در این بخش، خطهایی را بررسی می کنید که بر دایره ها مماس (tangent) می باشند. تانژانت ها در برخی از انواع مسأله های جالب ظاهر می گردند: مسأله های تانژانت مشترک و مسأله های مربوط به دور چیزی چرخیدن.

معرفی خط مماس (tangent line)

ابتدا یک تعریف: یک خط مماس بر یک دایره می باشد اگر آن دایره را در یک و فقط یک نقطه لمس کند.




در این شکل، چرخها دایره، میله های چرخ ها شعاع، و زمین خط مماس می باشند. نقطه ای که هر چرخ زمین را در آن نقطه لمس کرده است، نقطۀ تماس می باشد. و مهمتر از همه ـــ چیزی که این قضیه به شما می گوید ـــ اینست که شعاعی که به نقطۀ تماس می رود بر خط مماس، عمود می باشد.


در اینجا یک مسأله برای شما داریم: شعاع دایرۀ \(C\) و طول \(\overline{DE}\) را در شکل زیر بیابید.


هنگامی که یک مسألۀ دایره را می بینید، باید به خودتان بگویید: شعاع ها، شعاع ها، شعاع ها! پس شعاع \(\overline{CF}\) را ترسیم کنید، که طبق این قضیه، بر \(\overleftrightarrow{AE}\) عمود می باشد. آن را برابر با \(x\) قرار دهید، که منجر می شود طول \(\overline{CB}\) نیز برابر با \(x\) باشد. اکنون مثلث قائم الزاویۀ \(\triangle{CFA}\) را دارید، بنابراین از قضیۀ فیثاغورث برای یافتن \(x\) استفاده کنید:
$$
x^2+6^2=(x+2)^2 \\
x^2+36=x^2+4x+4 \\
32=4x \\
8=x
$$
بنابراین شعاع برابر \(8\) می باشد. سپس شما می توانید ببینید که \(\triangle{CFE}\) یک مثلث \(8-15-17\) است (فصل 8 را ببینید)، بنابراین \(CE\) برابر با \(17\) می باشد. (قطعاً شما می توانید با استفاده از قضیۀ فیثاغورث نیز \(CE\) را بیابید.) \(CD\) برابر با 8 می باشد (و سومین شعاع در این مسأله است!). از این رو، \(DE\) برابر با \(17-8\) یا \(9\) می باشد. تمام شد.

مسأله های تانژانت مشترک

مسأله های تانژانت مشترک به یک خط مماس اشاره دارند که مماس بر دو دایره می باشد. هدف شما اینست که طول مماس (تانژانت) را بیابید. این مسأله ها اندکی پیچیده هستند، اما اگر از روش سرراست سه مرحله ای که در ادامه آمده است، استفاده کنید، سختی کمتری را تجربه خواهید کرد:

مثال زیر شامل یک تانژانت خارجیِ مشترک می باشد (که تانژانت در سمت یکسانی از هر دو دایره قرار گرفته است). همچنین ممکن است یک مسأله تانژانت مشترک ببینید که شامل یک تانژانت مشترک داخلی باشد (که آن تانژانت بین دایره ها قرار گرفته باشد). نگران نباشید: تکنیک حل مسأله در هر دوی این موارد یکسان می باشد.


داده ها:
شعاع دایرۀ \(A\) برابر با \(4\) می باشد
شعاع دایرۀ \(Z\) برابر با \(14\) می باشد
فاصلۀ بین این دو دایره برابر با \(8\) می باشد
پیدا کنید:
طول تانژانت مشترک، یعنی \(\overline{BY}\) را پیدا کنید

در اینجا چگونگی حل این مسأله را می بینید:

1. پاره خطی را ترسیم کنید که مرکز این دو دایره را به یکدیگر متصل کند و دو شعاع به نقطۀ تماس ترسیم کنید (در صورتیکه این پاره خطها برای شما ترسیم نشده باشند).
   \(\overline{AZ}\) و شعاع های \(\overline{AB}\) و \(\overline{ZY}\) را ترسیم کنید. شکل 5-14 این مراحل را به شما نشان می دهد. توجه داشته باشید که فاصلۀ داده شده بین دو دایره، یعنی \(8\)، فاصلۀ بین بیرون دایره ها در امتداد پاره خطی که مرکز دو دایره را به یکدیگر متصل کرده است، می باشد.
   
   
   
   ترجمۀ شکل:
   این اولین مرحله می باشد که دو زاویۀ قائمه را می سازد.
   
   
   
2. از مرکز دایرۀ کوچکتر، پاره خطی را موازی با تانژانت مشترک ترسیم کنید تا زمانیکه به شعاع دایرۀ بزرگتر برسد (و یا در یک مسألۀ تانژانت مشترک داخلی به امتداد شعاع دایرۀ بزرگتر برسد).
   شما به یک مثلث قائم الزوایه و یک مستطیل می رسید؛ یکی از اضلاع این مستطیل تانژانت مشترک می باشد. شکل 6-14 این مرحله را به شما نشان می دهد.
   
   
   
3. اکنون شما یک مثلث قائم الزاویه و یک مستطیل دارید و می توانید این مسأله را با قضیۀ فیثاغورث و این حقیقت ساده که اضلاع روبرو در یک مستطیل همنهشت می باشند، به پایان برسانید.
   وتر این مثلث متشکل از شعاع دایرۀ \(A\) ، پاره خط بین دایره ها، و شعاع دایرۀ \(Z\) می باشد. حاصلجمع طول آنها \(4+8+14=26\) می باشد. شما می توانید ببینید که عرض این مستطیل برابر با شعاع دایرۀ \(A\)، یعنی \(4\) می باشد؛ از آنجا که اضلاع روبرو در یک مستطیل همنهشت می باشند، شما می توانید بگویید که یکی از اضلاع این مثلث برابر با شعاع دایرۀ \(Z\) منهای \(4\) می باشد، یعنی \(14-4-10\) . اکنون دو ضلع از این مثلث را دارید، و اگر طول ضلع سوم آن را بیابید، در واقع طول تانژانت مشترک را نیز یافته اید. شما این ضلع سوم را با قضیۀ فیثاغورث بدست می آورید:
   $$
   x^2+10^2=26^2 \\
   x^2+100=676 \\
   x^2=576 \\
   x=24
   $$
   (البته، اگر بتوانید تشخیص دهید که این مثلث قائم الزاویه از خانوادۀ \(5:12:13\) می باشد، به جای استفاده از قضیۀ فیثاغورث، می توانید \(12\) را در \(2\) ضرب کنید تا به \(24\) برسید.)
   از آنجا که اضلاع روبرو در یک مستطیل همنهشت می باشند، \(BY\) نیز برابر با \(24\) می باشد، و کار تمام شده است.
   

حالا دوباره به شکل 6-14 برگردید و توجه کنید که زوایای قائمه در کجاها هستند و این مثلث قائم الزاویه و مستطیل چگونه واقع شده اند؛ سپس مطمئن شوید که نکات و هشدارهای زیر را رعایت می کنید.

مسأله های مربوط به دور چیزی چرخیدن

من گمان می کنم روشی که این نوع مسأله ها کار می کنند واقعاً عالی می باشد. به این نوع مسأله ها گردش در اطراف (walk-around problem) می گویند؛ تا یک دقیقه بعد خواهید دانست چرا آنها را اینگونه نامگذاری کرده اند. اما قبل از آن، در اینجا یک قضیه داریم که برای حل این مسأله بدان نیاز دارید.





داده ها:
شکل هندسی به نحویکه می بینید
\(\overline{WL}\) ، \(\overline{LR}\) ، \(\overline{RU}\) ، و \(\overline{UW}\) تانژانت های دایرۀ \(D\) می باشند
پیدا کنید:
\(UW\)

اولین چیزی که در مورد یک مسألۀ گردش در اطراف باید به آن توجه داشته باشیم، دقیقاً همان چیزی است که قضیۀ دانس کپ بیان می کند: دو پاره خط مماس با یکدیگر همنهشت می باشند اگر از نقطۀ یکسانی در بیرون آن دایره ترسیم شده باشند. بنابراین در این مسأله، شما این جفت پاره خطها را به عنوان همنهشت علامت گذاری می کنید: \(\overline{WN}\) و \(\overline{WA}\) ، \(\overline{LA}\) و \(\overline{LK}\) ،\(\overline{RK}\) و \(\overline{RO}\) ، و \(\overline{UO}\) و \(\overline{UN}\) . (آیا متوجه شدید که چرا این نوع مسأله ها را گردش در اطراف نامیده اند؟)

اوکی، کاری که باید انجام بدهید اینست. \(WN\) را برابر با \(x\) قرار دهید. سپس، با استفاده از قضیه دانس کپ، \(WA\) نیز برابر با \(x\) خواهد بود. سپس، از آنجا که \(WL\) برابر با \(12\) و \(WA\) برابر با \(x\) است، \(AL\) برابر با \(12-x\) خواهد بود. \(A\) به \(L\) به \(K\) دانس کپ دیگری می باشد، بنابراین \(LK\) نیز برابر با \(12-x\) خواهد بود. \(LR\) برابر با \(18\) است، پس \(KR\) برابر با \(LR-LK\) یا \(18-(12-x)\) خواهد بود؛ این عبارت با \(6+x\) ساده می گردد. گردش در اطراف را به همین ترتیب ادامه بدهید تا با \(\overline{UN}\) برسید، در شکل 8-14 این را به شما نشان داده ام.


در پایان، \(UW\) برابر با \(WN+UN\) یا \(x+(16-x)\) می شود، که برابر با \(16\) است. تمام شد.

یکی از چیزهایی که در مورد مسائل گردش در اطراف برای من جالب است اینست که هنگامی که تعداد اضلاع زوجی در شکل داشته باشید (همانند این مثال)، حتی بدون حل کردن مسأله برای \(x\) می توانید به پاسخ برسید. در این مسألۀ نمونه، \(x\) می تواند شامل هر مقداری از \(0\) تا \(12\) باشد. تغییر \(x\) اندازۀ دایره و شکل چهارضلعی را تغییر می دهد، اما طول این چهارضلع (شامل پاسخ) بدون تغییر باقی می ماند. از سوی دیگر، هنگامی یک مسألۀ گردش در اطراف شامل تعداد اضلاع فرد باشد، یک پاسخ واحد برای \(x\) وجود دارد و شکل هندسی یک شکل ثابت خواهد داشت. خیلی باحال بود، اینطور نیست؟