 1-13 می توانید ببینید که شکلهای متشابه \(ABCD\) و \(WXYZ\) به شیوۀ یکسانی قرار گرفته اند، به نحوی که اگر شما \(ABCD\) را بزرگتر کنید تا هم اندازۀ \(WXYZ\) گردد، و سپس آن را اندکی سُر بدهید، دقیقاً منطبق بر \(WXYZ\) خواهد بود. حالا، شکل 2-13 را بررسی کنید، که دوباره \(ABCD\) را با چهارضلعی متشابه دیگری نشان می دهد. شما به سادگی می توانید ببینید که برخلاف چهارضلعی های موجود در شکل 1-13 ، در اینجا \(ABCD\) و \(PQRS\) به به شیوۀ یکسانی در موقعیت هایشان قرار نگرفته اند.

در بخش پیشین، شما دیدید که چگونه یک تناسب را برای اشکال متشابه با استفاده از موقعیت اضلاع آنها ایجاد نمایید، که من آنها را با اسامیِ ضلع سمت چپ (left side)، ضلع سمت راست (right side)، بالایی (top)، و قاعده (base) نامگذاری کردم ـــ به عنوان مثال یک تناسب صحیح \(\frac{\text{Left side}}{\text{Left side}} = \frac{\text{top}}{\text{top}}\) می باشد (توجه کنید که هر دو صورت کسر باید از شکل یکسانی باشند؛ ایضاً برای هر دو مخرج کسرها). این یک روش خوب برای فکر کردن در مورد چگونگی کارکرد تناسب ها در اشکال متشابه می باشد، اما تناسب هایی مانند این، تنها در صورتی درست کار می کنند که شکلها مانند \(ABCD\) و \(WXYZ\) ترسیم شده باشند. هنگامی که اشکال متشابه، مانند شکل 2-13، به نحوی ترسیم شوند که رو به سمت های متفاوتی باشند، الزاماً اضلاع سمت چپ آنها متناظر نخواهند بود، به همین ترتیب سایر سمت های آنها، و شما برای اینکه رأس ها و اضلاع صحیح را با یکدیگر جفت کنید، باید بیشتر مراقب باشید.

شکل های متشابه (Similar)
چهارضلعی های \(ABCD\) و \(PQRS\) متشابه می باشند، اما شما نمی توانید بگویید که \(ABCD \sim PQRS\) ، زیرا در این ترتیب رأس های آنها به درستی جفت نشده اند. اگر اندازه را نادیده بگیریم، \(PQRS\) تصویر آینه شدۀ \(ABCD\) می باشد (یا در مقایسه با \(ABCD\) می توانید بگویید که پُشت و رو شده است). اگر \(PQRS\) را در جهت چپ به راست، پشت و رو کنید، به شکل 3-13 می رسید.

شکل های متشابه (Similar)
اکنون مشاهدۀ اینکه چگونه رأس ها جفت می شوند، آسانتر است. \(A\) با \(S\) متناظر می باشد، \(B\) با \(R\) ، و به همین ترتیب، بنابراین شما این تشابه را اینگونه می نویسید: \(ABCD \sim SRQP\) .

چندضلعی های متشابه را تراز کنید. اگر یک مسأله با یک شکل هندسی از چندضلعی های متشابه داشتید که به خط نشده بودند، ترسیم مجدد یکی از آنها به نحویکه هر دوی آنها به روش مشابهی موقعیت دهی گردند، را در نظر بگیرید. این کار ممکن است حل کردن آن مسأله را ساده تر سازد.

و در اینجا چند چیز بیشتر داریم که شما می توانید انجام دهید تا در مواقعی که چندضلعی ها به شکل متفاوتی نسبت به یکدیگر قرار گرفته اند، به شما کمک کنند ببینید چگونه رأس های چندضلعی های متشابه بر یکدیگر منطبق می باشند:

  • شما معمولاً می توانید صرفاً با نگاه کردن به چندضلعی ها، بگویید که چگونه رأس ها با یکدیگر متناظر می باشند، این یک روش خوب برای مشاهدۀ اینکه آیا یک چندضلعی پشت و رو شده است یا اینکه چرخیده است می باشد.

  • اگر تشابه به شما داده شما باشد و مانند \(\triangle{JKL} \sim \triangle{TUV}\) نوشته شده باشد، شما می دانید که اولین حروف، یعنی \(J\) و \(T\) ، متناظرند، \(K\) و \(U\) متناظرند، و \(L\) و \(V\) نیز متناظرند. همچنین ترتیب این حروف به شما می گویند که \(\overline{KL}\) با \(\overline{UV}\) متناظر می باشند، و به همین ترتیب.

  • اگر اندازۀ زوایا را بدانید یا اینکه بدانید کدام زوایا با یکدیگر همنهشت می باشند، این اطلاعات چگونگی تناظر رأس ها را به شما می گویند زیرا زوایای متناظر همنهشت می باشند.

  • اگر به شما داده شده باشد (یا خودتان بفهمید) که کدام اضلاع متناسب می باشند، این اطلاعات چگونگی روی هم قرار گرفتن اضلاع را به شما می دهند، و از روی آنها شما می توانید بفهمید که چگونه رأس ها با یکدیگر متناظر می باشند.

حل کردن یک مسألۀ تشابه


این چیزهای عمومی کافی هستند ـــ زمان آن رسیده است که این مفاهیم را در عمل ببینیم:

شکل های متشابه (Similar)
داده ها:
\(ROTFL \sim SUBAG\)
محیط \(ROTFL\) برابر با \(52\) می باشد
پیدا کنید:
  1. طول \(\overline{AG}\) و \(\overline{GS}\)
  2. محیط \(SUBAG\)
  3. اندازۀ زوایای \(\angle{S}\) ، \(\angle{G}\) ، و \(\angle{A}\)

شما صرفاً با نگاه کردن به \(ROTFL\) و \(SUBAG\) می توانید ببینید که آنها به روش یکسانی موقعیت دهی نشده اند (و توجه کنید که اولین حرف آنها، یعنی \(R\) و \(S\)، در مکان یکسانی قرار ندارند). بنابراین نیاز دارید تا بدانید رأس های آنها چگونه با یکدیگر متناظر می باشند. سعی کنید تا از یکی از روش های ارائه شده در لیستی که پیشتر اشاره شد، استفاده کنید. حروف موجود در \(ROTFL \sim SUBAG\) به شما نشان می دهند چه چیزی با چه چیزی متناظر می باشد. \(R\) با \(S\) متناظر است، \(O\) با \(U\) متناظر است، و به همین ترتیب. (راستی، آیا می دانید برای به خط کردن \(SUBAG\) با \(ROTFL\) باید چه کار کنید؟ \(SUBAG\) به نوعی به سمت راست افتاده است، بنابراین شما باید آن را اندکی برخلاف حرکت عقربه های ساعت بچرخانید و آن را روی قاعدۀ \(\overline{GS}\) سرپا کنید. شما ممکن است بخواهید \(SUBAG\) را اینگونه ترسیم کنید، که واقعاً می تواند در مشاهدۀ چگونگی متناظر بودن تمامی بخش های این دو پنج ضلعی به شما کمک کند.)

  1. طول \(\overline{AG}\) و \(\overline{GS}\) را بیابید.
    ترتیب رأس ها در \(ROTFL \sim SUBAG\) به شما می گویند که \(\overline{SU}\) با \(\overline{RO}\) متناظر می باشند و \(\overline{AG}\) با \(\overline{FL}\) متناظرند؛ از این رو، شما می توانید تناسب زیر را ایجاد کنید تا طول مجهول \(AG\) را بیابید:
    $$
    \frac{AG}{FL}=\frac{SU}{RO}\\
    \frac{AG}{10}=\frac{12}{8}\\
    \frac{AG}{10}=1.5\\
    AG=15
    $$
    این روش ایجاد یک تناسب و حل کردن آن برای طول مجهول یک روش استاندارد برای حل کردن این نوع مسائل می باشد. این روش معمولاً مفید است، و شما باید چگونگی انجام آن را بدانید (علاوه بر آن همچنین باید چگونگی انجام طرفین وسطین کردن یا ضرب متقابل در تناسب ها را نیز بدانید).

    اما روش دیگری هم می باشد که می تواند سودمند باشد. در اینجا چگونگی استفاده از این روش برای یافتن \(GS\) را می بینید: طول دو ضلع متناظر معلوم را اینگونه بر یکدیگر تقسیم کنید: \(\frac{SU}{RO}=\frac{12}{8}\) ، که برابر با \(1.5\) می باشد. این پاسخ به شما می گوید که تمامی اضلاع \(SUBAG\) (و محیط آن) \(1.5\) برابر طول همتایان آنها در \(ROTFL\) می باشند. ترتیب رأس ها در \(ROTFL \sim SUBAG\) به شما می گوید که \(\overline{GS}\) با \(\overline{LR}\) متناظر است؛ از این رو، \(\overline{GS}\) برابر با \(1.5\) برابر طول \(\overline{LR}\) می باشد:
    $$
    GS=1.5 \cdot LR \\
    = 1.5 \cdot 9 \\
    = 13.5
    $$
  2. محیط \(SUBAG\) را بیابید.
    روشی که اندکی پیش به شما معرفی کردم، بلافاصله به شما می گوید که:
    $$
    \text{Perimeter}_{SUBAG}= 1.5 \cdot \text{ Perimeter}_{ROTF} \\
    =1.5 \cdot 52 \\
    =78
    $$
    اما برای آموزگاران ریاضی و سایر طرفداران تشریفاتِ رسمی، در اینجا روش استاندارد را با استفاده از طرفین وسطین کردن آورده ایم:
    $$
    \frac{\text{Perimeter}_{SUBAG}}{\text{Perimeter}_{ROTFL}} = \frac{SU}{RO}\\
    \frac{P}{52}=\frac{12}{8}\\
    8 \cdot P = 52 \cdot 12 \\
    P = 78
    $$
  3. اندازۀ زوایای \(\angle{S}\) ، \(\angle{G}\) ، و \(\angle{A}\) را بیابید.
    \(S\) با \(R\) متناظر است، \(G\) با \(L\) متناظر است، و \(A\) با \(F\) متناظر می باشد، بنابراین:
    • زاویۀ \(S\) با \(\angle{R}\) برابر است، و برابر \(100^{\circ}\) است.
    • زاویۀ \(G\) با \(\angle{RLF}\) یکسان است، که برابر با \(120^{\circ}\) است (مکمل زاویۀ \(60^{\circ}\) می باشد).

    برای بدست آوردن \(\angle{A}\) ، شما ابتدا باید \(\angle{F}\) را بیابید، برای این منظور از فرمول مجموع زوایای داخلی چندضلعی که در فصل 12 مشاهده کردید، استفاده می کنیم:
    $$
    \text{Sum of angles}_{ROTFL}=(n-2)180 \\
    =(5-2)180\\
    =540^{\circ}
    $$
    از آنجا که مجموع سایر چهار زوایۀ \(ROTFL\) (ساعت گرد از \(L\)) برابر با \(120^{\circ}+100^{\circ}+120^{\circ}+75^{\circ}=415^{\circ}\) می باشند، \(\angle{F}\) ، و بنابراین \(\angle{A}\)، باید برابر با \(540^{\circ}-415^{\circ}=125^{\circ}\) باشند.





نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

دوره آموزشی رایگان هندسه