استفاده از مختصات دایره برای بدست آوردن توابع مثلثاتی

روش دیگری برای یافتن مقادیر توابع مثلثاتیِ زاویا اینست که از مختصات های نقاط قرار گرفته بر روی محیط یک دایره که مرکز آن در مبدأ مختصات قرار گرفته است، استفاده کنید. اجازه دهید محور $x$ مثبت، ضلع آغازین یک زاویه باشد، در اینصورت می توانید از مختصات های نقاطی که از تقاطع ضلع نهایی و دایره تشکیل می شود برای تعیین توابع مثلثاتی استفاده کنید. شکل 3-9 یک دایره با شعاع $r$ را نشان می دهد که دارای زاویه ای است که در موقعیت استاندارد ترسیم شده است.

معادلۀ یک دایره برابر با $x^2+y^2=r^2$ می باشد (برای یادآوری در این زمینه می توانید به فصل 2 مراجعه کنید). بر اساس این معادله و مختصات های نقطۀ $(x,y)$، که محل تقاطع ضلع نهایی این زاویه و این دایره می باشد، شش تابع مثلثاتی برای زاویۀ $\theta$ به شرح زیر تعریف می شوند:
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\sin \theta=\frac{y}{r} & \csc \theta = \frac{r}{y} \\ \hline
\cos \theta=\frac{x}{r} & \sec \theta = \frac{r}{x} \\ \hline
\tan \theta=\frac{y}{x} & \cot \theta = \frac{x}{y} \\ \hline
\end{array}
$$

اگر یک مثلث قائم الزاویه را تجسم کنید که با ترسیم یک پاره خط عمود از نقطۀ $(x,y)$ به محور $x$ شکل گرفته است، می توانید ببینید این تعاریف از کجا آمده اند. شکل 4-9 چنین مثلث قائم الزاویه ای را نشان می دهد. یادتان باشد که مقدار $x$ در سمت راست (یا چپ) مبدأ قرار دارد، و مقدار $y$ بالا (یا پایین) محور $x$ می باشد ـــ و از آن مقادیر به عنوان طول های اضلاع این مثلث استفاده کنید. از این رو، ضلع روبرویِ زاویۀ $\theta$ برابر با $y$، مقدار مختصات $y$، می باشد. ضلع مجاور برابر با $x$، مقدار مختصات $x$، می باشد.

توجه داشته باشید که برای زوایایی که به عنوان مثال در ربع صفحۀ دوم قرار دارند، مقادیر $x$ منفی می باشند، و مقادیر $y$ مثبت می باشند. با این حال، شعاع همیشه عددی مثبت است. با مقادیر منفی $x$ و مقادیر مثبت $y$، استفاده از تعاریف توابعی که پیشتر در همین بخش لیست شدند، شما خواهید دید که سینوس و کسکانت مثبت خواهند بود، اما تمامی توابع دیگر منفی هستند، زیرا همگی دارای یک $x$ در نسبتهایشان می باشند. هنگامی که از این دستگاه مختصات استفاده می کنید، علامت های توابعی مثلثاتی همگی قوانین مربوطه را رعایت می کنند، بنابراین نیازی نیست تا در بیادآوری قاعدۀ ASTC، که پیشتر در همین فصل مطرح کردیم، نگران باشید.

محاسبه با مختصات های قرار گرفته روی محیط دایرۀ واحد

محاسبۀ توابع مثلثاتیِ زوایایی که درون یک دایرۀ واحد قرار دارند به سادگی آب خوردن است. شکل 5-9 یک دایرۀ واحد را همراه با چندین نقطه و مختصاتشان بر روی محیط آن نشان می دهد، که دارای معادلۀ $x^2+y^2=1$ است.

با استفاده از زوایای شکل 5-9 تانژانت $\theta$ را بیابید.

مختصات های $x$ و $y$ نقطه ای که ضلع نهایی این زاویه با دایره تقاطع دارد را بیابید.
این مختصات ها عبارت از $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $y=\frac{1}{2}$ می باشند. شعاع $r=1$ است.
نسبت این تابع را بیابید و این مقادیر را در آن جایگذاری کنید.
نسبت تانژانت برابر با $\frac{y}{x}$ است، بنابراین به نتیجۀ زیر می رسید:
$$
\require{cancel}
\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}= \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
$$

در ادامه، با استفاده از زوایای موجود در شکل 5-9، کسینوس $\sigma$ را بیابید.

مختصات های $x$ و $y$ نقطه ای که ضلع نهایی این زاویه با دایره تقاطع دارد را بیابید.
این مختصات ها عبارت از $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ می باشند؛ شعاع $r=1$ است.
نسبت این تابع را بیابید و این مقادیر را در آن جایگذاری کنید.
نسبت کسینوس برابر با $\frac{x}{r}$ است، این بدین معناست که شما فقط به مختصات $x$ نیاز دارید، بنابراین:
$$\frac{x}{r} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

اکنون، با استفاده از زوایای موجود در شکل 5-9، کسکانت $\beta$ را بیابید.

مختصات های $x$ و $y$ نقطه ای که ضلع نهایی این زاویه با دایره تقاطع دارد را بیابید.
این مختصات ها عبارت از $x=0$ و $y=-1$ می باشند؛ شعاع $r=1$ است.
نسبت این تابع را بیابید و این مقادیر را در آن جایگذاری کنید.
نسبت کسکانت برابر با $\frac{r}{y}$ است، که بدین معناست که شما فقط به مختصات $y$ نیاز دارید، بنابراین:
$$\frac{r}{y}=\frac{1}{-1}=-1$$

محاسبه با مختصات های قرار گرفته روی محیط هر دایره ای در مبدأ مختصات

هنگام تعیین مقادیر توابع برای زوایایی که در موقعیت استاندارد بر روی محیط یک دایره ترسیم شده اند، نیازی ندارید تا الزاماً از یک دایرۀ واحد برای این کار استفاده کنید. مادامیکه مرکز دایره در مبدأ مختصات باشد، می توانید از دایره ای با هر شعاع دلخواه استفاده کنید. معادلۀ استاندارد دایره ای که مرکز آن در مبدأ مختصات قرار دارد برابر با $x^2+y^2=r^2$ می باشد.

با استفاده از زوایای موجود در شکل 6-9، سینوس $\alpha$ را بیابید.

مختصات های $x$ و $y$ نقطه ای که ضلع نهایی این زاویه با دایره تقاطع دارد را بیابید.
این مختصات ها عبارت از $x=-5$ و $y=12$ می باشند.
شعاع این دایره را تعیین کنید.
معادلۀ این دایره برابر با $x^2+y^2=r^2$ می باشد. $x$ و $y$ در این معادله را به ترتیب با $-5$ و $12$ جایگزین کنید، به نتایج زیر خواهید رسید:
$$(-5)^2+(12)^2 = 25+144=169=r^2 \\
r=\sqrt{169}=13$$
بنابراین شعاع این دایره برابر با $13$ می باشد.
نسبت این تابع را بیابید و این مقادیر را در آن جایگذاری کنید.
نسبت سینوس برابر با $\frac{y}{r}$ است، که بدین معناست که شما تنها به مختصات $y$ و شعاع نیاز دارید، بنابراین:
$$\frac{y}{r}=\frac{12}{13}$$

در ادامه، با استفاده از زاویه های موجود در شکل 6-9، کتانژانت $\beta$ را بیابید.

مختصات های $x$ و $y$ نقطه ای که ضلع نهایی این زاویه با دایره تقاطع دارد را بیابید.
این مختصات ها عبارت از $x=-12$ و $y=-5$ می باشند.
تابع کتانژانت تنها از مختصات های $x$ و $y$ استفاده می کند، بنابراین شما نیازی ندارید تا شعاع را بدست آورید.
نسبت این تابع را بیابید و این مقادیر را در آن جایگذاری کنید.
نسبت کتانژانت برابر با $\frac{x}{y}$ می باشد، بنابراین:
$$\frac{x}{y}=\frac{-12}{-5}=\frac{12}{5}$$

اکنون با استفاده از زاویه های شکل 6-9، سکانت $\gamma$ را بیابید.

مختصات های $x$ و $y$ نقطه ای که ضلع نهایی این زاویه با دایره تقاطع دارد را بیابید.
این مختصات ها عبارت از $x=0$ و $y=-13$ می باشند.
شعاع این دایره را تعیین کنید.
بنابر مثال اول از این بخش، شعاع برابر با $13$ است.
نسبت این تابع را بیابید و این مقادیر را در آن جایگذاری کنید.
نسبت برای سکانت برابر با $\frac{r}{x}$ می باشد، بنابراین شما تنها به مختصات $x$ نیاز دارید؛ با جایگذاری آن به $\frac{r}{x}=\frac{13}{0}$ می رسید. این پاسخ تعریف نشده (undefined) می باشد، یعنی زاویۀ $\gamma$ سکانت ندارد.