خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مساحت و طول کمان در مثلثات

مساحت و طول کمان در مثلثات
نویسنده : امیر انصاری
بزرگترین مزیت استفاده از رادیان به جای درجه اینست که یک رادیان به طور مستقیم با یک طول گره خورده است ـــ طول یا مسافت پیرامون یک دایره، که محیط آن (circumference) نامیده می شود. در هنگام انجام دادن کاربردهایی که با طول یک کمان از یک دایره درگیر هستند، که بخشی از محیط آن دایره می باشد، استفاده از رادیان ها بسیار سودمند است؛ مانند اندازه گیری حرکت منحنی عقربۀ یک ساعت؛ و یافتن مسافت در مسأله های ناوبری.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



مسأله های این بخش نمونه های خوبی از وضعیت هایی می باشند که استفاده از رادیان در آنها بهترین گزینۀ ممکن برای شما می باشد. مسلماً، تمامی این مسائل فرض می گیرند که شما می توانید اندازه گیری های دقیقی را بر روی متغیرهای قابل اندازه گیری، انجام دهید. اما مثلثات درها را به سوی حل کردن مسائلی که به هیچ روش دیگری قابل انجام نمی باشند، گشوده است.

بیرون کشیدن تکه هایی از دایره ها


مثالهای این بخش از ویژگیهایی از دایره ها استفاده می کنند. بخشی از یک دایره می تواند یک کمان، یک قطر، یک قطاع، یا مرکز آن باشد. اندازه ها اغلب با درجه آغاز می گردند، و هرگاه که لازم باشد من آنها را به رادیان تبدیل می کنم، تا مسأله را تکمیل کنم.

اسکن کردن با یک رادار


یک رادار یک ناحیۀ مدور را که دارای یک شعاع \(40\) مایلی می باشد، اسکن می کند. در مدت زمان یک ثانیه، یک مساحت مدور \(60\) درجه را می پیماید. در مدت زمان یک ثانیه، این رادار چه مسافتی را پوشش می دهد؟ در پنج ثانیه چطور؟ شکل 2-5 را که یک پیمایش \(60\) درجه را نشان می دهد، ببینید.

کلون سازی از روی یک کمان
در اینجا چگونگی حل این مسأله را می بینید:

  1. مساحت این دایره را بیابید.
    از فرمول مساحت دایره، \(A=\pi r^2\)، استفاده کنید. با قرار دادن \(40\) به جای شعاع، \(r\)، به نتیجۀ \(\pi r^2=\pi(40)^2=1,600 \pi \approx 5,026.548\) مایل مربع، می رسید.

  2. مساحت دایره را بر بخشی از این دایره که طی یک پیمایش مدور، پوشش داده می شود، تقسیم کنید.
    پیمایش \(60\) درجه برابر با \(\frac{1}{6}\) از کل دایره می باشد، بنابراین با تقسیم کل مساحت دایره بر \(6\) به مساحتی که طی این پیمایش پوشش داده می شود، می رسید. نتیجه برابر با \(\frac{5,026.548}{6}=837.758\) مایل مربع می باشد، که مساحت اسکن شده توسط رادار در مدت زمان یک ثانیه می باشد. برای بدست آوردن مساحت اسکن شده توسط رادار در مدت زمان \(5\) ثانیه، نتیجۀ بدست آمده را در \(5\) ضرب می کنید، تا به \(4,188.790\) مایل مربع برسید.

از آنجا که تعداد درجه ها یک مقدار راحت بود ـــ کسری از آن دایره بود ـــ ، مسالۀ پیشین به زیبایی حل شد. اما اگر این عدد به صورت برابر \(360\) را تقسیم نکند، چطور می شود؟ به عنوان مثال، اگر این رادار مساحتی برابر با یک زاویۀ \(76\) درجه را در یک ثانیه پیمایش کند، چه می شود؟

به طور کلی، اگر این زاویه در واحد درجه داده شده باشد، سپس بخشی از یک دایره که این زاویه به طور مدور پیمایش می کند برابر با \(\frac{\text{angle in degrees}}{360}\) می باشد، یعنی زاویه در واحد درجه، تقسیم بر \(360\). کسر مربوط به آن بخش از دایره را بدست آورید و آن را در مساحت دایرۀ مربوطه، \(\pi r^2\)، ضرب کنید. یک نام فانتزی برای این بخش از دایره قطاع (sector) می باشد.

برای بدست آوردن مساحت یک قطاع (sector) از این فرمول ها استفاده کنید:

  • با استفاده از درجه: مساحت یک قطاع برابر است با:
    $$\frac{\theta^{\circ}}{360} \cdot \pi r^2$$
  • با استفاده از رادیان: مساحت یک قطاع برابر است با:
    $$\frac{\theta^R \cdot r^2}{2}$$

فرمول دوم از محاسبات زیر منتج شده است. به همین دلیل هم هست که در نتایج آن خبری از \(\pi\) نیست:
$$\require{cancel}
\frac{\theta^R}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\theta^R}{2 \cancel{\pi}} \cdot \cancel{\pi} r^2 = \frac{\theta^R \cdot r^2}{2}$$
به عنوان مثال، برای یافتن مساحت پیمایش مدور یک رادار در مثال قبلی، در صورتیکه میزان پیمایش در هر ثانیه برابر با \(76\) درجه باشد، داریم:

  1. در فرمول مساحت یک قطاع، \(76\) را جایگزین \(\theta^{\circ}\) و \(40\) را جایگزین شعاع کنید. $$\text{Area}=\frac{76}{360} \pi(40)^2$$
  2. ضرب و تقسیم کنید تا پاسخ را ساده نمایید. $$=\frac{121,600 \pi}{360} \approx \frac{382,017.667}{360}=1,061.160 \text{ square miles}$$

برای نشان دادن محاسبۀ پیمایش این رادار در صورتیکه اندازه ها به رادیان به شما داده شده باشند، مساحت پیمایش این رادار در صورتی که هر پیمایش \(\frac{\pi}{3}\) رادیان (برابر با \(60\) درجه) باشد را بیابید.

  1. \(\frac{\pi}{3}\) را جایگزین \(\theta^R\) و \(40\) را جایگزین، شعاع کنید. $$\text{Area}=\frac{\theta^R \cdot r^2}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} (40)^2}{2}$$
  2. با ضرب و تقسیم پاسخ را ساده کنید. $$=\frac{\frac{\pi}{3} \cdot 1,600}{2} \approx \frac{1,675.516}{2} = 837.758 \text{ square miles}$$

این نتیجه را با محاسبات مربوط به پیمایش \(60\) درجه، که اندکی پیشتر گفته شد، مقایسه کنید.

مسالۀ تقسیم پیتزا


چند دوست صمیمی دانشجو، قصد سفارش پیتزا داشتند ـــ و خودتان بهتر از من می دانید که دانشجوها چقدر ممکن است گرسنه باشند. پرسش اصلی اینست، کدامیک از آنها تکه پیتزای بزرگتری دارند: یک پیتزای \(12\) اینچی که به شش تکه تقسیم شده است، یا یک پیتزای \(15\) اینچی که به هشت تکه تقسیم شده است؟ شکل 3-5 یک پیتزای \(12\) اینچی و یک پیتزای \(15\) اینچی را به شما نشان می دهد، که هر دوی آنها برش خورده اند. آیا صرفاً با نگاه کردن به آنها می توانید بگویید کدام تکه ها بزرگتریند ـــ یعنی، مساحت بیشتری دارند؟

کلون سازی از روی یک کمان
این پیتزای \(12\) اینچی به شش تکۀ برابر تقسیم شده است. هر کدام از این تکه ها نشان دهندۀ یک زاویۀ \(60\) درجه می باشند، که برابر با \(\frac{\pi}{3}\) رادیان است، بنابراین شما می توانید مساحت هر قطاع دایره (معادل یک تکه پیتزا) را با استفاده از فرمول بدست آوردن مساحت یک قطاع در واحد رادیان و جایگذاری \(6\) به عنوان شعاع آن پیتزای \(12\) اینچی (قطر پیتزا است)، بدست آورید. پاسخ اینست:
$$\frac{\theta^R \cdot r^2}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} \cdot (6)^2}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} \cdot 36}{2} =\frac{12 \pi}{2}=6\pi \text{ square inches}$$
(من این پاسخ را با مضربی از \(\pi\) رها کرده ام تا بتوانید اندازه های بین این دو پیتزا را که هر دوی آنها دارای مضربی از \(\pi\) می باشند، مقایسه کنید.)

این پیتزای \(15\) اینچی به هشت تکۀ برابر تقسیم شده است. هر تکه نشان دهندۀ یک زاویۀ \(45\) درجه است، که برابر با \(\frac{\pi}{4}\) رادیان می باشد، پس، این بار شعاع را برابر با \(7.5\) قرار دهید، مساحت هر قطاع برابر است با:
$$\frac{\theta^R \cdot r^2}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot (7.5)^2}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot 56.25}{2} =\frac{56.25 \pi}{8}=7.03125\pi \text{ square inches}$$
این نتیجه دقیقاً به شما نمی گوئید که در هر تکه پیتزا چند اینچ مربع وجود دارد، اما می توانید ببینید که یک تکه از این پیتزای \(15\) اینچی دارای مساحتی برابر با \(7.03125 \pi\) اینچ مربع می باشد، و یک تکه از پیتزای \(12\) اینچی دارای مساحتی برابر با \(6 \pi\) اینچ مربع است. حتی با وجود اینکه پیتزای \(15\) اینچی دارای تکه های بیشتری است، باز هم مساحت بیشتری نسبت به پیتزای \(12\) اینچی دارد. و راستی، تفاضل بین این دو اندکی بیش از سه اینچ مربع در هر پیتزا می باشد.

عقربۀ ثانیه شمار


در این بخش در مورد دو سناریو بحث خواهم کرد: عقربۀ دقیقه شمار در یک ساعت در امتداد درجه های ساعت مسیر مدوری را پیمایش می کند و دست یک شخص سوار بر چرخ و فلک که در تماس با هوا صدای ویژ می دهد. این مثالها از فرمول طول کمان استفاده می کنند، که مسافت بخشی از پیرامون یک دایره می باشد.

شما طول یک کمان از یک دایره را، \(s\)، با استفاده از فرمول زیر بدست می آورید، که در آن اندازۀ زاویه برحسب رادیان می باشد، و \(r\) مخفف شعاع (radius) این دایره است:
$$s=\theta^R \cdot r$$

سوارکاری بر روی عقربۀ دقیقه شمار


فرض کنید یک کفشدوزک بر روی نوک یک عقربۀ دقیقه شمار در یک برج ساعت نشسته باشد. عقربۀ دقیقه شمار \(12\) فوت طول دارد. از ساعت \(3:00\) تا ساعت \(3:20\) دقیقه، این کفشدوزک چقدر سفر خواهد کرد؟

  1. محاسبه کنید که در مدت زمان \(20\) دقیقه، عقربۀ دقیقه شمار چند درجه می چرخد.
    بیست دقیقه برابر با \(\frac{20}{60}\) یا \(\frac{1}{3}\) یک ساعت می باشد. این کسر را به درجه تبدیل کنید، و به \(\frac{1}{3}\) از \(360\) یا \(120\) درجه می رسید.

  2. درجه را به رادیان تبدیل کنید.
    فرمول طول کمان، زوایا را به لحاظ رادیان مورد استفاده قرار می دهد، بنابراین ابتدا نیاز دارید تا \(120\) درجه را به رادیان تبدیل کنید. با استفاده از تناسب تبدیل درجه به رادیان و کاهش کسر سمت چپ، خواهید داشت:
    $$\frac{120}{180}=\frac{\theta^R}{\pi} \\
    \frac{2}{3} =\frac{\theta^R}{\pi}$$
    هر دو سمت این معادله را در \(\pi\) ضرب کنید. نتیجۀ نهایی برای اندازۀ این زاویه برابر با\( \theta^R = \frac{2 \pi}{3}\) می باشد.

  3. این پاسخ را با استفاده از فرمول طول کمان محاسبه کنید.
    این زاویه را بر حسب رادیان وارد کنید، و \(12\) فوت را که طول عقربۀ دقیقه شمار می باشد، به عنوان شعاع، وارد نمایید. محاسبات شما باید اینگونه باشد:
    $$s=\theta^R \cdot r = \frac{2 \pi}{3} \cdot 12 = 8 \pi \approx 25.13 \text{ feet} $$
    که برابر با مسافت پیموده شده توسط این کفشدوزک می باشد.

سواری بر روی چرخ و فلک


نگاهی به شکل 4-5 بیندازید. فرض کنید که این چشم لندن (London Eye) می باشد، چشم لندن نام یک چرخ و فلک عظیم در لندن انگلستان است. قطر این چرخ و فلک برابر با \(394\) فوت است. اگر من داخل یک اطاقک از این چرخ و فلک باشم و از بالای آن تا نیمۀ راه پایین آن را بپیمایم، در این صورت چه مسافتی را پیموده ام؟

کلون سازی از روی یک کمان
یک دایره با قطر \(394\) فوت دارای شعاع \(197\) فوت می باشد. از بالای این چرخ و فلک تا نیمۀ راه پایین آن برابر با \(\frac{1}{4}\) این دایره است، که برابر با \(90\) درجه می شود. در واحد رادیان، \(90\) درجه برابر با \(\frac{\pi}{2}\) می شود. با استفاده از فرمول طول کمان و قرار دادن اندازۀ این زاویه در واحد رادیان و همینطور شعاع در این فرمول خواهید داشت:
$$s=\theta^R \cdot r = \frac{\pi}{2} \cdot 197 = 98.5 \pi \approx 309.45 \text{ feet}$$

اندازه گیری مسافتهای دور با مثلثات


یکی از ویژگیهای عالی مثلثات اینست که به شما امکان می دهد چیزهایی را اندازه گیری کنید که نمی توانید به آنها برسید، یا در مورد مثال مسیر مسابقه که در این بخش آمده است، چیزهایی که نمی خواهید به آنها نزدیک شوید. دایره و زوایای آن انواع کاربردها را دارند، هم بر روی زمین و هم در آسمان.

اندازه گیری فاصله تا ماه


یکی از اولین کاربردهای مثلثات در اندازه گیری مسافت هایی بود که نمی توانستید به آنها برسید، مانند مسافت تا سیارات دیگر، یا ماه، یا مکان هایی در آن سوی کرۀ زمین. مثال زیر را در نظر بگیرید.

قطر کرۀ ماه در حدود \(2,160\) مایل می باشد. هنگامی که ماه کامل باشد، شخصی که از روی زمین کرۀ ماه را می بیند یک زاویۀ \(0.56\) درجه از یک سمت ماه تا سمت دیگر آن را اندازه گیری می کند (شکل 5-5 را ببینید).

کلون سازی از روی یک کمان
برای محاسبۀ اینکه مسافت بین کرۀ زمین تا کرۀ ماه چقدر می باشد، دایره ای را با مرکزیت کرۀ زمین و محیطی که مستقیماً از مرکز ماه، و در امتداد یکی از قطرهای ماه عبور می کند، در نظر بگیرید. ماه بسیار دورتر از آنست که این قطر راست و منحنی نرم محیط این دایرۀ بزرگ را دارای اندازۀ یکسانی متصور نشویم. کمانی که از قطر ماه عبور می کند دارای یک زاویۀ \(0.56\) درجه می باشد و طول این کمان \(2,160\) مایل (قطر آن) می باشد. با استفاده از فرمول طول کمان، آن را برای بدست آوردن شعاع این دایرۀ بزرگ حل کنید، این شعاع مسافت زمین تا ماه می باشد. برای حل کردن برای این شعاع:

  1. ابتدا \(0.56\) درجه را به واحد رادیان تبدیل کنید. $$\frac{0.56}{180} = \frac{\theta^R}{\pi} \\
    \theta^R = \frac{0.56 \pi}{180} \approx 0.00977$$
  2. این اعداد را در فرمول طول کمان، \(s=\theta^R \cdot r\) ، جایگذاری کنید.
    \(0.00977\) رادیان را جایگزین اندازه در واحد رادیان و \(2,160\) را جایگزین طول کمان کنید:
    $$2,160=0.00977 \cdot r$$
  3. هر دو سمت معادله را بر \(0.00977\) تقسیم کنید.
    مسافت تا ماه برابر است با:
    $$r=\frac{2,160}{0.00977} \approx 221,085 \text{ miles}$$

مسیر مسابقه


یک ماشین مسابقه ای یک مسیر مدور را می پیماید. یک عکاس که در مرکز این دایره ایستاده است، عکسی را می گیرد، \(80\) درجه می چرخد و سپس \(10\) ثانیه بعد عکس دیگری می گیرد. اگر این مسیر دارای قطری برابر با \(\frac{1}{2}\) مایل باشد، این ماشین مسابقه چقدر سرعت دارد؟ شکل 6-5 این عکاس را در مرکز و این ماشین را در دو موقعیت متفاوت نشان می دهد.

کلون سازی از روی یک کمان
سرعت این ماشین چقدر است؟ در کجای این مسأله اشاره ای به سرعت شده است؟ در واقع، در این وضعیت، این ماشین بخشی از مسیر پیرامون این جاده را در مدت زمان \(10\) ثانیه می پیماید. با محاسبۀ طول این کمان، می توانید تعیین کنید که سرعت این ماشین چقدر است.

یک فرمول که شما آن را سودمند خواهید یافت، اینست که بیان می دارد مسافت (distance) برابر است با نرخ ضربدر زمان، که در این فرمول نرخ (rate) بر حسب مایل بر ساعت (یا فوت بر ثانیه یا برخی واحدهای اندازه گیری دیگر) می باشد، و زمان (time) همان واحدی است که در نرخ مورد استفاده قرار گرفته است:
$$d=r \cdot t$$

  1. ابتدا، \(80\) درجه را به رادیان تبدیل کنید.
    شما به نتیجۀ \(\frac{4\pi}{9}\) رادیان می رسید.

  2. این اعداد را در فرمول طول کمان جایگذاری کنید.
    با قرار دادن این واحد رادیان و شعاع جاده، \(\frac{1}{4}\) مایل، در فرمول، به طول این کمان می رسید:
    $$\frac{4\pi}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{9} \approx 0.349 \text{ mile}$$
    طول این کمان برابر با مسافتی است که ماشین اشاره شده در مدت زمان \(10\) ثانیه می پیماید.

  3. این نتیجه را در \(6\) ضرب کنید (زیرا \(10\) ثانیه برابر با \(\frac{1}{6}\) دقیقه می باشد) تا میزان مایل پیموده شده در یک دقیقه را بدست آورید.
    این محاسبه حاصل \(2.094\) مایل بر ثانیه را به شما می دهد.

  4. سپس، آن عدد را در \(60\) ضرب کنید تا میزان مایل پیموده شده در یک ساعت را بدست آورید.
    این محاسبه، نتیجۀ \(125.64\) مایل را می دهد. بنابراین، این خودرو در حدود \(126\) مایل بر ساعت سرعت دارد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.