خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
مثلثات (Trigonometry) چیست؟
کریستف کلمب چگونه از اقیانوس اطلس عبور کرد؟ مصریان چگونه هرم ها را ساختند؟ اخترشناسان چگونه فاصلۀ زمین تا ماه را اندازه گیری کردند؟ نه، کریستف کلمب علائم راهنمایی و رانندگی دریا را دنبال نکرد. نه، مصریان برای ساختن هرم ها دستورالعمل های لگو را دنبال نکردند. و نه، هیچ متر نواری نداریم که تا کرۀ ماه برسد. پاسخ عمومی به همۀ این سوالات مثلثات (trigonometry) می باشد.
مثلثات مطالعۀ زوایا و مثلث ها و چیزهای حیرت انگیز در مورد آنها و کارهایی که می توانید با آنها انجام دهید، می باشد. برای قرن ها، انسان ها قادر بودند تا فواصلی را که نمی توانند به آنها برسند به واسطۀ قدرت این موضوع ریاضی، اندازه گیری کنند.
در مثلثات شما زوایا را هم در واحد درجه (degree) و هم در واحد رادیان (radian) اندازه گیری می کنید. شما می توانید این زوایا را در داخل مثلث ها و دایره ها بکشید و آنها را مجبور کنید کارهای خاصی انجام بدهند. در واقع، زوایا مثلثات را پیش می رانند. مسلماً شما باید جبر و سایر عملیات ریاضی را در نظر بگیرید تا همۀ این کارها را انجام بدهید. اما نمی توانید بدون زوایا مثلثاتی داشته باشید. یک زاویه را در یک تابع مثلثاتی قرار دهید، و یک عدد خاص یکتا از آن بیرون می آید. با آن عدد چه کاری می توانید انجام دهید؟ به خواندن ادامه بدهید، زیرا این همان چیزی است که مثلثات در ارتباط با آن می باشد.
پاره خطها (Segments)، نیم خطها (rays)، و خطها (lines)، برخی از شکل های پایه ای هستند که در هندسه یافت می شوند، و تقریباً در مثلثات هم به همان درجۀ اهمیت می باشند. همانطور که در بخش های بعدی تشریح کرده ام، شما از این پاره خطها، نیم خطها، و خطها برای ایجاد زوایا استفاده می کنید.
یک پاره خط یک شکل راست است که بین دو خط ترسیم می شود. شما معمولاً آن را با نقاط پایانی اش نامگذاری می کنید، که با حروف بزرگ تعیینشان می نمایید. گاهی اوقات یک حرف واحد نام یک پاره خط می باشد. به عنوان مثال، در یک مثلث، یک حرف کوچک می تواند به یک پاره خط که در مقابل یک زاویه که با همان حرف به شکل حرف بزرگ مشخص شده است، اشاره کند.
نیمخط شکل راست دیگری می باشد که دارای یک نقطۀ پایانی بر روی یک انتهایش می باشد، و سپس تا ابد به مسیر مشخصش ادامه می دهد. شما نیمخطها را ابتدا با نقطۀ پایانی شان و سپس با یک نقطه که بر روی آن قرار گرفته است نامگذاری می کنید.
خط یک شکل راست می باشد که تا ابد در هر دو جهت ادامه می یابد. شما برای تعیین یک خط مشخص، تنها نیاز به دو نقطه دارید ـــ و تنها یک خط از میان آن دو نقطه عبور می کند. شما یک خط را با هر دو نقطه ای که بر روی آن قرار گرفته باشد نامگذاری می کنید.
شکل 1-1 ، یک پاره خط، نیم خط، و خط را همراه با روش های مختلف نامگذاری آنها با استفاده از نقاط، نشان می دهد.
هنگامی که دو خط همدیگر را قطع می کنند، فقط در یک نقطه می توانند این کار را انجام بدهند. آنها نمی توانند برگردند و دوباره همدیگر را قطع کنند. و هنگامی که دو خط یکدیگر را قطع می کنند، چیزهای نادری اتفاق می افتند. زاویای تشکیل شده بین آن دو خط به یکدیگر مرتبط می باشند. هر دو زاویه ای که کنار یکدیگر باشند و یک ضلع مشترک داشته باشند، زوایای مجاور (adjacent angles) نامیده می شوند. در شکل 2-1 ، شما چندین مجموعه از خطهای متقاطع و زوایای نشان گذاری شده را می بینید. دو شکل بالایی دو جفت زاویۀ مجاور را نشان می دهد. آیا می توانید دو جفت دیگر را تشخیص بدهید؟ هنگامی که دو خط همدیگر را قطع می کنند، زوایایی که مقابل یکدیگر هستند، نیز نام خاصی دارند. ریاضیدانان این زوایا را زاویه های متقابل به رأس (vertical angles) می نامند. آنها ضلع مشترکی ندارند. در شکل 2-1 می توانید دو جفت از زوایای متقابل به رأس را بیابید، دو شکل میانی تنها جفت زوایایی را که متقابل به رأس هستند، مشخص کرده است. زوایای متقابل به رأس همواره اندازۀ یکسانی با یکدیگر دارند.
چرا این زوایای متفاوت اینقدر خاص هستند؟ آنها به دلیل چگونه تاثیرگذاری بر روی یکدیگر از هم تفکیک شده اند. در اینجا زوایای مجاور ، زوایای مکمل (supplementary angles) نامیده می شوند. ضلعی که بین آنها مشترک نمی باشد، یک خط راست را می سازد، که دارای اندازۀ \(180\) درجه می باشد. دو شکل پایینی زوایای مکمل را نشان می دهند. توجه داشته باشید که این دو زاویه همچنین مجاور نیز می باشند.
هنگامی که دو خط، پاره خط، یا نیم خط، همدیگر را لمس می کنند یا از یکدیگر عبور می کنند، یک زاویه یا چند زوایه را می سازند. در مورد دو خط متقاطع، نتیجه چهار زاویۀ متفاوت می باشد. هنگامی که دو پاره خط همدیگر را قطع می کنند، می توانند یک، دو، یا چهار زاویه را بسازند؛ در مورد دو نیم خط نیز همین رویه برقرار است.
این مثالها صرفاً برخی از روشهایی هستند که شما می توانید زوایا را بسازید. به عنوان مثال، در هندسه، زاویه این طور توصیف شده است که یک زاویه هنگامی ایجاد می شود که دو نیم خط دارای یک نقطۀ پایانی مشترک باشند. به لحاظ عملی، شما می توانید به روشهای بسیاری یک زاویه را، از شکلهای بسیاری، بسازید. موضوع مرتبط به دو نیم خط بدین معنا است که شما می توانید دو ضلع یک زاویه را به سمت بیرون و دورتر امتداد دهید تا به اندازه گیری، محاسبه، و مسأله های کاربردی کمک کند.
توصیف بخشهای یک زاویه نسبتاً استاندارد می باشد. محلی که این خطها، پاره خطها، یا نیم خط ها از یکدیگر عبور می کنند، رأس (vertex) آن زاویه نامیده می شود. از رأس دو ضلع گسترش می یابند.
شما می توانید زوایا را بر اساس اندازۀ درجۀ آنها نامگذاری یا دسته بندی کنید (شکل 3-1 را ببینید):
چگونه یک زاویه را نامگذاری می کنید؟ اساساً چرا یک زاویه باید به نام نیاز داشته باشد؟ در بیشتر موارد، شما می خواهید تا قادر به تمیز دادن یک زاویۀ خاص از سایر زوایا در یک تصویر باشید. هنگامی که در روزنامه ای به یک تصویر می نگرید، می خواهید نام افراد مختلف را بدانید تا بتوانید به آنها اشاره کنید. در مورد زوایا نیز ماجرا به همین شکل است.
شما می توانید یک زاویه را به یکی از سه روش زیر نامگذاری کنید:
مطمئناً زوایا، خودشان به تنهایی بسیار هیجان انگیز می باشند. اما آنها در یک مثلث قرار دهید، تا حتی بهتر از این هم شوند (مانند اینست که بستنی را روی کیک بریزیم). مثلث ها یکی از رایجترین اشکال هندسی مورد مطالعه می باشند. زوایایی که یک مثلث را می سازند، بسیاری از ویژگی هایش را به آن می دهند.
یک مثلث همیشه سه زاویه دارد. همواره مجموع زوایای یک مثلث برابر با 180 درجه می باشد ـــ نه بیشتر، و نه کمتر. یک مثلث با نام \(ABC\) دارای زوایای \(A\)، \(B\)، و \(C\) می باشد، و شما می توانید، بسته به اینکه این ضلع بین کدام دو زاویه قرار داشته باشد، اضلاع آن را \(\overline{AB}\)، \(\overline{BC}\)، و \(\overline{AC}\) بنامید. زوایا می توانند حاده، منفرجه، یا قائمه باشند. اگر یک مثلث دارای یک زاویۀ منفجره یا قائمه باشد، آن گاه دو زاویۀ دیگر باید حاده باشند.
مثلث ها، بسته به زوایایشان و اضلاعشان، می توانند اسامی خاصی داشته باشند. همچنین می توانند بیش از یک نام داشته باشند ـــ به عنوان مثال، یک مثلث می تواند هم حاده الزاویه و هم متساوی الساقین باشد. در اینجا توصیف آنها را داریم، و برای تصاویرشان شکل 5-1 را بررسی کنید:
دایره یک شکل هندسی می باشد که تنها به دو بخش برای شناسایی و دسته بندی آن نیاز است: مرکز آن (center) و شعاع آن (radius). شعاع فاصلۀ بین مرکز دایره تا هر نقطه ای بر روی محیط آن می باشد. به لحاظ فنی، مرکز بخشی از دایره نمی باشد؛ بلکه صرفاً به نوعی مرکز اتکا (anchor point) یا نقطۀ مرجع (reference point) آن است. دایره تنها عبارت از تمامی آن نقاطی می باشد که از مرکز آن هم فاصله هستند.
بعد از اینکه نقطه ای را به عنوان مرکز یک دایره انتخاب کردید و دانستید که فاصلۀ آن نقطه با تمامی نقاطی که بر روی محیط آن دایره قرار گرفته اند، چقدر می باشد، می توانید یک تصویر نسبتاً مناسب ترسیم کنید. با داشتن اندازۀ شعاع، شما می توانید چیزهای زیادی را در مورد آن دایره بگویید: قطر آن (مسافت بین یک سمت دایره تا سمت دیگر آن، که از مرکز دایره عبور می کند)، محیط آن (پیرامون دایره چقدر است)، و مساحت آن (چند اینچ مربع، فوت مربع، یارد مربع، متر مربع ـــ هر چیز دیگری که داشته باشید ـــ در داخل دایره جا می گیرد). شکل 6-1 این ویژگیها را به شما نشان می دهد.
ریاضیدانان باستان دریافتند که محیط یک دایره (circumference) همواره برابر با اندکی بیشتر از سه برابر شعاع آن می باشد. از اینرو، آنها آن "مقدار اندکی بیش از سه برابر" را به مقداری بنام pi تقلیل دادند (آن را پی بخوانید)، که با حرف یونانی \(\pi\) نشان داده می شود. مقدار اعشاری \(\pi\) دقیق نیست ـــ تا ابد ادامه می یابد، اما بیشتر اوقات، افراد با تقریب \(3.14\) یا \(\frac{22}{7}\) به آن اشاره می کنند، هر کدام از این دو شکل اعشاری یا کسری که در محاسبه مناسب تر باشد، مورد استفاده قرار می گیرد.
فرمول محاسبه محیط یک دایره به \(\pi\) و قطر گره خورده است:
به طرز مشابهی، فرمول مساحت یک دایره نیز به \(\pi\) گره خورده است:
مثال: شعاع، محیط، و مساحت دایره ای را که قطر آن برابر با \(10\) فوت می باشد بیابید.
اگر این قطر (\(d\)) برابر با \(10\) باشد، این مقدار را به شکل \(d=10\) می نویسید. شعاع نصف قطر می باشد، بنابراین شعاع برابر با \(5\) فوت است، یا \(r=5\) . شما می توانید محیط دایره را با استفاده از فرمول \(C=\pi d=\pi \cdot 10 \approx 3.14 \cdot 10 \approx 31.4\) بدست آورید. بنابراین، محیط این دایره در حدود \(31\frac{1}{2}\) فوت می باشد. مساحت را با فرمول \(A=\pi r^2=\pi \cdot 5^2 = \pi \cdot 25 \approx 3.14 \cdot 25 \approx 78.5\) بیابید، پس مساحت در حدود \(78\frac{1}{2}\) فوت مربع می باشد.
شما قطر و شعاع یک دایره را با ترسیم پاره خطهایی از یک نقطه بر روی محیط دایره به مرکز آن دایره یا از میان مرکز آن دایره، نشان می دهید. اما دو شکل راست دیگر در یک دایره قرار دارند. یکی از این اشکال وتر (chord)، و دیگری تانژانت (tangent) نامیده می شود:
چندین روش برای ترسیم یک زاویه درون یک دایره وجود دارد، و هر کدام از آنها روش خاصی برای محاسبۀ اندازۀ آن زاویه دارند. چهار نوع مختلف از زوایا عبارتند از: مرکزی (central)، محاطی (inscribed)، داخلی (interior)، و خارجی (exterior). در شکل 8-1 مثالهایی از انواع مختلف این زوایا می بینید.
رأس یک زاویۀ مرکزی در مرکز دایره می باشد، و اضلاع این زاویه بر روی شعاع های آن دایره قرار دارند. اندازۀ این زاویۀ مرکزی با اندازۀ کمانی از دایره که دو ضلع این زاویه جدا می کنند برابر می باشد.
رأس یک زاویۀ محاطی بر روی محیط دایره قرار دارد، و اضلاع آن زاویه بر روی وترهایی از آن دایره قرار دارند. اندازۀ این زاویۀ محاطی نصف اندازۀ کمانی از دایره می باشد که دو ضلع این زاویه جدا کرده اند.
رأس یک زاویۀ داخلی در محل تقاطع دو خط که درون یک دایره همدیگر را قطع کره اند، می باشد. اضلاع این زاویه بر روی خطهای متقاطع قرار دارند. اندازۀ یک زاویۀ داخلی میانگین اندازه های این دو کمان از دایره است که توسط آن خطهای متقاطع جدا شده اند.
رأس یک زاویۀ خارجی در جایی است که دو نیم خط یک نقطۀ پایانی مشترک در بیرون یک دایره دارند. اضلاع این زاویه آن دو نیم خط می باشند. اندازۀ یک زاویۀ خارجی با تقسیم تفاضل بین اندازۀ کمانهای جدا شده توسط این دو نیم خط بر \(2\) بدست می آید.
مثال: اندازۀ زاویۀ \(EXT\) را بیابید، با این داده ها که این زاویۀ خارجی کمانهایی \(20\) درجه و \(108\) درجه را جدا می کند (شکل 9-1 را ببینید).
تفاضل بین اندازۀ این دو کمان جدا شده را بدست آورده و آن را بر \(2\) تقسیم کنید:
$$\frac{108-20}{2}=\frac{88}{2}=44$$
اندازۀ زاویۀ \(EXT\) برابر با \(44\) درجه می باشد.
یک قطاع از یک دایره بخشی از آن دایره است که بین دو شعاع قرار دارد. شما می توانید این بخش را مشابه یک تکه از پای که در یک بشقاب پای مدور بریده شده است، در نظر بگیرید (شکل 10-1 را ببینید).
اگر زاویۀ بین این دو شعاع را بدانید، می توانید مساحت آن قطاع را بدست آورید. کل پیرامون یک دایره \(360\) درجه می باشد، بنابراین اگر آن زاویۀ مرکزی که یک قطاع را مشخص می سازد دارای اندازۀ \(60\) درجه باشد، آن گاه آن قطاع \(\frac{60}{360}\) یا \(\frac{1}{6}\) از درجات کل دایره را در بر می گیرد. در این مورد، این قطاع \(\frac{1}{6}\) مساحت کل این دایره را دارا می باشد.
مثال: مساحت یک قطاع از یک دایره را بیابید، زاویۀ بین دو شعاعی که این قطاع را می سازند \(80\) درجه می باشد و قطر آن دایره برابر با \(9\) اینچ می باشد.
مثلثات مطالعۀ زوایا و مثلث ها و چیزهای حیرت انگیز در مورد آنها و کارهایی که می توانید با آنها انجام دهید، می باشد. برای قرن ها، انسان ها قادر بودند تا فواصلی را که نمی توانند به آنها برسند به واسطۀ قدرت این موضوع ریاضی، اندازه گیری کنند.
مثلثات چیست؟
در مثلثات شما زوایا را هم در واحد درجه (degree) و هم در واحد رادیان (radian) اندازه گیری می کنید. شما می توانید این زوایا را در داخل مثلث ها و دایره ها بکشید و آنها را مجبور کنید کارهای خاصی انجام بدهند. در واقع، زوایا مثلثات را پیش می رانند. مسلماً شما باید جبر و سایر عملیات ریاضی را در نظر بگیرید تا همۀ این کارها را انجام بدهید. اما نمی توانید بدون زوایا مثلثاتی داشته باشید. یک زاویه را در یک تابع مثلثاتی قرار دهید، و یک عدد خاص یکتا از آن بیرون می آید. با آن عدد چه کاری می توانید انجام دهید؟ به خواندن ادامه بدهید، زیرا این همان چیزی است که مثلثات در ارتباط با آن می باشد.
بررسی شکل های پایه ای
پاره خطها (Segments)، نیم خطها (rays)، و خطها (lines)، برخی از شکل های پایه ای هستند که در هندسه یافت می شوند، و تقریباً در مثلثات هم به همان درجۀ اهمیت می باشند. همانطور که در بخش های بعدی تشریح کرده ام، شما از این پاره خطها، نیم خطها، و خطها برای ایجاد زوایا استفاده می کنید.
ترسیم پاره خطها، نیم خطها، و خطها
یک پاره خط یک شکل راست است که بین دو خط ترسیم می شود. شما معمولاً آن را با نقاط پایانی اش نامگذاری می کنید، که با حروف بزرگ تعیینشان می نمایید. گاهی اوقات یک حرف واحد نام یک پاره خط می باشد. به عنوان مثال، در یک مثلث، یک حرف کوچک می تواند به یک پاره خط که در مقابل یک زاویه که با همان حرف به شکل حرف بزرگ مشخص شده است، اشاره کند.
نیمخط شکل راست دیگری می باشد که دارای یک نقطۀ پایانی بر روی یک انتهایش می باشد، و سپس تا ابد به مسیر مشخصش ادامه می دهد. شما نیمخطها را ابتدا با نقطۀ پایانی شان و سپس با یک نقطه که بر روی آن قرار گرفته است نامگذاری می کنید.
خط یک شکل راست می باشد که تا ابد در هر دو جهت ادامه می یابد. شما برای تعیین یک خط مشخص، تنها نیاز به دو نقطه دارید ـــ و تنها یک خط از میان آن دو نقطه عبور می کند. شما یک خط را با هر دو نقطه ای که بر روی آن قرار گرفته باشد نامگذاری می کنید.
شکل 1-1 ، یک پاره خط، نیم خط، و خط را همراه با روش های مختلف نامگذاری آنها با استفاده از نقاط، نشان می دهد.
خطهای متقاطع (Intersecting lines)
هنگامی که دو خط همدیگر را قطع می کنند، فقط در یک نقطه می توانند این کار را انجام بدهند. آنها نمی توانند برگردند و دوباره همدیگر را قطع کنند. و هنگامی که دو خط یکدیگر را قطع می کنند، چیزهای نادری اتفاق می افتند. زاویای تشکیل شده بین آن دو خط به یکدیگر مرتبط می باشند. هر دو زاویه ای که کنار یکدیگر باشند و یک ضلع مشترک داشته باشند، زوایای مجاور (adjacent angles) نامیده می شوند. در شکل 2-1 ، شما چندین مجموعه از خطهای متقاطع و زوایای نشان گذاری شده را می بینید. دو شکل بالایی دو جفت زاویۀ مجاور را نشان می دهد. آیا می توانید دو جفت دیگر را تشخیص بدهید؟ هنگامی که دو خط همدیگر را قطع می کنند، زوایایی که مقابل یکدیگر هستند، نیز نام خاصی دارند. ریاضیدانان این زوایا را زاویه های متقابل به رأس (vertical angles) می نامند. آنها ضلع مشترکی ندارند. در شکل 2-1 می توانید دو جفت از زوایای متقابل به رأس را بیابید، دو شکل میانی تنها جفت زوایایی را که متقابل به رأس هستند، مشخص کرده است. زوایای متقابل به رأس همواره اندازۀ یکسانی با یکدیگر دارند.
چرا این زوایای متفاوت اینقدر خاص هستند؟ آنها به دلیل چگونه تاثیرگذاری بر روی یکدیگر از هم تفکیک شده اند. در اینجا زوایای مجاور ، زوایای مکمل (supplementary angles) نامیده می شوند. ضلعی که بین آنها مشترک نمی باشد، یک خط راست را می سازد، که دارای اندازۀ \(180\) درجه می باشد. دو شکل پایینی زوایای مکمل را نشان می دهند. توجه داشته باشید که این دو زاویه همچنین مجاور نیز می باشند.
زاویه ها
هنگامی که دو خط، پاره خط، یا نیم خط، همدیگر را لمس می کنند یا از یکدیگر عبور می کنند، یک زاویه یا چند زوایه را می سازند. در مورد دو خط متقاطع، نتیجه چهار زاویۀ متفاوت می باشد. هنگامی که دو پاره خط همدیگر را قطع می کنند، می توانند یک، دو، یا چهار زاویه را بسازند؛ در مورد دو نیم خط نیز همین رویه برقرار است.
این مثالها صرفاً برخی از روشهایی هستند که شما می توانید زوایا را بسازید. به عنوان مثال، در هندسه، زاویه این طور توصیف شده است که یک زاویه هنگامی ایجاد می شود که دو نیم خط دارای یک نقطۀ پایانی مشترک باشند. به لحاظ عملی، شما می توانید به روشهای بسیاری یک زاویه را، از شکلهای بسیاری، بسازید. موضوع مرتبط به دو نیم خط بدین معنا است که شما می توانید دو ضلع یک زاویه را به سمت بیرون و دورتر امتداد دهید تا به اندازه گیری، محاسبه، و مسأله های کاربردی کمک کند.
توصیف بخشهای یک زاویه نسبتاً استاندارد می باشد. محلی که این خطها، پاره خطها، یا نیم خط ها از یکدیگر عبور می کنند، رأس (vertex) آن زاویه نامیده می شود. از رأس دو ضلع گسترش می یابند.
نامگذاری زوایا با اندازۀ آنها
شما می توانید زوایا را بر اساس اندازۀ درجۀ آنها نامگذاری یا دسته بندی کنید (شکل 3-1 را ببینید):
-
زاویۀ حاده (Acute): یک زاویه با اندازه ای مثبت که کمتر از \(90\) درجه باشد
-
زاویۀ منفرجه (Obtuse): یک زاویه که از \(90\) درجه بیشتر و از \(180\) درجه کمتر باشد
-
زاویۀ قائمه (Right): یک زاویه که اندازۀ آن دقیقاً \(90\) درجه باشد
-
زاویۀ نیم صفحه (Straight): یک زاویه که اندازۀ آن دقیقاً \(180\) درجه باشد (یک خط راست)
-
زاویۀ مایل (Oblique): یک زاویه که اندازه اش از \(180\) درجه بیشتر باشد.
نامگذاری زوایا با حروف الفبا
چگونه یک زاویه را نامگذاری می کنید؟ اساساً چرا یک زاویه باید به نام نیاز داشته باشد؟ در بیشتر موارد، شما می خواهید تا قادر به تمیز دادن یک زاویۀ خاص از سایر زوایا در یک تصویر باشید. هنگامی که در روزنامه ای به یک تصویر می نگرید، می خواهید نام افراد مختلف را بدانید تا بتوانید به آنها اشاره کنید. در مورد زوایا نیز ماجرا به همین شکل است.
شما می توانید یک زاویه را به یکی از سه روش زیر نامگذاری کنید:
-
صرفاً با رأس آن: اغلب، یک زاویه را صرفاً با رأس آن نامگذاری می کنید، زیرا چنین برچسبی کارآمد، شسته و رفته و برای خواندن آسان می باشد. در شکل 4-1 شما می توانید این زاویه را \(A\) بنامید.
-
با یک نقطه بر روی یک ضلع، که با رأس ادامه می یابد، و سپس یک نقطه بر روی ضلع دیگر: به عنوان مثال، شما می توانید زاویۀ موجود در شکل 4-1 را زاویۀ \(BAC\) یا زاویۀ \(CAB\) بنامید. این روش نامگذاری برای شخصی که ممکن است در تشخیص اینکه به کدام زاویه اشاره دارید، گیج شده باشد، سودمند افتد. یادتان باشد: اطمینان حاصل کنید که همواره رأس را در وسط قرا می دهید.
-
با یک حرف الفبا یک یک عدد که درون زاویه نوشته شده است: معمولاً، این حرف یونانی می باشد؛ هرچند، در شکل 4-1، این زاویه حرف \(w\) را دارد، اگر با حروف یونانی آشنایی ندارید یا اگر قصد دارید بعداً زوایای مختلف را با یکدیگر مقایسه کنید، می توانید به منظور سهولت کار از اعداد استفاده کنید.
مثلث ها
مطمئناً زوایا، خودشان به تنهایی بسیار هیجان انگیز می باشند. اما آنها در یک مثلث قرار دهید، تا حتی بهتر از این هم شوند (مانند اینست که بستنی را روی کیک بریزیم). مثلث ها یکی از رایجترین اشکال هندسی مورد مطالعه می باشند. زوایایی که یک مثلث را می سازند، بسیاری از ویژگی هایش را به آن می دهند.
زوایا در مثلث ها
یک مثلث همیشه سه زاویه دارد. همواره مجموع زوایای یک مثلث برابر با 180 درجه می باشد ـــ نه بیشتر، و نه کمتر. یک مثلث با نام \(ABC\) دارای زوایای \(A\)، \(B\)، و \(C\) می باشد، و شما می توانید، بسته به اینکه این ضلع بین کدام دو زاویه قرار داشته باشد، اضلاع آن را \(\overline{AB}\)، \(\overline{BC}\)، و \(\overline{AC}\) بنامید. زوایا می توانند حاده، منفرجه، یا قائمه باشند. اگر یک مثلث دارای یک زاویۀ منفجره یا قائمه باشد، آن گاه دو زاویۀ دیگر باید حاده باشند.
نامگذاری مثلث ها با شکل آنها
مثلث ها، بسته به زوایایشان و اضلاعشان، می توانند اسامی خاصی داشته باشند. همچنین می توانند بیش از یک نام داشته باشند ـــ به عنوان مثال، یک مثلث می تواند هم حاده الزاویه و هم متساوی الساقین باشد. در اینجا توصیف آنها را داریم، و برای تصاویرشان شکل 5-1 را بررسی کنید:
-
مثلث حاده الزاویه (Acute triangle): مثلثی که هر سه زاویۀ آن حاده می باشند.
-
مثلث قائم الزاویه (Right triangle): مثلثی که یک زاویۀ آن قائمه باشد (دو زاویۀ دیگر الزاماً باید حاده باشند).
-
مثلث منفرجه الزاویه (Obtuse triangle): مثلثی که یک زاویۀ آن منفرجه باشد (دو زاویۀ دیگر الزاماً باید حاده باشند).
-
مثلث متساوی الساقین (Isosceles triangle): مثلثی با دو ضلع برابر؛ زوایای مقابل این اضلاع نیز با یکدیگر برابر خواهند بود.
-
مثلث متساوی الاضلاع (Equilateral triangle): مثلثی که طول هر سه ضلع آن با هم برابر باشند؛ همچنین هر سه زاویۀ این مثلث برابر با \(60\) درجه خواهند بود.
-
مثلث مختلف الاضلاع (Scalene triangle): مثلثی که هیچ کدام از اضلاع یا زوایای آن با یکدیگر برابر نیستند.
دایره (circle)
دایره یک شکل هندسی می باشد که تنها به دو بخش برای شناسایی و دسته بندی آن نیاز است: مرکز آن (center) و شعاع آن (radius). شعاع فاصلۀ بین مرکز دایره تا هر نقطه ای بر روی محیط آن می باشد. به لحاظ فنی، مرکز بخشی از دایره نمی باشد؛ بلکه صرفاً به نوعی مرکز اتکا (anchor point) یا نقطۀ مرجع (reference point) آن است. دایره تنها عبارت از تمامی آن نقاطی می باشد که از مرکز آن هم فاصله هستند.
شعاع، قطر، محیط، و مساحت
بعد از اینکه نقطه ای را به عنوان مرکز یک دایره انتخاب کردید و دانستید که فاصلۀ آن نقطه با تمامی نقاطی که بر روی محیط آن دایره قرار گرفته اند، چقدر می باشد، می توانید یک تصویر نسبتاً مناسب ترسیم کنید. با داشتن اندازۀ شعاع، شما می توانید چیزهای زیادی را در مورد آن دایره بگویید: قطر آن (مسافت بین یک سمت دایره تا سمت دیگر آن، که از مرکز دایره عبور می کند)، محیط آن (پیرامون دایره چقدر است)، و مساحت آن (چند اینچ مربع، فوت مربع، یارد مربع، متر مربع ـــ هر چیز دیگری که داشته باشید ـــ در داخل دایره جا می گیرد). شکل 6-1 این ویژگیها را به شما نشان می دهد.
ریاضیدانان باستان دریافتند که محیط یک دایره (circumference) همواره برابر با اندکی بیشتر از سه برابر شعاع آن می باشد. از اینرو، آنها آن "مقدار اندکی بیش از سه برابر" را به مقداری بنام pi تقلیل دادند (آن را پی بخوانید)، که با حرف یونانی \(\pi\) نشان داده می شود. مقدار اعشاری \(\pi\) دقیق نیست ـــ تا ابد ادامه می یابد، اما بیشتر اوقات، افراد با تقریب \(3.14\) یا \(\frac{22}{7}\) به آن اشاره می کنند، هر کدام از این دو شکل اعشاری یا کسری که در محاسبه مناسب تر باشد، مورد استفاده قرار می گیرد.
فرمول محاسبه محیط یک دایره به \(\pi\) و قطر گره خورده است:
محیط یک دایره برابر است با:
$$\text{Circumference of a circle}: C=\pi d = 2 \pi r$$
\(d\) اندازۀ قطر دایره، و \(r\) اندازۀ شعاع دایره می باشد. قطر همواره دو برابر شعاع می باشد، بنابراین، هر دو شکل این معادله درست کار می کنند.
$$\text{Circumference of a circle}: C=\pi d = 2 \pi r$$
\(d\) اندازۀ قطر دایره، و \(r\) اندازۀ شعاع دایره می باشد. قطر همواره دو برابر شعاع می باشد، بنابراین، هر دو شکل این معادله درست کار می کنند.
به طرز مشابهی، فرمول مساحت یک دایره نیز به \(\pi\) گره خورده است:
مساحت یک دایره برابر است با:
$$\text{Area of a circle} : A=\pi r^2$$
$$\text{Area of a circle} : A=\pi r^2$$
مثال: شعاع، محیط، و مساحت دایره ای را که قطر آن برابر با \(10\) فوت می باشد بیابید.
اگر این قطر (\(d\)) برابر با \(10\) باشد، این مقدار را به شکل \(d=10\) می نویسید. شعاع نصف قطر می باشد، بنابراین شعاع برابر با \(5\) فوت است، یا \(r=5\) . شما می توانید محیط دایره را با استفاده از فرمول \(C=\pi d=\pi \cdot 10 \approx 3.14 \cdot 10 \approx 31.4\) بدست آورید. بنابراین، محیط این دایره در حدود \(31\frac{1}{2}\) فوت می باشد. مساحت را با فرمول \(A=\pi r^2=\pi \cdot 5^2 = \pi \cdot 25 \approx 3.14 \cdot 25 \approx 78.5\) بیابید، پس مساحت در حدود \(78\frac{1}{2}\) فوت مربع می باشد.
وتر در مقایسه با تانژانت
شما قطر و شعاع یک دایره را با ترسیم پاره خطهایی از یک نقطه بر روی محیط دایره به مرکز آن دایره یا از میان مرکز آن دایره، نشان می دهید. اما دو شکل راست دیگر در یک دایره قرار دارند. یکی از این اشکال وتر (chord)، و دیگری تانژانت (tangent) نامیده می شود:
-
وترها (Chords): وتر در دایره یک پاره خط است که از یک نقطه بر روی محیط دایره تا نقطه ای دیگر بر روی محیط آن ترسیم می کنید (شکل 7-1 را ببینید). وتر همواره درون یک دایره قرار دارد. بزرگترین وتر ممکن قطر می باشد ـــ شما نمی توانید پاره خطی طولانی تر از آن داشته باشید.
-
تانژانت (Tangent): تانژانت در دایره یک خط، نیم خط، یا پاره خط است که همانطور که در شکل 7-1 نشان داده شده است، بیرون دایره را دقیقاً در یک نقطه لمس می کند. تانژانت هرگز از داخل دایره عبور نمی کند. یک تانژانت نمی تواند یک وتر باشد، زیرا یک وتر دایره را در دو نقطه لمس می کند، و از درون دایره عبور می کند. هر شعاعی که به یک تانژانت ترسیم شود، بر آن تانژانت عمود می باشد.
زوایا در یک دایره
چندین روش برای ترسیم یک زاویه درون یک دایره وجود دارد، و هر کدام از آنها روش خاصی برای محاسبۀ اندازۀ آن زاویه دارند. چهار نوع مختلف از زوایا عبارتند از: مرکزی (central)، محاطی (inscribed)، داخلی (interior)، و خارجی (exterior). در شکل 8-1 مثالهایی از انواع مختلف این زوایا می بینید.
زاویه مرکزی (Central angle)
رأس یک زاویۀ مرکزی در مرکز دایره می باشد، و اضلاع این زاویه بر روی شعاع های آن دایره قرار دارند. اندازۀ این زاویۀ مرکزی با اندازۀ کمانی از دایره که دو ضلع این زاویه جدا می کنند برابر می باشد.
زاویۀ محاطی (Inscribed angle)
رأس یک زاویۀ محاطی بر روی محیط دایره قرار دارد، و اضلاع آن زاویه بر روی وترهایی از آن دایره قرار دارند. اندازۀ این زاویۀ محاطی نصف اندازۀ کمانی از دایره می باشد که دو ضلع این زاویه جدا کرده اند.
زاویۀ داخلی (Interior angle)
رأس یک زاویۀ داخلی در محل تقاطع دو خط که درون یک دایره همدیگر را قطع کره اند، می باشد. اضلاع این زاویه بر روی خطهای متقاطع قرار دارند. اندازۀ یک زاویۀ داخلی میانگین اندازه های این دو کمان از دایره است که توسط آن خطهای متقاطع جدا شده اند.
زاویۀ خارجی (Exterior angle)
رأس یک زاویۀ خارجی در جایی است که دو نیم خط یک نقطۀ پایانی مشترک در بیرون یک دایره دارند. اضلاع این زاویه آن دو نیم خط می باشند. اندازۀ یک زاویۀ خارجی با تقسیم تفاضل بین اندازۀ کمانهای جدا شده توسط این دو نیم خط بر \(2\) بدست می آید.
مثال: اندازۀ زاویۀ \(EXT\) را بیابید، با این داده ها که این زاویۀ خارجی کمانهایی \(20\) درجه و \(108\) درجه را جدا می کند (شکل 9-1 را ببینید).
تفاضل بین اندازۀ این دو کمان جدا شده را بدست آورده و آن را بر \(2\) تقسیم کنید:
$$\frac{108-20}{2}=\frac{88}{2}=44$$
اندازۀ زاویۀ \(EXT\) برابر با \(44\) درجه می باشد.
قطاع ها (Sectors)
یک قطاع از یک دایره بخشی از آن دایره است که بین دو شعاع قرار دارد. شما می توانید این بخش را مشابه یک تکه از پای که در یک بشقاب پای مدور بریده شده است، در نظر بگیرید (شکل 10-1 را ببینید).
اگر زاویۀ بین این دو شعاع را بدانید، می توانید مساحت آن قطاع را بدست آورید. کل پیرامون یک دایره \(360\) درجه می باشد، بنابراین اگر آن زاویۀ مرکزی که یک قطاع را مشخص می سازد دارای اندازۀ \(60\) درجه باشد، آن گاه آن قطاع \(\frac{60}{360}\) یا \(\frac{1}{6}\) از درجات کل دایره را در بر می گیرد. در این مورد، این قطاع \(\frac{1}{6}\) مساحت کل این دایره را دارا می باشد.
مثال: مساحت یک قطاع از یک دایره را بیابید، زاویۀ بین دو شعاعی که این قطاع را می سازند \(80\) درجه می باشد و قطر آن دایره برابر با \(9\) اینچ می باشد.
-
مساحت این دایره را بیابید.
مساحت کل دایره برابر با \(A=\pi r^2=\pi \cdot (4.5)^2 \approx 3.14 (20.25) \approx 63.585\) یا در حدود \(63\frac{1}{2}\) اینچ مربع می باشد.
-
بخشی از این دایره را که این قطاع نشان می دهد، بیابید.
این قطاع تنها \(80\) درجه از این دایره را در بر می گیرد. \(80\) را بر \(360\) تقسیم کنید تا به نتیجۀ \(\frac{80}{360}=\frac{2}{9} \approx 0.222\) برسید.
-
مساحت این قطاع را محاسبه کنید.
کسر یا مقدار اعشاری بدست آمده در مرحلۀ \(2\) را در مساحت کل دایره ضرب کنید تا مساحت آن قطاع را بدست آورید: \(0.222(63.585) \approx 14.116\) . کل این دایره دارای مساحت تقریبی \(64\) اینج مربع می باشد، و این قطاع دارای مساحتی بالغ بر \(14\) اینچ مربع را دارا می باشد.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (1 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: