خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


ده دلیل پرکاربرد در اثبات های هندسی

ده دلیل پرکاربرد در اثبات های هندسی
نویسنده : امیر انصاری
در اینجا ده مورد برتر از لیست تعاریف (definitions)، اصل ها (postulates)، و قضایا (theorems) را داریم که شما باید قطعاً چگونگی استفاده از آنها در ستون دلایل در اثبات های هندسی را بدانید. این موارد به شما کمک می کنند به مقابلۀ هر اثباتی که ممکن است با آن مواجه شوید، بروید. اینکه یک دلیل خاص، یک تعریف، اصل، یا قضیه می باشد، زیاد مهم نیست زیرا شما از همۀ آنها به شیوۀ یکسانی استفاده می کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



خاصیت بازتابی


خاصیت بازتابی (reflexive property) که آن را در فصل 9 معرفی کردم، بیان می دارد که هر پاره خط یا زاویه با خودش همنهشت می باشد. شما معمولاً از خاصیت بازتابی برای اثبات همنهشتی یا مشابه بودن مثلث ها استفاده می کنید. مراقب باشید تا متوجه تمامی پاره خطها و زوایای مشترک در شکل های هندسی اثبات گردید. شناسایی پاره خطهای مشترک معمولاً بسیار آسان است، اما گاهی اوقات افراد در شناسایی زوایای مشترک مانند موردی که در شکل 1-21 نشان داده شده است، شکست می خورند.

ده دلیل پرکاربرد در اثبات های هندسی
ترجمۀ شکل: زاویۀ \(A\) یکی از زوایای رأس های هر دو مثلث \(\triangle{ACE}\) و \(\triangle{ADB}\) می باشد. زوایای \(1\) و \(3\)، و همچنین زوایای \(2\) و \(4\) ، زوایای متقابل به رأس می باشند.

زوایای متقابل به رأس همنهشت می باشند


من قضیۀ زوایای متقابل به رأس (Vertical Angles) همنهشت می باشند را در فصل 5 پوشش دادم. استفاده از این قضیه مشکل نیست، مشروط بر اینکه شما بتوانید زوایای متقابل به رأس را شناسایی کنید. یادتان باشد ـــ هر جا که دو خط را می بینید که روی هم رفته یک \(X\) را می سازند، شما دو جفت از زوایای همنهشت متقابل به رأس را دارید (آنهایی که در بالا و پایین این \(X\) قرار دارند، مانند زوایای \(2\) و \(4\) در شکل 1-21، و آنهایی که در سمت چپ و راست این \(X\) قرار دارند، مانند زوایای \(1\) و \(3\)).

قضیۀ خطهای موازی


ده قضیه برای خطهای موازی که شامل یک جفت خط موازی و یک خط قاطع (که آن خطهای موازی را قطع می کند) می باشند، وجود دارد. شکل 2-21 را ببینید. پنج تا از این قضایا از خطهای موازی استفاده می کنند تا نشان دهنده که زوایا همنهشت یا مکمل می باشند؛ پنج فضیۀ دیگر از زوایای همنهشت یا مکمل استفاده می کنند تا نشان دهند که خطها موازی می باشند. در اینجا اولین مجموعه از این قضایا را داریم:

اگر خطها موازی باشند، آن گاه ...

  • زوایای متبادل داخلی (Alternate interior angles)، مانند \(\angle{4}\) و \(\angle{5}\) ، همنهشت می باشند.
  • زوایای متبادل خارجی (Alternate exterior angles)، مانند \(\angle{1}\) و \(\angle{8}\)، همنهشت می باشند.
  • زوایای متناظر (Corresponding angles)، مانند \(\angle{3}\) و \(\angle{7}\) ، همنهشت می باشند.
  • زوایای هم سمت داخلی (Same-side interior angles)، مانند \(\angle{4}\) و \(\angle{6}\) ، مکمل یکدیگر می باشند.
  • زوایای هم سمت خارجی (Same-side exterior angles)، مانند \(\angle{1}\) و \(\angle{7}\) ، مکمل یکدیگر می باشند.

ده دلیل پرکاربردی در اثبات های هندسی
و در اینجا روشهای اثبات موازی بودن خطها را داریم:

  • اگر زوایای متبادل داخلی همنهشت باشند، آن گاه خطها موازی هستند.
  • اگر زوایای متبادل خارجی همنهشت باشند، آن گاه خطها موازی هستند.
  • اگر زوایای متناظر همنهشت باشند، آن گاه خطها موازی هستند.
  • اگر زوایای هم سمت داخلی مکمل یکدیگر باشند، آن گاه خطها موازی هستند.
  • اگر زوایای هم سمت خارجی مکمل یکدیگر باشند، آن گاه خطها موازی هستند.

پنج قضیۀ دوم، معکوس پنج قضیۀ اول می باشند. من در مورد خطهای موازی و خطهای قاطع با جزئیات بیشتر در فصل 10 صحبت کرده ام.

دو نقطه یک خط را تعیین می کنند


هرگاه که شما دو نقطه داشته باشید، می توانید از میان آنها یک خط را ترسیم کنید. دو نقطه یک خط را تعیین می کنند زیرا فقط یک خط خاص می تواند از میان آن دو نقطه عبور کند. شما زمانی از این اصل در اثبات ها استفاده می کنید که نیاز داشته باشید یک خط کمکی (auxiliary line) در شکل هندسی رسم کنید (فصل 10 را ببینید).

تمامی شعاع های یک دایره، همنهشت می باشند


هرگاه که در شکل هندسی اثباتتان یک دایره داشته باشید، می توانید قبل از هر کار دیگری، در مورد قضیۀ تمامی شعاع های یک دایره همنهشت می باشند، فکر کنید (و سپس تمامی شعاع ها را به عنوان همنهشت نشان گذاری کنید). من شرط می بندم تقریباً همیشه هر اثبات دایره که شما می بینید از شعاع های همنهشت در جایی از آن استفاده می کند. (و شما اغلب باید از قضیۀ بخش قبلی برای ترسیم شعاع های بیشتر استفاده کنید.) در مورد این قضیه در فصل 14 بحث کرده ام.

اگر اضلاع، سپس زوایا


مثلث های متساوی الساقین (Isosceles triangles)، دو ضلع همنهشت و دو زاویۀ قاعدۀ همنهشت دارند. قضیۀ اگر اضلاع سپس زوایا، بیان می دارد که اگر دو ضلع از یک مثلث همنهشت باشند، آن گاه زوایای روبروی آن اضلاع همنهشت می باشند (شکل 3-21) را ببینید. در شناسایی این اشتباه نکنید! هنگامی که یک شکل هندسی اثبات با مثلث هایی در آن را دارید، همواره بررسی کنید که آیا هیچ مثلثی به نظر می رسد که دارای دو ضلع همنهشت باشد. برای اطلاعات بیشتر فصل 9 را مرور کنید.

ده دلیل پرکاربردی در اثبات های هندسی

اگر زوایا، سپس اضلاع


قضیۀ اگر زوایا، سپس اضلاع، بیان می دارد که اگر دو زاویه از یک مثلث همنهشت باشند، آن گاه اضلاع روبروی آن زوایا همنهشت می باشند (شکل 4-21 را ببینید). بله، این قضیه معکوس قضیۀ اگر اضلاع، سپس زوایا می باشد، بنابراین ممکن است با خودتان بیندیشید چرا آن را در بخش قبلی قرار ندادم. خوب، این دو قضیۀ مثلث های متساوی الساقین آنقدر مهم هستند که هر کدامشان شایستگی بخش خاص خودش می باشد.

ده دلیل پرکاربردی در اثبات های هندسی

اصل ها و قضایای همنهشتی مثلث ها


در اینجا پنج روش برای اثبات همنهشتی مثلث ها داریم (برای جزئیات بیشتر فصل 9 را ببینید):

  • \(\text{SSS (side-side-side)}\) : اگر سه ضلع (side) از یک مثلث با سه ضلع از مثلثی دیگر همنهشت باشند، آن گاه آن مثلث ها با یکدیگر همنهشتند.
  • \(\text{SAS (side-angle-side)}\) : اگر دو ضلع و زاویۀ میان آنها از یک مثلث با دو ضلع و زاویۀ میان آنها در مثلثی دیگر همنهشت باشند، آن گاه آن مثلث ها با یکدیگر همنهشتند.
  • \(\text{ASA (angle-side-angle)}\) : اگر دو زاویه (angle) و ضلع میان آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع میان آنها در مثلثی دیگر همنهشت باشند، آن گاه آن مثلث ها با یکدیگر همنهشتند.
  • \(\text{AAS (angle-angle-side)}\) : اگر دو زاویه و یک ضلع که میان آنها نباشد، از یک مثلث، با دو زاویه و یک ضلع که میان آنها نباشد، از مثلث دیگر، همنهشت باشند، آن گاه آن مثلث ها با یکدیگر همنهشت می باشند.
  • \(\text{HLR (hypotenuse-leg-right angle)}\) : اگر وتر (hypotenuse) و یک ساق (leg) از یک مثلث قائم الزاویه (right triangle)، با وتر و یک ساق از یک مثلث قائم الزاویۀ دیگر، همنهشت باشند، آن گاه آن مثلث ها با یکدیگر همنهشت هستند.

CPCTC


CPCTC مخفف شدۀ corresponding parts of congruent triangles are congruent به معنای "بخشهای متناظر از مثلث های همنهشت، با یکدیگر همنهشتند" می باشد. CPCTC احساس یک قضیه را به شما می دهد، اما در واقع صرفاً تعریف مثلث های همنهشت می باشد. هنگام انجام یک اثبات، بعد از اثبات همنهشتی مثلث ها، شما از CPCTC در خط بعد از آن برای نشان دادن اینکه بعضی از بخشهای آن مثلث ها همنهشت می باشند، استفاده می کنید. CPCTC در فصل 9 مورد بررسی قرار گرفته است.

اصل ها و قضایای متشابه بودن مثلث ها


در اینجا سه روش اثبات متشابه بودن مثلث ها را داریم ــ یعنی، نشان دهیم که آن مثلث ها شکل یکسانی دارند (در فصل 13 می توانید جزئیات بیشتری را در زمینۀ تشابه بخوانید):

  • \(\text{AA (angle-angle)}\) : اگر دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه از مثلثی دیگر همنشهت باشند، آن گاه آن مثلث ها با یکدیگر متشابه می باشند.
  • \(\text{SSS~ (side-side-side similar)}\) : اگر نسبت بین سه جفت از اضلاع متناظر دو مثلث با یکدیگر برابر باشند، آن گاه آن مثلث ها با یکدگر متشابه می باشند.
  • \(\text{SAS~ (side-angle-side similar)}\) : اگر نسبت بین دو جفت از اضلاع متناظر دو مثلث با یکدیگر برابر باشند و زاویۀ بین آنها همنهشت باشد، آن گاه آن مثلث ها با یکدیگر متشابه می باشند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.