برخلاف فصل 16، که تماماً در مورد چیزهای دو بعدی (و حتی یک بعدی) بود که در سه بُعد با یگدیگر تعامل داشتند، این فصل اشکال سه بعدی را پوشش می دهد که شما واقعاً می توانید با آنها درگیر شوید: سالیدها (solids). شما مخروط ها (cones)، کره ها (spheres)، منشورها (prisms)، و سایر انواع سالیدها با اشکال متفاوت را با تمرکز بر روی دو ویژگی بنیادی آنها، یعنی حجم (volume) و مساحت رویه (surface area)، مورد مطالعه قرار می دهید. برای اینکه یک مثال از زندگی روزمره برای شما بزنم، حجم یک آکواریوم (که به لحاظ فنی یک منشور می باشد) مقدار آبی است که آن آکواریوم نگه می دارد، و مساحت رویۀ آن مجموع مساحت کناره های شیشه ای آن، بعلاوۀ انتها و بالای آن می باشد.

منشور و استوانه

یک منشور دارای قاعده هایی به شکل چندضلعی می باشد، و یک استوانه دارای قاعده هایی گرد می باشد. اما علیرغم این واقعیت که منشورها و استوانه ها دارای قاعده هایی با اشکال متفاوت می باشند، فرمول های حجم و مساحت رویۀ آنها بسیار شبیه (و به لحاظ مفهومی یکسان) می باشند زیرا آنها از این نظر که بالا و پایینشان مسطح می باشد، ساختار یکسانی دارند. همچنین اشکال بالا و پایین هم در منشورها و هم در استوانه ها با همدیگر همنهشت می باشند.

در اینجا تعریف فنی منشور و استوانه را داریم (شکل 1-17 را ببینید):

• منشور (Prism): منشور یک شکل سه بعدی با دو قاعدۀ همنهشت، موازی، و چندضلعی می باشد. گوشه های آن رأس ها (vertices) نامیده می شوند، پاره خطهایی که این رأس ها را به یکدیگر متصل می کنند یال ها (edges) نامیده می شوند، و کناره های مسطح، وجه ها (faces) نامیده می شوند.
  یک منشور قائم (right prism) منشوری است که وجه های آن بر قاعده های آن منشور عمود می باشند. تمامی منشورهای این کتاب، و بیشتر منشورهایی که در سایر کتابهای هندسی پیدا خواهید کرد، منشورهای قائم می باشند. و هنگامی که من می گویم منشور، منظورم یک منشور قائم می باشد.
  
  
• استوانه (Cylinder): یک استوانه یک شکل سه بعدی می باشد که دارای دو قاعدۀ همنهشت، و موازی می باشد که کناره های گرد دارند (به عبارت دیگر، قاعده های آن چندضلعی های با اضلاع مستقیم نمی باشند)؛ این کناره ها با رویه های گرد به یکدیگر متصل شده اند.
  یک استوانۀ قائم دوار (right circular cylinder) استوانه ای با قاعده های مدور که مستقیماً بالا و پایین یکدیگر قرار گرفته اند، می باشد. (و قاعده های مدور با کناره های منحنی در یک زاویۀ قائمه قرار دارند.) تمامی استوانه های این کتاب، و تقریباً تمامی استوانه هایی که در سایر کتابهای هندسی می یابید، استوانه های قائم دوار می باشند. هنگامی که من می گویم استوانه، منظورم یک استوانۀ قائم مدور می باشد.
  

اکنون که می دانید اینها چه هستند، در اینجا فرمول های حجم و مساحت رویۀ آنها را داریم:


یک باکس (box) معمولی یک نوع خاص از منشور می باشد، بنابراین شما می توانید از فرمول حجم منشور برای آن استفاده کنید، اما احتمالاً روش ساده تر برای محاسبۀ حجم یک باکس (box) را می دانید:
$$ \text{Vol}_{\text{Box}}=\text{length} \cdot \text{width} \cdot \text{height} $$
(از آنجا که طول ضربدر عرض، مساحت قاعده را به شما می دهد، این دو روش در واقع منجر به یک مقدار یکسان می گردند.) برای بدست آوردن مساحت یک مکعب که ساده ترین نوع باکس می باشد، شما صرفاً طول یکی از لبه های آن را بدست می آورید و آن را به توان سوم می رسانید:
$$\text{Vol}_{\text{Cube}} = s^3$$
در این فرمول \(s\) طول یکی از لبه های مکعب می باشد.


از آنجا که منشورها و استوانه ها دارای دو قاعدۀ (base) همنهشت می باشند، شما به سادگی می توانید مساحت یک قاعده را بدست آورده و آن را دوبرابر کنید؛ سپس مساحت رویۀ جانبی (lateral area) آن شکل را به آن می افزایید. مساحت رویۀ جانبی در یک منشور یا استوانه مساحت کناره های آن شکل می باشد ـــ یعنی، مساحت همه چیز به جز قاعده های آن شکل (شکل 1-17 را ببینید). در اینجا چگونگی مقایسه این دو شکل را می بینید:

• مساحت رویۀ جانبی در یک منشور از مستطیل ها تشکیل شده است. پایه های یک منشور می توانند در هر شکلی باشند، اما مساحت رویۀ جانبی آن همواره از مستطیل ها تشکیل شده است. بنابراین، برای بدست آوردن مساحت رویۀ جانبی، تمام کاری که لازم است انجام بدهید اینست که مساحت هر مستطیل را بیابید (با استفاده از فرمول استاندارد مساحت مستطیل) و سپس این مساحت ها را با یکدیگر جمع بزنید.
  یک باکس، درست مانند هر منشور دیگری، دارای مساحت رویۀ جانبی متشکل از مستطیل ها می باشد (چهار تا از آنها) ـــ اما دو قاعدۀ آن نیز مستطیل می باشند. بنابراین برای بدست آوردن مساحت رویه در یک باکس، شما به سادگی کافیست تا مساحت این شش وجه مستطیلی شکل را با یکدیگر جمع بزنید ـــ نیازی نیست تا با فرمول استاندارد منشور خودتان را اذیت کنید.
  برای بدست آوردن مساحت رویه در یک مکعب مربع (cube)، که یک باکس با شش وجه مربع شکل همنهشت می باشد، شما صرفاً مساحت یک وجه را محاسبه کرده و آن را در شش ضرب می کنید.
  
  
• مساحت رویۀ جانبی در یک استوانه اساساً یک مستطیل می باشد که به شکل یک لوله پیچیده شده است. به مساحت رویۀ جانبی در یک استوانه به شکل یک دستمال توالت نگاه کنید که دقیقاً یک مرتبه به دور لولۀ دستمال توالت پیچیده شده است. قاعدۀ این مستطیل (بخشی از آن دستمال کاغذی که به دور انتهای لوله پیچیده شده است) با محیط قاعدۀ استوانه یکسان می باشد (برای اطلاعات بیشتر درمورد محیط دایره فصل 15 را ببینید). و ارتفاع این دستمال توالت با ارتفاع استوانه برابر می باشد.
  

زمان آن فرا رسیده است که به این فرمولها در عمل نگاهی بیندازیم.


داده ها:
منشور به نحوی که می بینید
\(ABCD\) یک مربع با یک قطر \(8\) می باشد
\(\angle{EAD}\) و \(\angle{EDA}\) زوایای \(45^{\circ}\) می باشند
پیدا کنید:

1. حجم این منشور
   
2. مساحت رویۀ این منشور
   

1. حجم این منشور را بیابید.
   برای استفاده از فرمول حجم، نیاز به ارتفاع این منشور (\(\overline{CD}\)) و مساحت قاعدۀ آن (\(\triangle{AED}\)) دارید. (شما احتمالاً متوجه شده اید که این منشور بر روی کنارۀ آن قرار گرفته است. به همین دلیل هم هست که ارتفاع آن عمودی نیست و قاعدۀ آن در پایین قرار نگرفته است.)
   
   ابتدا ارتفاع را بدست آورید. \(ABCD\) یک مربع می باشد، بنابریان \(\triangle{BCD}\) (نصف مربع) یک مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) با وتر \(8\) می باشد. برای بدست آوردن ساق یک مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) ، وتر را بر \(\sqrt{2}\) تقسیم می کنید (یا از قضیۀ فیثاغورث استفاده می کنید، توجه کنید که در این مورد \(a=b\) می باشد؛ برای اطلاع بیشتر از هر دوی این روش ها فصل 8 را ببینید). بنابراین شما به \(\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\) برای طول \(\overline{CD}\) می رسید، که، بعلاوه، ارتفاع این منشور می باشد. و در اینجا چگونگی رسیدن به مساحت \(\triangle{AED}\) را داریم. ابتدا توجه داشته باشید که \(AD\) ، مانند \(CD\) ، برابر با \(4\sqrt{2}\) می باشد (زیرا \(ABCD\) یک مربع است). سپس، از آنجا که \(\angle{EAD}\) و \(\angle{EDA}\) در داده ها \(45^{\circ}\) می باشند، \(\angle{AED}\) باید \(90^{\circ}\) باشد؛ از اینرو، \(\triangle{AED}\) مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) دیگری می باشد.
   
   وتر آن، \(\overline{AD}\) ، دارای طول \(4\sqrt{2}\) است، بنابراین ساق های آن (\(\overline{AE}\) و \(\overline{DE}\)) برابر با \(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) ، یا \(4\) واحد می باشند. مساحت یک مثلث قائم الزوایه برابر با نصفِ حاصلضرب ساق های آن می باشد (زیرا شما می توانید از یک ساق به عنوان ارتفاع مثلث و از ساق دیگر به عنوان قاعدۀ آن استفاده کنید)، پس داریم: \(\text{Area}_{\triangle{AED}}=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\) . شما آماده اید که این مسأله را با فرمول حجم منشور به پایان برسانید:
   $$
   \text{Vol}_{\text{Prism}}=\text{area}_{\text{base}} \cdot \text{height} \\
   = 8 \cdot 4\sqrt{2} \\
   = 32\sqrt{2} \\
   \approx 45.3 \text{ units}^3
   $$
   
2. مساحت رویۀ این منشور را بیابید.
   با تکمیل کردن بخش 1، شما تمامی چیزهای لازم برای محاسبۀ مساحت رویه را در اختیار دارید. صرفاً اعداد را جایگذاری کنید:
   $$
   \text{Surface Area} = 2 \cdot \text{area}_{\text{base}} + \text{lateral area}_{\text{rectangles}} \\
   \text{SA} = 2 \cdot 8 + \text{area}_{ABCD} + \text{area}_{AEFB} + \text{area}_{DEFC} \\
   = 16 + (4\sqrt{2})(4\sqrt{2})+(4\sqrt{2})(4)+(4\sqrt{2})(4) \\
   = 16 +32+16\sqrt{2}+16\sqrt{2} \\
   =48+32\sqrt{2} \\
   \approx 93.3 \text{ units}^2
   $$
   

اکنون به سراغ یک مسالۀ استوانه می رویم: استوانۀ داده شده به نحویکه می بینید دارای شعاع نامشخص، ارتفاع \(7\)، و مساحت رویۀ \(120\pi \text{ units}^2\) می باشد، حجم این استوانه را بیابید.


برای استفاده از فرمول حجم استوانه، شما نیاز به ارتفاع استوانه (که هم اکنون می دانید) و مساحت قاعده دارید. برای بدست آوردن مساحت قاعده، نیاز به شعاع آن دارید. و برای بدست آوردن شعاع، از فرمول مساحت رویه استفاده می کنید و آن را برای بدست آوردن \(r\) حل می کنید:
$$
\text{SA}_{\text{Cylinder}}= 2 \cdot \text{area}_{\text{base}} + \text{lateral area}_{\text{rectangle}} \\
120 \pi = 2\pi r^2 + (\text{rectangle base}) \cdot (\text{rectangle height})
$$
به یاد بیاورید که پیشتر گفتیم، قاعدۀ (عرض) این مستطیل (rectangle) که دور استوانه پیچیده شده است برابر با محیط قاعدۀ مدور این استوانه می باشد. بنابراین این معادله را به شکل زیر پر می کنید:
$$
120 \pi = 2 \pi r^2+(2\pi r)(7) \\
120 \pi = 2 \pi r^2+14 \pi r \\
120 \pi = 2 \pi (r^2+7r) \\
60 = r^2+7r
$$
در خط آخر از این معادله هر دو سمت معادله را بر \(2\pi\) تقسیم کرده ایم و در نتیجه فقط متغیر \(r\) در معادله باقی می ماند. هم اکنون این معادل را برابر با صفر قرار می دهیم و با فاکتورگیری آن را حل می کنیم:
$$
r^2+7r-60=0 \\
(r+12)(r-5)=0 \\
r=-12 \text{ or } 5
$$
شعاع نمی تواند منفی باشد، بنابراین شعاع \(5\) است. اکنون می توانید این مسأله را با فرمول حجم استوانه به پایان برسانید:
$$
\text{Vol}_{\text{Cylinder}}=\text{area}_{\text{base}} \cdot \text{height} \\
= \pi r^2 \cdot h \\
=\pi \cdot 5^2 \cdot 7 \\
= 175 \pi \\
\approx 549.8 \text{ units}^3
$$
تمام شد.