خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


ترسیم (constructions)

ترسیم (constructions)
نویسنده : امیر انصاری
هندسه دان ها از یونان باستان از این چالش که ببینند چه اشکال هندسی را می توانند صرفاً با استفاده از یک پرگار و یک خط کش غیر مدرج ترسیم کنند، لذت برده اند.یک پرگار (compass)، مسلماً، چیزی با یک نوک تیز و یک مداد متصل شده به آن می باشد که شما از آن برای ترسیم دایره ها استفاده می کنید. یک خط کش غیر مدرج (straightedge) دقیقاً مشابه یک خط کش معمولی (ruler) می باشد، اما بر روی آن نشانه های اندازه گیری وجود ندارد. کل ماجرای پشت صحنۀ این ترسیم ها اینست که اشکال هندسی را از ابتدا یا با کپی کردن سایر اشکال با استفاده از این دو ابزار ترسیم ساده و نه هیچ چیز دیگر، بکشند. (در ضمن، شما می توانید به جای یک خط کش غیر مدرج از یک خط کش معمولی هم استفاده کنید، اما یادتان باشد که اجازه ندارید در زمان ترسیم چیزی را با آن اندازه گیری کنید، و فقط باید از ویژگی ترسیم خط راست آن استفاده نمایید.)

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



در این بخش، من روش هایی را برای انجام نُه ترسیم ساده بررسی می کنم. بعد از مهارت پیدا کردن بر این نُه ترسیم، شما می توانید از این روش ها در مسأله های بسیار پیشرفته تر استفاده کنید.

توجه: هنگامی که از شما می خواهم یک کمان را ترسیم کنید، از یک نماد خاص استفاده می کنم. در یک جفت پرانتز، من ابتدا نام نقطه ای را که باید نوک پرگارتان را در آن قرار دهید، ذکر می کنم (این مرکز آن کمان می باشد)؛ سپس تعیین می کنم که عرض پرگارتان را چقدر باید باز کنید (این شعاع آن کمان می باشد). این شعاع می تواند به عنوان طول یک پاره خط خاص داده شود یا با یک حرف نشان داده شود. بنابراین، به عنوان مثال، هنگامی که از شما می خواهم کمانی را ترسیم کنید که مرکز آن در \(M\) و شعاع آن طول \(MN\) می باشد، اینگونه می نویسم \("arc(M,MN)"\) ؛ یا هنگامی که در مورد یک کمان با مرکز \(T\) و شعاع \(r\) صحبت می کنم، اینگونه می نویسم: \("arc(T,r)"\) .

سه روش کپی برداری


در این بخش، شما تکنیک هایی را برای کپی برداری یک پاره خط، یک زاویه، و یک مثلث فرا می گیرید.

کپی برداری از یک پاره خط


کلید کپی کردن یک پاره خط داده شده اینست که پرگارتان را به اندازۀ طول آن پاره خط باز کنید؛ سپس، با استفاده از این اندازۀ باز شده، شما می توانید پاره خط دیگری را با طول یکسان نشان گذاری کنید.

داده ها:
\(\overline{MN}\)
ترسیم:
یک پاره خط \(\overline{PQ}\) که با \(\overline{MN}\) همنهشت باشد

در اینجا پاسخ را داریم (شکل 7-20 را ببینید):

  1. با استفاده از خط کش غیر مدرجتان، یک خط کار، \(l\)، ترسیم کنید، با نقطۀ \(P\) که هر کجایی از آن می تواند باشد.

  2. نوک پرگارتان را برروی نقطۀ \(M\) قرار دهید و آن را به اندازۀ طول \(\overline{MN}\) باز کنید.
    بهترین روش برای اطمینان حاصل کردن از اینکه پرگار را به اندازۀ کافی باز کرده اید، اینست که یک کمان کوچک که از \(N\) عبور کند، رسم کنید. به عبارت دیگر، کمان \((M,MN)\) را ترسیم کنید.

  3. دقت کنید که اندازۀ باز شدن پرگار در مرحلۀ 2 را تغییر ندهید، نوک پرگار را بر روی نقطۀ \(P\) قرار دهید و کمان \((P,MN)\) را رسم کنید تا خط \(l\) را قطع کند.
    این نقطۀ تقاطع را \(Q\) بنامید، و کار تمام است.

ترسیم (constructions)

کپی برداری از یک زاویه


ایدۀ اصلی پشت کپی کردن یک زاویۀ داده شده اینست که از پرگارتان به نوعی برای اندازه گیری اینکه آن زاویه چقدر باز شده است، استفاده کنید؛ سپس زاویۀ دیگری را با همان اندازۀ باز شده ایجاد کنید.

داده ها:
\(\angle{A}\)
ترسیم:
یک \(\angle{B}\) همنهشت با \(\angle{A}\)

همچنان که در این مراحل پیش می روید به شکل 8-20 مراجعه کنید:

  1. یک خط کار، \(l\) ، ترسیم کنید، با نقطۀ \(B\) بر روی آن.

  2. پرگارتان را به هر شعاع \(r\) باز کنید، و کمان \((A,r)\) را ترسیم کنید، به نحویکه دو ضلع \(\angle{A}\) را در نقاط \(S\) و \(T\) قطع کند.

  3. کمان \((B,r)\) را ترسیم کنید که خط \(l\) را در نقطۀ مشخص \(V\) قطع کند.

  4. کمان \((S,ST)\) را ترسیم کنید.

  5. کمان \((V,ST)\) را ترسیم کنید به نحویکه کمان \((B,r)\) را در نقطۀ \(W\) قطع کند.

  6. \(\overrightarrow{BW}\) را ترسیم کنید و کار تمام است.

ترسیم (constructions)

کپی برداری یک مثلث


ایده در اینجا اینست که از پرگارتان برای اندازه گیری طول سه ضلع یک مثلث داده شده استفاده کنید و سپس مثلث دیگری با اضلاعی همنهشت با مثلث اصلی بسازید . (این حقیقت که این روش درست کار می کند مبتنی بر روش SSS برای اثبات همنهشتی مثلث ها می باشد؛ فصل 9 را ببینید.)

همچنان که در مراحل این کار پیش می روید، به شکل 9-20 مراجعه کنید:

  1. خط کار، \(l\) ، را با نقطۀ \(J\) بر روی آن ترسیم کنید.

  2. از روش کپی برداری پاره خط که پیشتر گفته شد برای ترسیم \(\overline{JK}\) بر روی خط \(l\) به نحویکه با \(\overline{DE}\) همنهشت باشد، استفاده کنید.

  3. ترسیم کنید:
    • a: کمان \((D,DF)\)
    • b: کمان \((J,DF)\)

  4. ترسیم کنید:
    • a: کمان \((E,EF)\)
    • b: کمان \((K,EF)\) به نحویکه کمان \((J,DF)\) را در نقطۀ \(L\) قطع کند

  5. \(\overline{JL}\) و \(\overline{KL}\) را ترسیم کنید و کار تمام است.

داده ها:
\(\triangle{DEF}\)
ترسیم:
\(\triangle{JKL} \cong \triangle{DEF}\)

ترسیم (constructions)

تنصیف زوایا و پاره خط ها


چندین ترسیم بعدی چگونگی تقسیم زوایا و پاره خطها دقیقاً به دو نیم را به شما نشان می دهند.

تنصیف یک زاویه


برای تنصیف یک زاویه، از پرگارتان برای تعیین موقعیت یک نقطه که بر روی نیمساز زاویه قرار دارد، استفاده می کنید؛ آن گاه کافیست از خط کشتان برای متصل کردن آن نقطه به رأس آن زاویه استفاده کنید. بیایید انجامش بدهیم.

داده ها:
\(\angle{K}\)
ترسیم:
\(\overrightarrow{KZ}\)، نیمساز \(\angle{K}\)

همچنان که در این مراحل پیش می روید به شکل 10-20 مراجعه کنید:

  1. پرگارتان را به هر شعاع \(r\) باز کنید، و کمان \((K,r)\) را به نحویکه دو ضلع \(\angle{K}\) را در نقاط \(A\) و \(B\) قطع کند، ترسیم کنید.

  2. از هر شعاع دلخواه \(s\) برای ترسیم کمان \((A,s)\) و کمان \((B,s)\) به نحویکه همدیگر را در نقطۀ \(Z\) قطع کنند، استفاده کنید.
    توجه داشته باشید که شعاع \(s\) را به اندازۀ کافی طولانی بگیرید تا این دو کمان بتوانند همدیگر را قطع کنند.

  3. \(\overrightarrow{KZ}\) را ترسیم کنید و کار تمام است.

ترسیم (constructions)

ترسیم عمود منصف یک پاره خط


برای ترسیم عمود منصف یک پاره خط، شما از پرگارتان برای موقعیت دهی به دو نقطه که هر کدامشان از نقاط پایانی آن پاره خط متساوی الفاصله می باشند، استفاده می کنید و آن گاه با خط کشتان کار را تمام می کنید. (روش این ترسیم بسیار نزدیک با اولین قضیۀ متساوی الفاصله از فصل 9 می باشد.)

داده ها:
\(\overline{CD}\)
ترسیم:
\(\overleftrightarrow{GH}\) ، عمود منصف \(\overline{CD}\)

شکل 11-20 فرآیند این ترسیم را نشان می دهد:

  1. پرگارتان را به هر شعاع \(r\) که بیشتر از نصف طول \(\overline{CD}\) باشد، باز کنید، و کمان \((C,r)\) را ترسیم کنید.

  2. کمان \((D,r)\) را به نحویکه کمان \((C,r)\) را در نقاط \(G\) و \(H\) قطع کند، ترسیم کنید.

  3. \(\overleftrightarrow{GH}\) را ترسیم کنید.
    کار تمام است: \(\overleftrightarrow{GH}\) عمود منصف \(\overline{CD}\) می باشد.

ترسیم (constructions)

ترسیم دو خط متعامد


در این بخش، دو روش دیگر برای ترسیم خطهای متعامد تحت شرایط داده شدۀ متفاوت را به شما یاد می دهم.

ترسیم یک خط عمود بر یک خط داده شده از میان یک نقطه بر روی خط داده شده


این ترسیم خطهای متعامد تقریباً مرتبط با روش ارائه شده در بخش قبل است. و همانند روش قبل، این روش نیز از مفاهیم اولین قضیۀ متساوی الفاصله استفاده می کند. تنها تفاوت در اینجا اینست که این بار شما در مورد تنصیف یک پاره خط اهمیتی نمی دهید؛ تنها چیزی که در اینجا برای شما مهم است ترسیم یک خط عمود بر روی خط داده شده می باشد.

داده ها:
\(\overleftrightarrow{EF}\) و نقطۀ \(W\) بر روی \(\overleftrightarrow{EF}\)
ترسیم:
\(\overleftrightarrow{WZ}\) به نحویکه \(\overleftrightarrow{WZ} \bot \overleftrightarrow{EF}\)

همچنان که در مراحل این ترسیم پیش می روید، نگاهی به شکل 12-20 بیندازید:

  1. از هر شعاع \(r\) استفاده کنید تا کمان \((W,r)\) را که \(\overleftrightarrow{EF}\) را در \(X\) و \(Y\) قطع می کند، ترسیم کنید.

  2. از هر شعاع \(s\) که بزرگتر از \(r\) باشد استفاده کنید، تا کمان \((X,s)\) و کمان \((Y,s)\) را به نحویکه همدیگر را در نقطۀ \(Z\) قطع کنند، ترسیم کنید.

  3. \(\overleftrightarrow{WZ}\) را رسم کنید.
    تمام؛ \(\overleftrightarrow{WZ}\) در نقطۀ \(W\) بر \(\overleftrightarrow{EF}\) عمود می باشد.

ترسیم (constructions)

ترسیم یک خط عمود بر یک خط داده شده از میان یک نقطه که بر روی خط داده شده قرار ندارد


به عنوان یک چالش، داده های زیر را بخوانید و آن را ترسیم کنید و سپس بررسی کنید که آیا پاسخ شما با پاسخ ارائه شده در کتاب مطابقت می کند یا خیر.

داده ها:
\(\overleftrightarrow{AZ}\) و نقطۀ \(J\) که بر روی \(\overleftrightarrow{AZ}\) قرار ندارد
ترسیم:
\(\overleftrightarrow{JM}\) به نحویکه \(\overleftrightarrow{JM} \bot \overleftrightarrow{AZ}\)

شکل 13-20 می تواند در انجام مراحل این ترسیم به شما کمک کند:

  1. پرگارتان را به اندازۀ شعاع \(r\) باز کنید (\(r\) باید از فاصلۀ بین \(J\) تا \(\overleftrightarrow{AZ}\) بزرگتر باشد)، و کمان \((J,r)\) را ترسیم کنید، به نحویکه \(\overleftrightarrow{AZ}\) را در نقاط \(K\) و \(L\) قطع کند.

  2. پرگارتان به همان اندازۀ \(r\) باز باقی بماند، کمان \((K,r)\) و کمان \((L,r)\) را ترسیم کنید ـــ در سمتی از \(\overleftrightarrow{AZ}\) که مقابل نقطۀ \(J\) قرار دارد ـــ به نحویکه همدیگر را در نقطۀ \(M\) قطع کنند.

  3. \(\overleftrightarrow{JM}\) را ترسیم کنید و کار تمام است.

ترسیم (constructions)

خطهای موازی را ترسیم کنید و از آنها برای تقسیم پاره خطها استفاده کنید


به عنوان دو ترسیم آخر، در می یابید که چگونه خطی را موازی با یک خط داده شده، ترسیم کنید؛ سپس از آن تکنیک برای تقسیم یک پاره خط به هر تعداد بخش مساوی استفاده می کنید.

ترسیم یک خط موازی با یک خط داده شده از میان یک نقطه که روی خط داده شده قرار ندارد


این روش ترسیم مبتنی بر یکی از قضایای خطهای موازی که توسط یک خط متقاطع قطع شده اند، می باشد (از فصل 10): اگر زوایای متناظر همنهشت باشند، آن گاه خطها موازی هستند.
داده ها:
\(\overleftrightarrow{UW}\) و نقطۀ \(X\) که بر روی \(\overleftrightarrow{UW}\) قرار ندارد
ترسیم:
\(\overleftrightarrow{XZ}\) به نحویکه \(\overleftrightarrow{XZ} \parallel \overleftrightarrow{UW}\)

همچنان که این ترسیم را امتحان می کنید، مراحل نشان داده شده در شکل 14-20 را دنبال کنید:

  1. از میان \(X\) ، خط \(l\) را ترسیم کنیم به نحویکه \(\overleftrightarrow{UW}\) را در نقطۀ \(V\) قطع کند.

  2. با استفاده از روش کپی برداری از یک زاویه که پیشتر در همین فصل ارائه شد، \(\angle{YXZ} \cong \angle{XVW}\) را ترسیم کنید.
    من چهار کمانی را که شما باید به ترتیب ترسیم کنید اینگونه نامگذاری کرده ام: \(2a\) ، \(2b\) ، \(2c\) ، و \(2d\) .

  3. \(\overleftrightarrow{XZ}\) را ترسیم کنید، که با \(\overleftrightarrow{UW}\) موازی می باشد. تمام است.

ترسیم (constructions)

تقسیم یک پاره خط به هر تعداد تقسیمات برابر


مثال زیر چگونگی تقسیم یک پاره خط به سه بخش مساوی را به شما نشان می دهد، اما این روش برای تقسیم یک پاره خط به هر تعداد بخش مساوی جواب می دهد. از آنجا که این تکنیک ترسیم شامل ترسیم خطوط موازی می باشد، به همان قضیه ای مرتبط است که ترسیم قبلی به آن اشاره داشت: اگر زوایای متناظر همنهشت باشند، آن گاه خطها موازی هستند. همچنین این تکنیک از قضیۀ جداکنندۀ ضلع از فصل 13 استفاده می کند.

داده ها:
\(\overline{GH}\)
ترسیم:
دو نقطۀ سه بخش کننده در پاره خط \(\overline{GH}\)

برای این ترسیم، شکل 15-20 را بررسی کنید:

  1. هر خط \(l\) را از میان نقطۀ \(G\) رسم کنید.

  2. پرگارتان را به هر شعاع \(r\) باز کنید و کمان \((G,r)\) را ترسیم کنید به نحویکه خط \(l\) را در نقطه ای که آن را \(X\) می نامید، قطع کند.

  3. کمان \((X,r)\) را ترسیم کنید، به نحویکه خط \(l\) را در نقطۀ \(Y\) قطع کند.

  4. کمان \((Y,r)\) را ترسیم کنید، به نحویکه خط \(l\) را در نقطۀ \(Z\) قطع کند.

  5. \(\overleftrightarrow{ZH}\) را ترسیم کنید.

  6. با استفاده از روش ترسیم خطوط موازی که پیشتر گفته شد، خطهایی را از میان نقاط \(Y\) و \(X\) ، موازی با \(\overleftrightarrow{ZH}\) ترسیم کنید.
    این دو خط، \(\overline{GH}\) را در نقاط سه بخش کنندۀ آن قطع می کنند. تمام.

ترسیم (constructions)



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.