خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 6064 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

تابع معکوس یا تابع وارون

تابع معکوس یا تابع وارون

کد مطلب : 5649 PDF

توابع نوع خاصی از ارتباطات بین مقادیر ریاضی هستند، زیرا آنها منجر به تولید تنها یک خروجی منحصر به فرد به ازاء هر مقدار ورودی می گردند. گاهی اوقات شما مجبور می شوید تا با توابع رو به سمت عقب کار کنید، زیرا شما خروجی را می دانید و می خواهید بدانید که چه مقدار ورودی منجر به تولید این خروجی شده است. اینجا جایی است که تابع معکوس (inverse function) وارد می شود.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

کدام توابع دارای وارون می باشند؟


بهترین روش برای توصیف یک تابع معکوس اینست که مثالی بزنیم. من دو تابع را به شما نشان می دهم: یک فرمول یا تابع، هنگامی که یک دما را در واحد درجۀ فارنهایت (degrees Fahrenheit) به عنوان ورودی به آن می دهید، دمای بیرون را در واحد درجۀ سلسیوس (degrees Celsius) به شما می گوید، و تابع دیگر هنگامی که سلسیوس را به آن بدهید، فارنهایتش را به شما می دهد (در مواقعی که به خارج از کشور سفر می کنید این دو تابع می توانند برای شما بسیار مفید باشند).

اولین تابع \(C(f)=\frac{5}{9}(f-32)\)، و دومین تابع \(F(c)=\frac{9}{5}c+32\)، می باشند، که در اولی، هنگامی که شما دما در واحد درجۀ فارنهایت را به عنوان ورودی \((f)\) به آن می دهید، \(C\) پاسخ در واحد درجۀ سلسیوس می باشد، و در تابع دوم هنگامی که دما را در واحد سلسیوس \((c)\) به عنوان ورودی تابع ارائه می دهید، خروجی آن دما در واحد فارنهایت، \(F\) ، خواهد بود.

اگر \(77\) را به عنوان ورودی درجۀ فارنهایت به تابع \(C\) بدهید، به نتیجۀ \(25\) درجۀ سلسیوس می رسید:
$$C(77)=\frac{5}{9}(77-32)=\frac{5}{9}(45)=25$$
اکنون، نظرتان در مورد اینکه روش دیگر را برویم، چیست؟ اگر بخواهید بدانید \(77\) درجۀ فارنهایت برابر با چند درجۀ سلسیوس می باشد، چطور؟ شما از معکوس این تابع استفاده می کنید (که در ادامۀ همین فصل چگونگی یافتن معکوس یک تابع را به شما خواهم گفت). یادتان باشد که تنها یک دمای سلسیوس، پاسخ \(77\) درجۀ فارنهایت می باشد. (به عنوان مثال، اگر هم \(25\) درجه و هم \(45\) درجۀ سلسیوس، پاسخ یکسان \(77\) درجۀ فارنهایت را به شما بدهند، بی معنا خواهد بود.)

از تابع دیگر استفاده کنید و \(25\) درجۀ سلسیوس را به عنوان ورودی به آن بدهید:
$$F(25)=\frac{9}{5}(25)+32=45+32=77$$
یک تفاوت بزرگ بین توابعی که دارای معکوس می باشند و توابعی که دارای معکوس نمی باشند، وجود دارد: یک تابع تنها در صورتی می تواند دارای تابع معکوس باشد که یک-به-یک (one-to-one) باشد. به عبارت دیگر، آن تابع به نحوی طراحی شده باشد که هر ورودی در آن دقیقاً یک خروجی داشته باشد و هر خروجی آن تنها از یک ورودی نشأت گرفته باشد ـــ این خروجی نباید با بیش از یک مقدار ورودی، رُخ داده باشد.

یک مثال از تابع دیگری که دارای تابع معکوس می باشد، \(f(x)=4x+5\) می باشد. معکوس آن \(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{4}\) است.

توجه داشته باشید که نماد تابع برای نام این تابع معکوس همان حرف الفبا اما با یک توان \(-1\) می باشد. این توان به معنای این نیست که شما یک معکوس می خواهید؛ به جای آن، این توان \(-1\) در نام یک تابع، یک نماد ریاضی خاص به معنای یک تابع معکوس است. شما این نماد را در مثلثات به وفور خواهید دید. توابع معکوس همگی دارای نامی می باشند که توان \(-1\) بعد از نام تابع مربوطه مورد استفاده قرار گرفته است. همچنین، این توابع می توانند نامهای جایگزین دیگری نیز داشته باشند. برای اطلاعات بیشتر در مورد قواعد این نامگذاری، فصل 15 را ببینید.

با استفاده از آخرین تابعی که به شما نشان دادم، بررسی کنید که این تابع معکوس چگونه کار می کند. اگر ورودی \(6\) را به تابع \(f\) بدهید، به نتیجۀ \(f(6)=4(6)+5=24+5=29\) می رسید. این خروجی، \(29\)، را بردارید و در تابع معکوس به عنوان ورودی قرار دهید تا ببینید، آیا ورودی خاص بیرون می آید: \(f^{-1}(29)=\frac{29-5}{4}=\frac{24}{4}=6\) . این تابع و معکوس آن یک-به-یک (one-to-one) می باشند. هیچ ورودی دیگری در تابع \(f(x)\) منجر به خروجی \(29\) نمی شود، و هیچ ورودی دیگری در تابع \(f^{-1}(x)\) به شما \(6\) را نتیجه نمی دهد.

با این حال، تمامی توابع دارای معکوس نمی باشند. یک مثال از تابعی که یک-به-یک نمی باشد، تابع \(g(x)=x^2-4\) می باشد. اگر \(7\) را به عنوان ورودی به این تابع بدهید، به \(g(7)=(7)^2-4=49-4=45\) می رسید. اما شما همچنین با ورودی \(-7\) نیز به همین نتیجۀ \(45\) می رسید: \(g(-7)=(-7)^2-4=49-4=45\) . احتمالاً شما از روی خروجی نمی توانید بگویید که کدام یک از مقادیر ورودی بوده اند، \(7\) یا \(-7\) . این تابع یک-به-یک نمی باشد. بنابراین دارای یک معکوس نیست.

گاهی اوقات، شما می توانید تابعی که دارای معکوس می باشد را تشخیص دهید، و گاهی اوقات این خصوصیت خیلی آشکار نیست. در اینجا چند سرنخ نسبتاً بدیهی داریم که شما صرفاً با نگاه کردن به قاعدۀ آن تابع می توانید متوجهشان شوید. یک تابع دارای معکوس نمی باشد اگر:

  • قاعدۀ آن تابع دارای یک توان زوج باشد (شامل \(0\) نمی شود).
  • قاعدۀ آن تابع دارای یک نماد قدرمطلق باشد.
  • نمودار آن تابع یک خط افقی باشد.
  • شما یک خط افقی را از میان نمودار تابع عبور دهید و آن خط بیش از یک مرتبه نمودار را قطع کند.

توابع مثلثاتی همگی دارای معکوس می باشند، اما تنها در شرایطی خاص ـــ شما باید مقادیر دامنه را محدود کند. (در مورد اینکه معنی محدود کردن مقادیر دامنه چیست در فصل 15 بحث خواهم کرد.)

یافتن یک تابع معکوس


همۀ توابع دارای معکوس نمی باشند، و تعیین تمامی معکوس ها کار آسانی نمی باشد. در اینجا یک روش زیبا برای یافتن معکوس های توابع پایه ای جبری داریم.

استفاده از جبر


کارآمدترین روش برای یافتن یک تابع معکوس برای یک تابع یک-به-یک داده شده، شامل مراحل زیر می باشد:

  1. نام نماد تابع را با \(y\) جایگزین کنید.
  2. تمامی \(x\) ها و \(y\) ها را جایگزین یکدیگر کنید (هر \(x\) را جایگزین \(y\) و هر \(y\) را جایگزین \(x\) کنید).
  3. معادله را برای بدست آوردن \(y\) حل کنید.
  4. \(y\) را با نماد تابع معکوس، جایگزین کنید.

به عنوان مثال، برای یافتن تابع معکوس \(f(x)=\sqrt[3]{x-2}+8\) ، مراحل زیر را دنبال کنید:

  1. نماد تابع را با \(y\) جایگزین کنید. $$y=\sqrt[3]{x-2}+8$$
  2. جای \(x\) ها و \(y\) ها را با یکدیگر تعویض کنید. $$x=\sqrt[3]{y-2}+8$$
  3. معادله را برای بدست آوردن \(y\) حل کنید. $$
    x-8=\sqrt[3]{y-2} \\
    (x-8)^3=y-2 \\
    (x-8)^3+2=y
    $$
  4. \(y\) را با نماد تابع معکوس جایگزین کنید. $$f^{-1}(x)=(x-8)^3+2$$

چگونگی کار کرد این دو تابع را بررسی کنید. عدد \(3\) را وارد تابع اصلی کنید و آن گاه حاصل آن را در تابع معکوس قرار دهید تا ببینید دوباره به عدد \(3\) می رسید.

  1. در تابع اصلی \(x\) ها را با \(3\) جایگزین کنید. $$f(3)=\sqrt[3]{3-2}+8=\sqrt[3]{1}+8=9$$
  2. در تابع معکوس، \(x\) ها را با \(9\) جایگزین کنید. $$f^{-1}(9)=(9-8)^3+2=1^3+2=3$$

استفاده از تعاریف جدید برای توابع معکوس


گاهی اوقات شما یک فرآیند زیبا یا راحت جبری که یک تابع معکوس را به شما بدهد، در اختیار ندارید. بسیاری از توابع یک قانون خاص و جدید برای معکوسشان نیاز دارند. در اینجا چند مثال از اینگونه توابع داریم:
$$
\begin{array}{c | c}
\text{Function} & \text{Inverse} \\ \hline
f(x)=e^x & f^{-1}(x)=\text{In } x \\
g(x)=\log_a x & g^{-1}(x)=a^x \\
h(x)=\sin x & h^{-1}(x)=\arcsin x \text{ or } \sin^{-1}x \\
k(x)=\tan x & k^{-1}(x)=\arctan x \text{ or } \tan^{-1}x
\end{array}
$$
اگر یک ماشین حساب علمی یا ماشین حساب ترسیم نمودار داشته باشید، می توانید برخی از این توابع و معکوسشان را امتحان کنید. برای اثبات های زیر از تابع \(f(x)=e^x\) و معکوس آن، \(f^{-1}(x)=\text{In } x\) استفاده کنید:

  1. در ماشین حساب، از دکمۀ \(e^x\) استفاده کنید (اغلب دومین کارکرد ماشین حساب است) تا \(e^3\) را وارد کنید. در اینجا مقدار ورودی \(3\) است. پاسخ، یا خروجی، در حدود \(20.08553692\) می باشد. این مقدار دقیق نمی باشد، اما تا هشت رقم اعشار خوب است.

  2. اکنون این پاسخ را بردارید و آن را با استفاده از دکمۀ \(\text{In}\) نتیجۀ \(\text{In } 20.08553692\) را محاسبه کنید. مقدار \(20.08553692\) را در تابع \(\text{In}\) وارد کنید. پاسخ، یا خروجی که بدست خواهید آورد برابر با \(3\) خواهد بود.





نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

لطفا پیش از ارسال دیدگاه ، به نکات زیر توجه فرمایید :

- از نوشتن دیدگاه های غیر مرتبط با پست جدا خودداری کنید.
- لطفاً دیدگاه های خود را با حروف فارسی تایپ کنید، دیدگاه های فینگیلیش تایید نمی شوند.
- قبل از ارسال دیدگاه حتما متن پست و نظرات سایر دوستان را بخوانید . نظرات اسپم و تکراری تایید نخواهند شد.
- نظر شما ممکن است بدون پاسخ تایید شوند که در این صورت باید منتظر پاسخ از سوی دیگر کاربران باشید .
- چرا آموزش های سایت خوش آموز در قالب فایل pdf به صورت یکجا ارائه نمی شوند؟
- چرا برخی پرسش های کاربران پاسخ داده نمی شوند؟
- لطفا انتقادات و پیشنهادات و همچنین درخواست های خود را از طریق ایمیل khoshamoz[at].hotmail.com ارسال نمایید

مشکل نمایش فرمول های ریاضی در مرورگر کروم: از تاریخ 1398/06/15 و از بروز رسانی نسخۀ 76.0.3809.132 مرورگر کروم، یک باگ در نمایش فرمول های ریاضی در این مرورگر پیدا شده است که به سازندۀ کروم گزارش شده است. تا زمان رفع این مشکل برای مشاهدۀ صحیح آموزش های دارای فرمول های ریاضی از مرورگرهای فایرفاکس و مایکروسافت ادج استفاده نمایید.
دوره آموزشی رایگان مثلثات