در این فصل، مشابه همان چیزهایی را که در فصل های پیشین دیدید، مورد بررسی قرار می دهید: خطهای متعامد، دایره ها، محیط، مساحت، قطرهای چندضلعی ها، و به همین ترتیب. آنچه که در مورد این فصل جدید است، اینست که این اشیاء آشنای هندسی در دستگاه مختصات \(x-y\) قرار می گیرند و سپس با جبر تجزیه و تحلیل می شوند. شما از مختصات (coordinates) نقاط یک شکل ـــ نقاطی مانند \((x,y)\) یا \((10,2)\) ـــ استفاده می کنید تا چیزی را در مورد آن شکل اثبات کنید یا چیزی را مورد محاسبه قرار دهید. شما به نتایجی مشابه نتیجه گیریهای فصل های پیشین می رسید؛ تنها روش ها هستند که متفاوت می باشند.





نام دستگاه مختصات \(x-y\) ، یا دکارتی، بعد از رنه دکارت (René Descartes) شکل گرفت. علیرغم این حقیقت که دستگاه مختصاتی که دکارت استفاده می کرد یک محور \(x\) داشت و فاقد محور \(y\) بود، دکارت را معمولاً به عنوان پدر هندسه مختصات می شناسند. با این وجود، در اینکه دکارت آغاز کنندۀ این کار بود، هیچ شکی وجود ندارد. بنابراین اگر به هندسۀ مختصات علاقه دارید، می دانید که باید از چه کسی تشکر کنید (و اگر هم به آن علاقه ای ندارید حداقل می دانید که باید چه کسی را بابتش ملامت کنید).

صفحۀ مختصات (Coordinate Plane)

من احساس می کنم که شما در حال حاضر همه چیز را در مورد کارکرد دستگاه مختصات \(x-y\) می دانید. اما اگر نیاز به یک یادآوری سریع دارید نگران نباشید. شکل 1-18 ویژگی های صفحه مختصات را به شما نشان می دهد.


در اینجا حقایق مربوط به این صفحۀ مختصات را می بینید:

• محور افقی (horizontal axis)، یا محور \(x\) (x-axis)، به سمت چپ و راست می رود و دقیقاً مانند یک خط اعداد معمولی کار می کند. محور عمودی (vertical axis)، یا محور \(y\) (y-axis)، رو به سمت بالا و پایین می رود. این دو محور در مبدأ (origin)، یعنی در مختصات \((0,0)\) یکدیگر را قطع می کنند.
  
  
• نقاطی که با جفت هایی از مختصات، درون صفحۀ مختصات قرار گرفته اند ـــ مانند \((8,6)\) یا \((-10,3)\) ـــ جفت های مرتب (ordered pairs) نامیده می شوند. اولین عدد، یعنی مختصات \(x\)، به شما می گوید که چقدر رو به سمت راست یا چپ بروید؛ دومین عدد، یعنی مختصات \(y\)، به شما می گوید چقدر به سمت بالا یا پایین بروید. به عنوان مثال، در مورد \((-10,3)\) ، شما \(10\) خانه به سمت چپ و سپس \(3\) خانه به سمت بالا می روید.
  
  
• از بخش موجود در سمت بالا و راست صفحۀ مختصات، در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخید، با چهار ربع صفحه (quadrants) مواجه هستید که اسامی آنها به ترتیب \(I, II, III, IV\) می باشند:
  
  
  • تمامی نقاط قرار گرفته در ربع صفحۀ \(I\)، دارای دو مختصات مثبت می باشند \((+,+)\).
    
  • در ربع صفحۀ \(II\) ، سمت چپ منفی و سمت بالا مثبت می باشند، بنابراین داریم: \((-,+)\).
    
  • در ربع صفحۀ \(III\) ، داریم: \((-,-)\).
    
  • در ربع صفحۀ \(IV\) ، داریم: \((+,-)\).
    
  
  از آنجا که تمامی مختصات قرار گرفته در ربع صفحۀ \(I\) مثبت می باشند، معمولاً ساده ترین ربع صفحه برای کار کردن است.
  
  
• در هنگام کار با دستگاه مختصات، قضیۀ فیثاغورث (فصل 8 را ببینید) به وفور ظاهر می گردد، زیرا هرگاه که شما به سمت راست و سپس سمت بالا می روید تا یک نقطه را ترسیم کنید (یا به سمت چپ و پایین، و به همین ترتیب)، این ترسیم را در امتداد ساق های یک مثلث قائم الزاویه انجام می دهید؛ این پاره خط که مبدأ را به آن نقطه متصل می کند، به وتر یک مثلث قائم الزاویه تبدیل می شود. در شکل 1-18 ، شما می توانید یک مثلث قائم الزاویۀ \(6-8-10\) را در ربع صفحۀ \(I\) ببینید.