دایرۀ واحد سکویی برای توصیف تمامی زوایای ممکن از اندازۀ \(0\) تا \(360\) درجه، منفی شدۀ تمامی این زوایا، بعلاوۀ تمامی مضربهای این زوایای مثبت و منفی، از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت می باشد. به عبارت دیگر، دایرۀ واحد تمامی زوایای موجود را به شما نشان می دهد. از آنجا که یک مثلث قائم الزاویه تنها می تواند زوایای \(90\) درجه یا کمتر را نشان دهد، این دایره شما را قادر می سازد تا بازۀ بسیار وسیعتری در اختیار داشته باشید.

زوایای مثبت

زوایای مثبت بر روی دایرۀ واحد با ضلع اولیۀ قرار گرفته روی محور \(x\) و ضلع نهایی که در جهت پادساعت گرد از مبدأ حرکت می کند، اندازه گیری می شوند (برای اطلاعات بیشتر در مورد زوایای مثبت و منفی، فصل 4 را ببینید). شکل 4-8 چندین زاویۀ مثبت را که هم در واحد درجه و هم در واحد رادیان برچسب گذاری شده اند، نشان می دهد.


در شکل 4-8، توجه کنید که اضلاع نهاییِ (terminal sides) زوایایی که اندازۀ شان برابر با \(30\) درجه و \(210\) درجه، \(60\) درجه و \(240\) درجه، و به همین ترتیب، خطهای راست را تشکیل می دهند. این حقیقت انتظار می رفت زیرا این زوایا \(180\) درجه با هم فاصله دارند، و اندازۀ یک زاویۀ نیم صفحه (straight angle) برابر با \(180\) درجه می باشد. شما اهمیت این واقعیت را زمانی خواهید دید که با توابع مثلثاتی این زوایا در فصل 9 درگیر شوید.

زوایای منفی، مضرب های زوایا

درست زمانیکه فکر می کنید که زوایایی با اندازه هایی تا \(360\) درجه یا \(2\pi\) رادیان برای همه کافی هستند، با این واقعیت مواجه می شوید که بسیاری از زوایای پایه ای دارای مقادیر منفی و حتی شامل مضرب هایی از خودشان می باشند. اگر زوایا را به جای پادساعت گرد به صورت ساعت گرد اندازه گیری کنید، آنگاه آن زوایا مقادیر منفی خواهند داشت: یک زاویۀ \(30\) درجه با یک زاویۀ \(-330\) درجه یکسان می باشد، زیرا آنها دارای ضلع نهایی (ضلع دوم زاویه) یکسان می باشند. به همین ترتیب، یک زاویۀ دارای اندازۀ \(\frac{5\pi}{3}\) با یک زاویۀ \(-\frac{\pi}{3}\) یکسان است. برای اطلاع از قوانین چگونگی تبدیل واحد درجه به واحد رادیان، به فصل 1 مراجعه کنید.

اما صبر کنید ـــ شما برای نامگذاری یک زاویه روش هایی حتی بیش از این دارید. با انجام یک دوران کامل و اضافه کردن یا تفریق کردن \(360\) درجه یا مضربی از آن، قبل از اینکه ضلع نهایی آن زاویه را انتخاب کنید، شما می توانید برای همان زاویۀ اصلی، بی نهایت اندازه های زاویه، هم در جهت مثبت و هم در جهت منفی بیابید. به عنوان مثال یک زاویۀ \(60\) درجه دارای ضلع نهایی یکسانی با یک زاویۀ \(420\) درجه و \(-300\) درجه می باشد. شکل 5-8 چندین نام را برای همان زاویۀ \(60\) درجه هم در واحد درجه و هم در واحد رادیان نشان می دهد.


اگرچه این نامگذاری زوایا ممکن است در ابتدا بی معنا به نظر آید، اما موضوع خیلی بیشتر از اینست که به صورت دلخواهانه از منفی ها یا مضرب ها در زوایا، صرفاً برای مشکل کردن کار استفاده کنیم. زوایایی که به یکدیگر مرتبطند دارای توابع مثلثاتی هستند که اگر یکسان هم نباشند، آنها نیز به یکدیگر مرتبطند (در فصل 9 در این ارتباط اطلاعات بیشتری خواهید یافت).

یافتن و محاسبۀ زوایایِ مرجع

هر کدام از زوایا در یک دایرۀ واحد دارای یک زاویۀ مرجع (reference angle) می باشد، که همواره یک زاویۀ مثبت حاده است (به جز زوایایی که در حال حاضر مثبت و حاده هستند). با شناسایی زاویۀ مرجع، می توانید مقادیر توابع را برای آن زاویۀ مرجع و در نهایت برای زاویۀ اصلی تعیین کنید. معمولاً اینکه در ابتدا مسأله را برای زاویۀ مرجع حل کنیم بسیار ساده تر از اینست که سعی کنیم یک تابع مثلثاتی را برای زاویۀ اصلی تعیین کنیم. توابع مثلثاتی مقادیری دارند که بارها و بارها تکرار می شوند؛ گاهی اوقات آن مقادیر مثبت هستند، و گاهی اوقات منفی هستند. استفاده از یک زاویۀ مرجع کمک می کند تعداد مقادیر مختلف را در پایینترین حد ممکن نگهدارید. شما صرفاً بعد از تعیین یک مقدار عددی برای تابعی که از زاویۀ مرجع است، علامت مثبت یا منفی را اختصاص می دهید.

شما یک زاویۀ مرجع را با بررسی ضلع نهایی زاویه ای که مشغول کار بر روی آن هستید و ارتباط آن با محور \(x\) مثبت یا منفی تعیین می کنید (بسته به اینکه ضلع نهایی در کدام ربع قرار داشته باشد). توضیحات زیر به شما می گویند، هنگامیکه ضلع نهایی زاویه ای به شما داده شده است، چگونه زاویۀ مرجع آن را اندازه گیری کنید:

• ربع صفحۀ I (\(QI\)): زاویۀ مرجع با خود زاویۀ اصلی یکسان است.
  
• ربع صفحۀ II (\(QII\)): اندازۀ زاویۀ مرجع از ضلع نهایی رو به پایین تا محور \(x\) منفی می باشد.
  
• ربع صفحۀ III (\(QIII\)): اندازۀ زاویۀ مرجع از محور \(x\) منفی رو به پایین تا ضلع نهایی می باشد.
  
• ربع صفحۀ IV (\(QIV\)): اندازۀ زاویۀ مرجع از ضلع نهایی رو به بالا تا محور \(x\) مثبت می باشد.
  

شکل 6-8 موقعیت زاویۀ مرجع در چهار ربع صفحه را نشان می دهد.


مانند تمامی زوایای دیگر، شما زاویۀ مرجع را در واحد درجه یا رادیان اندازه گیری می کنید. من باید اقرار کنم که گاهی اوقات ترجیح می دهم تا در واحد درجه کار کنم و یک واحد رادیان را تبدیل می کنم تا این محاسبات را انجام دهم. هر روشی را که انتخاب کنید، خوب است ـــ یک چیز سلیقه ای می باشد.

محاسبۀ اندازۀ زوایۀ مرجع در واحد درجه

برای محاسبۀ اندازۀ زاویۀ مرجع (در واحد درجه) برای هر زاویۀ داده شدۀ \(\theta\)، از قوانین موجود در جدول 1-8 استفاده کنید.


با استفاده از جدول 1-8 اندازۀ زاویۀ مرجع برای \(200\) درجه را بیابید:

1. ربع صفحه ای را که ضلع نهایی در آن قرار گرفته است تعیین کنید.
   یک زاویۀ \(200\) درجه بین \(180\) و \(270\) می باشد، بنابراین ضلع نهایی در \(QIII\) (ربع صفحۀ سوم) قرار دارد.
   
   
2. عملیات هایی که برای آن ربع صفحه تعیین شده است، انجام دهید.
   \(180\) درجه را از این زاویۀ \(200\) درجه تفریق کنید. درخواهید یافت که \(200-180=20\)، بنابراین زاویۀ مرجع برابر با \(20\) درجه خواهد بود.
   

گاهی اوقات اندازۀ زوایا به درستی در بازه های نشان داده شده در جدول 1-8 نمی گنجند. به عنوان مثال، ممکن است بخواهید اندازۀ زاویۀ مرجع برای یک زاویۀ منفی یا مضربی از یک زاویه را بیابید.

جهت یافتن زاویۀ مرجع برای \(-340\) درجه:

1. ربع صفحه ای را که ضلع نهایی در آن قرار دارد، تعیین کنید.
   یک زاویۀ \(-340\) درجه برابر با یک زاویۀ \(20\) درجه می باشد. (شما با افزودن \(360\)، یا یک دوران کامل پیرامون مبدأ تا آن زاویۀ منفی، می توانید اندازۀ زاویۀ مثبت آن را بدست آورید.) ضلع نهایی یک زاویۀ \(20\) درجه در \(OI\) می باشد.
   
   
2. عملیات های تعیین شده برای آن ربع صفحه را انجام بدهید.
   زوایای قرار گرفته در اولین ربع صفحه، زاویۀ مرجع خودشان می باشند، بنابراین زاویۀ مرجع برابر با \(20\) درجه است.
   

یافتن اندازۀ زاویۀ مرجع در واحد رادیان

برای محاسبۀ اندازۀ زاویۀ مرجع (در واحد رادیان) برای هر زاویۀ داده شدۀ \(\theta\)، از قوانین جدول 2-8 استفاده کنید.


به عنوان مثال، برای یافتن زاویۀ مرجع زاویۀ \(\frac{15\pi}{16}\) :

1. ربع صفحه ای را که ضلع نهایی در آن قرار دارد، تعیین کنید.
   ضلع نهاییِ یک زاویه با انداۀ \(\frac{15\pi}{16}\) در \(QII\) قرار دارد، و از آنجا که می دانید \(\frac{15}{16}\) اندکی کمتر از \(1\) است، آن زاویه اندکی کمتر از \(\pi\) می شود.
   
   
2. عملیات های تعیین شده برای آن ربع صفحه را انجام دهید.
   \(\frac{15\pi}{16}\) را از \(\pi\) تفریق کنید. هنگامی که چنین کردید، به نتیجۀ زیر می رسید:
   $$\pi - \frac{15\pi}{16} = \frac{16\pi}{16} - \frac{15\pi}{16} = \frac{\pi}{16}$$
   بنابراین این زاویۀ مرجع برابر با \(\frac{\pi}{16}\) می باشد.