مفهوم اصلی که مثلثات را از سایر مباحث ریاضی متمایز می کند، توجه و وابستگی آن به اندازۀ زوایا می باشد. توابع مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت، و کسکانت) نسبتهایی مبتنی بر اندازۀ یک زاویه می باشند. این درجات (degrees) در زندگی واقعی به چه دردی می خورند؟ دریانوردان، نجارها، و اخترشناسان نمی توانند بدون آنها کاری کنند. این درجات را چگونه اندازه گیری می کنید؟ شما روش های بسیاری برای این کار دارید، و در این فصل تمام چیزهای مورد نیاز را به شما نشان خواهم داد.

اندازه گیری زاویه با درجه

یک درجه (degree) چیست؟ در مثلثات، یک درجه یک تکۀ ریز از یک دایره می باشد. فرض کنید که یک پیتزا را به \(360\) قسمت برابر تقسیم کرده باشید (چه افتضاحی!). هر تکه از این پیتزا نشان دهندۀ یک درجه خواهد بود. به شکل 1-4 بنگرید تا ببینید یک درجه چطور به نظر می رسد.

بُرش زدن یک صفحۀ مختصات

اولین رُبع صفحه (quadrant) گوشۀ بالا و سمت راست در صفحۀ مختصات قرار دارد. (برای جزئیات بیشتر در مورد ربع صفحه و همینطور صفحۀ مختصات فصل 2 را ببینید.) این اولین ربع صفحه برابر با \(\frac{1}{4}\) کل صفحه می باشد. بنابراین اگر یک دایرۀ کامل که مرکز آن در مبدأ مختصات قرار دارد، دارای \(360\) درجه باشد، آن گاه \(\frac{1}{4}\) از آن \(90\) درجه خواهد داشت، که اندازۀ زاویۀ تشکیل شده توسط ربع صفحۀ اول می باشد. در واقع، هر ربع صفحه دقیقاً \(90\) درجه می باشد. شما می توانید هر کدام از این \(90\) درجه ها را با بسیاری از اعداد به صورت مساوی تقسیم کنید، و شما از این تقسیمات برابر، در مثلثات به وفور استفاده خواهید کرد، زیرا آنها تقسیماتی زیبا و شسته و رفته می باشند. پرکاربردترین اندازۀ زوایا شامل \(\frac{90}{2}=45^{\circ}\)، \(\frac{90}{3}=30^{\circ}\)، و \(\frac{90}{6}=15^{\circ}\) می باشند. و بعد از آن، دوبرابر \(30\) درجه که \(60\) درجه می شود، یکی دیگر از زاویه های رایج در مثلثات است.

این گروه گلچین شده از اندازۀ زوایا شامل \(0\)، \(15\)، \(30\)، \(45\)، \(60\)، و \(90\) درجه می باشند. به دلیل راحتی در محاسبات، این زوایا و مضرب های آنها بیشتر بحث ها در مثلثات را اِشغال کرده اند. شکل 2-4 طرح هایی از برخی از این زوایا را نشان می دهد.

جستجو به دنبال اندازه های درجه در جایی دیگر

اولین آشنایی شما با مفهوم اندازه گیری زوایا در واحد درجه، احتمالاً از یک دورۀ هندسه یا مثلثات نباشد. بیشتر ما از طریق تلویزیون یا فیلمها با این مفهوم آشنا شده ایم. یک وضعیت رایج در اینگونه نمایش ها شامل یک هواپیما یا کشتی گیر کرده در طوفان است که در آن ناخدا یا فرد دیگری فریاد بر می آورد "40 درجه به چپ". از آنجا که خلبان یا آن ناخدا درس های مثلثاتش را به خاطر می آورد، می تواند جلوی فاجعه را بگیرد. هورا به درجه ها!

ناوبری با درجه ها

در ناوبری (جهت یابی) و نقشه برداری، برینگ (bearing) یا هدینگ (heading) ، جهتی می باشد که یک هواپیما، قایق، یا خط می گیرد. به زبان ریاضی، این برینگ زاویه ای است که یک نیمخط با نیمخط دومی که به سمت شمال اشاره دارد، می سازد، و در واحد درجه اندازه گیری می شود. این زاویه در جهت گردش عقربه های ساعت اندازه گیری می شود. (با این حال، توجه داشته باشید که در موقعیت استاندارد در هندسه و مثلثات، شما زوایا را در خلاف جهت گردش عقربه های ساعت، اندازه گیری می کنید.) شکل 3-4 چندین برینگ را که در ناوبری مورد استفاده قرار می گیرند به شما نشان می دهد. توجه داشته باشید که جهت فلش ها همواره در جهت گردش عقربه های ساعت است. با وجود اینکه زوایا در برینگ متفاوت از مثلثات اندازه گیری می شوند، باز هم اندازۀ زوایا یکسان هستند ـــ صرفاً اندکی چرخیده اند. یک زاویۀ \(120\) درجه هنوز هم بزرگتر از یک زاویۀ قائمه می باشد. هنگامیکه با اندازۀ زوایا آشنا شوید، انتقال آنها به درون این کار برینگ، چیز ساده ای می باشد.


اکنون، نگاهی به شکل 4-4 بیندازید تا مسیر یک هلی کوپتر را که به مدت \(10.5\) دقیقه در یک برینگ \(36\) درجه (که شمال شرقی است) پرواز می کند، و سپس به مدت \(13.6\) دقیقه در برینگ \(144\) درجه (که جنوب شرقی می شود) پرواز می کند، و سپس طی مدت \(14.4\) دقیقه در برینگ \(280\) درجه (که غرب-شمال غربی است) پرواز کرده و به نقطۀ آغازینش باز می گردد، را ببیند.

کارگاه نجاری

اگر از طرفداران تلویزیون عمومی و برنامۀ The New Yankee Workshop (کارگاه نیو یانکی) نیستید، اجازه دهید اول شما را با این برنامه آشنا کنم: کارگاه نیویانکی یک برنامۀ مرتبط با نجاری است که توسط آقای نورم آبرام (Norm Abram) بنیانگذاری شد. نورم از اهالی نیوانگلند (New England) است که با ابزارهایی بسیار گرانقیمت بر روی پروژه های نجاری کار می کرد و از مخاطبانش دعوت می کرد تا کارهای مشابهی را (با ابزارهای نه چندان گرانقیمت) انجام بدهند. او میز اره اش را طوری درست کرده بود که بتواند یک تخته را در یک زاویۀ \(90\) درجه برش بزند، یا آن را طوری تغییر بدهد که به هر زاویۀ دلخواه بتواند برش تخته را انجام دهد. اگر نورم می خواست تا دو تختۀ عمود بر هم را بسازد که با یکدیگر یک زاویۀ قائمه را تشکیل بدهند، اره اش را در زاویۀ \(45\) درجه تنظیم می کرد. همچنین او می توانست یکی از این تکه ها را در زاویۀ \(30\) درجه و دیگری را در زاویۀ \(60\) درجه برش دهد؛ یا همینطور \(20\) و \(70\) درجه. شکل 5-4 چگونگی متصل شدن این چوب ها به یکدیگر را نشان می دهد.


اگر نورم قصد داشت تا از یک تکه چوب واحد که آن را به هشت تکه بریده است، یک میز هشت ضلعی (octagonal) بسازد، در اینصورت او چه زوایایی را باید برش دهد؟ بیشتر از آن است که ظرف یک دقیقه بتواند انجامش بدهد. در شکل 6-4 یک میز هشت ضلعی را می بینید که از هشت مثلث برابر تشکیل شده است.


نورم برای اینکه میز هشت ضلعی خودش را بسازد، به هشت مثلث متساوی الساقین نیاز دارد (که در آنها دو ضلع طولانی از هر مثلث دارای اندازۀ یکسان باشند). اندازۀ زوایایی که او باید برش بدهد چقدر می باشد؟ دور تا دور یک دایره (و پیرامون مرکز این میز) برابر با \(360\) درجه می باشد، پس هر مثلث دارای یک زاویۀ بالایی می باشد (زاویه ای که در مرکز میز قرار می گیرد) که اندازه اش \(\frac{360}{8}\)، که \(45\) درجه است، می باشد. دو زاویۀ قاعده (آنهایی که در لبه های دیگر میز قرار دارند) هم اندازه می باشند. مجموع زوایای یک مثلث برابر با \(180\) درجه است، پس بعد از اینکه زاویۀ بالایی یعنی زاویۀ \(45\) درجه را از آن تفریق کنید، به \(135\) درجه برای دو زاویۀ دیگر می رسید. با تقسیم \(135\) بر \(2\)، در می یابید که هر کدام از زوایای قاعدۀ مثلث برابر با \(67\frac{1}{2}\) می باشند. نورم می تواند تمامی این هشت مثلث را از یک تکه چوب ببرد، زیرا دو زاویۀ قاعده بعلاوۀ یک زاویۀ بالایی، یک خط راست را تشکیل می دهند. او فقط کافیست بعد از بریدن مثلث ها آن ها را به یکدیگر متصل سازد. و همانطور که در شکل 7-4 می توانید ببینید ضایعات زیادی هم نخواهد داشت.