مثلث ها در روش های بسیاری دسته بندی شده اند. یکی از روش های تمایز ایجاد کردن بین یک مثلث و سایر مثلث ها، اینست که از اندازه گیری زاویه استفاده کنیم. از آنجا که یک زاویۀ \(90\) درجه، زاویۀ قائمه نامیده می شود، شما از واژۀ یکسانی برای توصیف یک مثلث دارای یک زاویۀ قائمه، استفاده می کنید. این نوع از مثلث ها، مثلث قائم الزاویه (right triangle) نامیده می شوند.





اندازه های اضلاع مثلث های قائم الزاویه برای تعیین مقادیر توابع مثلثاتی، مورد استفاده قرار می گیرند. و آن توابع مثلثاتی (همراه با مثلث های قائم الزاویه)، وقتی که پایِ حل کردن مسأله هایی همچون "ارتفاع آن درخت چقدر است؟" در میان باشد، واقعاً مفید هستند. ویژگیهای خاص یک مثلث قائم الزاویه ـــ برخی آن را دستاورد فیثاغورث می دانند ـــ آنها را در مثلثات و سایر حوزه های ریاضی بسیار سودمند می سازد.

موشکافی کردن مثلث های قائم الزاویه

اگر به زوایای آنها بنگرید، مثلث ها می توانند قائمه (right)، حاده (acute)، یا منفرجه (obtuse) باشند. مثلث های قائم الزاویه برای قرن ها مورد علاقۀ فراوان بوده اند. آنها به عنوان مبنای کاربردهایی در ناوبری، اخترشناسی، نقشه برداری، و مهندسی نظامی بوده اند.

یک مثلث قائم الزاویه دارای یک زاویۀ قائمه می باشد. اما فقط می تواند یک زاویۀ قائمه داشته باشد، زیرا مجموع درجه های یک مثلث \(180\) درجه می باشد. اگر یک مثلث دارای دو زاویۀ قائمه باشد، آن گاه آن دو زاویۀ قائمه تمامی این \(180\) درجه را در بر می گیرند؛ هیچ درجه ای برای زاویۀ سوم باقی نمی ماند. بنابراین در یک مثلث قائم الزاویه، آن دو زاویۀ دیگر، \(90\) درجۀ باقیمانده را بین خود تقسیم می کنند.

مثلث های قائم الزاویه می توانند در انواع مختلف شکل ها ظاهر گردند، اما همگی آنها دارای گوشه ای می باشند که این زاویۀ قائمه در آنجا قرار دارد. در شکل 1-6 می بینید که در تمامی این مثلث ها، این زاویۀ قائمه دارای دو ضلع می باشد که بر یکدیگر عمود هستند. دو زاویۀ دیگر، زاویۀ حاده (acute) می باشند (بدین معنا که کمتر از \(90\) درجه اند).

آناتومیِ یک مثلث قائم الزاویه

مثلث های قائم الزاویه چهرۀ آشنایی دارند ـــ نه تنها در کلاسهای هندسه. نجارها ابزارهایی برای اندازه گیری دارند که مثلث قائم الزاویه می باشند. معمارهایی که طراحی را با دستشان انجام می دهند (و نه در کامپیوتر) با الگوهایی از مثلث قائم الزاویه ترسیم را صورت می دهند. با وجود اینکه در یک مثلث قائم الزاویه، تمرکز بر روی یک زاویۀ قائمه است، یک مثلث قائم الزاویه در واقع دارای شش بخش مختلف می باشد: سه زاویه و سه ضلع. البته، این واقعیت در مورد هر مثلثی صدق می کند، اما مثلث های قائم الزاویه دارای اسامی خاصی در این بخشها می باشند. داشتن اسامی خاص، ضروری می باشد، زیرا ویژگیها، قضایا، و کاربردهای بسیاری وجود دارند که از مثلث های قائم الزاویه استفاده می کنند، و این اسامی صحبت کردن در مورد آنها و توصیف این مثلث ها را شفافتر می سازد.


این مربع کوچک در رأس \(C\) نشان می دهد که دو ضلعی که در آنجا همدیگر را ملاقات می کنند در آن رأس بر یکدیگر عمود هستند ـــ اینجا محلی است که زاویۀ قائمه قرار دارد. ضلع \(c\) که در مقابل این زاویۀ قائمه قرار دارد، وتر (hypotenuse) نامیده می شود. آن دو ضلع دیگر، \(a\) و \(b\)، ساق ها (legs) نامیده می شوند. وتر همواره طولانی ترین ضلع می باشد، زیرا در مقابل بزرگترین زاویه قرار دارد.

در شکل 2-6 ، زاویۀ قرار گرفته در رأس \(C\) قائمه می باشد، و آن دو زاویۀ دیگر، \(A\) و \(B\)، زوایای حاده می باشند. اگر اندازۀ زوایای قرار گرفته در \(A\) و \(B\) یکسان باشند، آن گاه هر کدام از آنها \(45\) درجه خواهند بود، و این مثلث، متساوی الساقین (isosceles) خواهد بود. اگر این طور باشد، آن گاه طول اضلاع \(a\) و \(b\) نیز یکسان خواهند بود.