خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اثبات ویژگیها به طور تحلیلی (Analytically)

اثبات ویژگیها به طور تحلیلی (Analytically)
نویسنده : امیر انصاری
در این بخش به شما نشان می دهم چگونه یک اثبات را به طور تحلیلی (Analytically) انجام بدهید، که به معنای استفاده از جبر می باشد. شما می توانید از اثبات های تحلیلی (analytic proofs) برای اثبات برخی از ویژگیهایی که پیشتر در همین کتاب دیدید، استفاده کنید. به عنوان مثال این ویژگی که قطرهای یک متوازی الاضلاع یکدیگر را تنصیف می کنند یا اینکه قطرهای یک ذوزنقۀ متساوی الساقین همنهشت می باشند. در فصل های پیشین، شما این نوع چیزها را با استفاده از روش اثبات دوستونیِ معمولی و استفاده از چیزهایی مانند مثلث های همنهشت و CPCTC اثبات نمودید. در اینجا، رویۀ متفاوتی را در پیش می گیرید و از موقعیت شکل ها در دستگاه مختصات به عنوان مبنایی برای اثبات هایتان استفاده می کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



اثبات های تحلیلی (Analytic proofs) دو مرحلۀ اصلی دارند:

  1. شکل خودتان را در یک دستگاه مختصات (coordinate system) ترسیم کنید و رأس های آن را نامگذاری کنید.
  2. از جبر برای اثبات چیزی در مورد آن شکل استفاده کنید.

اثبات تحلیلی زیر شما را در مراحل این فرآیند پیش می برد. اثبات اینست: ابتدا، به طور تحلیلی اثبات کنید که نقطۀ میانی در وتر یک مثلث قائم الزاویه از سه رأس آن مثلث، متساوی الفاصله می باشد، و سپس به طور تحلیلی نشان دهید که میانه ای (median) که به این نقطۀ میانی (midpoint) ترسیم می شود، این مثلث را به دو مثلث با مساحت یکسان تقسیم می کند.

مرحلۀ 1: ترسیم یک شکل عمومی


اولین گام در یک اثبات تحلیلی اینست که یک شکل را در دستگاه مختصات x-y ترسیم کنید و به رأس های آن مختصات هایی بدهید. شما ممکن است بخواهید این شکل را در یک موقعیت راحت قرار دهید تا منجر شود کارهای ریاضی بر روی آن ساده تر گردد. به عنوان مثال، گاهی اوقات قرار دادن یکی از رأس های شکلتان در مبدأ \((0,0)\) ، انجام عملیات ریاضی را ساده می کند، زیرا جمع و تفریق اعداد با صفر بسیار آسان می باشد. همچنین ربع صفحۀ \(I\) یک انتخاب خوب می باشد، زیرا تمامی مختصات های موجود در آن مثبت می باشند.

شکلی که ترسیم می کنید باید یک کلاس عمومی از شکلها را نشان دهد، تا بتوانید به مختصات ها حروفی را اختصاص دهید که بتوانند هر مقداری را بگیرند. شما نمی توانید این شکل را با اعداد نامگذاری کنید (به استثناء صفر در مواقعی که شما یک رأس را در مبدأ یا بر روی محور x یا محور y قرار می دهید) زیرا این کار منجر می شود تا شکل شما در یک اندازه و شکل دقیق باشد ـــ و آن گاه هر چیزی که شما اثبات کنید تنها بر روی آن شکل خاص اعمال می شود و نه بر روی کل یک کلاس از آن شکلها.

در اینجا چگونگی ایجاد شکلتان برای این اثبات مثلث را می بینید:

  • یک موقعیت و جهت راحت را برای این شکل در دستگاه مختصات x-y انتخاب کنید. از آنجا که محور x و محور y یک زاویۀ قائمه را در مبدأ \((0,0)\) تشکیل می دهند، اینجا یک انتخاب طبیعی برای زاویۀ قائمه از این مثلث قائم الزاویه می باشد، و ساق های این مثلث قائم الزاویه بر روی محورها قرار می گیرند. سپس شما باید تصمیم بگیرید که این مثلث در کدام رُبع صفحه قرار بگیرد. به جز مواردیکه شما دلیل خاصی برای انتخاب یک رُبع صفحۀ دیگر دارید، رُبع صفحۀ \(I\) بهترین محل برای قرار گیری این مثلث می باشد.

  • مختصات های مناسبی را برای دو رأس این مثلث بر روی محور x و محور y انتخاب کنید. شما معمولاً چیزهایی مانند \((a,0)\) و \((b,0)\) را انتخاب می کنید، اما در اینجا، از آنجا که شما در پایان و در هنگام استفاده از فرمول نقطۀ میانی، می خواهید این دو مختصات را بر \(2\) تقسیم کنید، اگر از \((2a,0)\) و \((0,2b)\) استفاده کنید، عملیات ریاضی ساده تر خواهد بود. در غیر اینصورت شما مجبور خواهید بود با کسرها درگیر شوید. شکل 6-18 شکل هندسی نهایی را به شما نشان می دهد.

اثبات ویژگیها به طور تحلیلی (Analytically)
در یک اثبات تحلیلی، هنگامی که در مورد چگونگی موقعیت دهی و نامگذاری شکلتان تصمیم می گیرید، باید این کار را به نحوی انجام بدهید که، همانطور که ریاضیدانان می گویند، بدون از دست دادن کلیت باشد (no loss of generality). به عنوان مثال، در این اثبات، اگر تصمیم بگیرید که به رأسی که بر روی محور x قرار دارد مختصات \((2a,0)\) را بدهید ـــ همانطور که در بالا پیشنهاد کردم ـــ آنگاه نباید به رأسی که بر روی محور y قرار دارد مختصات \((0,2a)\) را بدهید، زیرا این بدین معنا می باشد که این دو ساق از مثلث قائم الزاویه دارای طول یکسانی می باشند ـــ و این بدین معنا می باشد که مثلث شما یک مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) خواهد بود. اگر رأس ها را اینگونه نامگذاری کنید، آن گاه تمامی نتیجه گیریهایی که از این اثبات بدست می آورید تنها برای مثلث های قائم الزاویۀ \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) صحیح خواهند بود، و نه برای تمامی مثلث های قائم الزاویه.

مثلث قائم الزاویه در شکل 6-18 بدون هیچ گونه از دست دادن کلیت ترسیم شده است: با رأس های قرار گرفته در \((0,0)\) ، \((2a,0)\) ، و \((0,2b)\) ، می تواند نشان دهندۀ هر مثلث قائم الزاویۀ ممکن باشد. در اینجا دلیل درست کار کردن آن را داریم: هر مثلث قائم الزاویه ای را با هر اندازه و شکلی، تصور کنید که در هر جایی از دستگاه مختصات قرار گرفته باشد. بدون اینکه اندازه یا شکل آن را تغییر بدهید، شما می توانید آن را بلغزانید تا زاویۀ قائمۀ آن در مبدأ قرار بگیرد و سپس آن را بچرخانید تا ساق های آن بر روی محور x و محور y قرار بگیرند. سپس می توانید مقادیری را برای \(a\) و \(b\) انتخاب کنید به نحویکه \(2a\) و \(2b\) با طول ساق های مثلث فرضی شما برابر گردند.

از آنجا که این اثبات شامل یک مثلث قائم الزاویۀ عمومی می شود، به محض اینکه این اثبات انجام شود، شما نتیجه ای را ثابت کرده اید که برای هر مثلث قائم الزاویۀ دیگر در جهان، صحیح و برقرار می باشد. یعنی برای تمامی این بی نهایت مثلث قائم الزاویه! خیلی باحاله، اینطور نیست؟

مرحلۀ 2: حل کردن مسأله به صورت جبری


اوکی، بعد از اینکه ترسیمتان را تکمیل نمودید (شکل 6-18 در بخش قبلی را ببینید)، شما آماده هستید تا بخش جبری این اثبات را انجام بدهید. اولین بخش از این مسأله از شما می خواهد تا اثبات کنید که نقطۀ میانی این وتر از رأس های این مثلث فاصلۀ یکسانی دارد. برای انجام این کار، با تعیین نقطۀ میانی این وتر کار را آغاز کنید:
$$
\text{Midpoint}=\biggl( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \biggr) \\
\text{Midpoint}_{\overline{QR}}=\biggl( \frac{0+2a}{2},\frac{2b+0}{2} \biggr) \\
=(a,b)
$$
شکل 7-18 این نقطۀ میانی، را با برچسب \(M\) ، به شما نشان می دهد. همینطور میانه (median) با نام \(\overline{PM}\) را نیز می توانید ببینید.
اثبات ویژگیها به طور تحلیلی (Analytically)
برای اثبات متساوی الفاصله بودن \(M\) به \(P\)، \(Q\)، و \(R\)، از فرمول مسافت استفاده می کنید:
$$
\text{Distance}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\
\text{Distance}_{M \text{ to } P}=\sqrt{(a-0)^2+(b-0)^2} \\
=\sqrt{a^2+b^2} \\
\text{Distance}_{M \text{ to } Q}=\sqrt{(a-0)^2+(b-2b)^2} \\
=\sqrt{a^2+(-b)^2} \\
=\sqrt{a^2+b^2}
$$
این مسافت ها برابر می باشند، و این کار، بخش مسافت این اثبات را کامل می کند. (از آنجا که \(M\) نقطۀ میانی \(\overline{QR}\) است، \(\overline{MQ}\) باید با \(\overline{MR}\) همنهشت باشد، و از اینرو نیازی نیست تا نشان دهید که فاصلۀ بین \(M\) تا \(R\) نیز برابر با \(\sqrt{a^2+b^2}\) است، هرچند به عنوان تمرین شاید تمایل داشته باشید این محاسبه را انجام دهید.)

برای بخش دوم این اثبات، شما باید نشان دهید که پاره خطی که از زاویۀ قائمه تا نقطۀ میانی وتر می رود، این مثلث را به دو مثلث با مساحت برابر تقسیم می کند ـــ به عبارت دیگر، شما باید نشان دهید که \(\text{Area}_{\triangle{PQM}} =\text{Area}_{\triangle{PMR}} \) . برای محاسبۀ این مساحت، شما نیاز دارید تا طول های قاعده و ارتفاع این دو مثلث را داشته باشید. شکل 8-18 ارتفاع های این دو مثلث را به شما نشان می دهد.
اثبات ویژگیها به طور تحلیلی (Analytically)
توجه داشته باشید، از آنجایی که قاعدۀ \(\overline{PR}\) در \(\triangle{PMR}\) افقی می باشد، ارتفاعی که به این قاعده ترسیم شده است، یعنی \(\overline{TM}\) ، عمودی می باشد، و از اینرو، از آنجاییکه می دانید \(T\) دقیقاً زیر \((a,b)\) قرار دارد، در مختصات \((a,0)\) می باشد. در \(\triangle{PQM}\) (با استفاده از قاعدۀ عمودی \(\overline{PQ}\))، شما ارتفاع افقیِ \(\overline{SM}\) را می سازید و و نقطۀ \(S\) را دقیقاً در سمت چپ \((a,b)\) یعنی در \((0,b)\) قرار می دهید.

حالا آماده اید تا با استفاده از این دو قاعده و دو ارتفاع نشان دهید که این مثلثها دارای مساحت یکسانی می باشند. برای بدست آوردن طول قاعده ها و ارتفاع ها، می توانید از فرمول مسافت استفاده کنید، اما نیازی به آن ندارید، زیرا می توانید از میانبر عالی مربوط به فاصله های افقی و عمودی استفاده کنید:
$$
\text{Horizontal distance}=\text{right}_{\text{x-coordinate}} - \text{left}_{\text{x-coordinate}} \\
\text{Vertical distance} =\text{top}_{\text{y-coordinate}} - \text{bottom}_{\text{y-coordinate}} \\[3ex]
\triangle{PQM}: \\
\text{Vertical distance}_{\text{Base }\overline{PQ}} =2b-0=2b \\
\text{Horizontal distance}_{\text{Altitude }\overline{SM}}=a-0=a \\[3ex]
\triangle{PMR}: \\
\text{Horizontal distance}_{\text{Base }\overline{PR}} =2a-0=2a \\
\text{Vertical distance}_{\text{Altitude }\overline{TM}}=b-0=b
$$
زمان آن رسیده است که با استفاده از فرمول مساحت مثلث این مسأله را به پایان برسانید:
$$
\text{Area}_{\triangle{PQM}} = \frac{1}{2}bh \\
= \frac{1}{2}(PQ)(SM) \\
= \frac{1}{2}(2b)(a) \\
=ab \\[3ex]
\text{Area}_{\triangle{PMR}} = \frac{1}{2}bh \\
= \frac{1}{2}(PR)(TM) \\
= \frac{1}{2}(2a)(b) \\
=ab
$$
مساحتها برابر می باشند. تمام.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.