خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
اندازه گیری شیب
آیا تاکنون متوجه یک کارگر در امتداد یک جاده شده اید، که به داخل یک ابزار خیره شده است، و به همکارش که یک علامت یا پرچم را نگهداشته است می نگرد؟ آیا تاکنون اندیشیده اید که آنها چکار می کنند؟ آیا شما هم می خواهید تا بروید و از داخل آن ابزار نگاه کنید؟ با مثلثات، چیزی را که آن کارگرها انجام می دهند، دقیقاً انجام می دهید ـــ فاصله ها و زوایا را اندازه گیری می کنید. نقشه برداران زمین از مثلثات و ابزارهای فانتزیِ آن برای اندازه گیری چیزهایی شیب یک قطعه زمین (اینکه در یک مسافت خاص چقدر سقوط می کند) استفاده می کنند.
اگر اولین بخش در این فصل را خوانده باشید، باید تشخیص دهید که شیب زمین رو به پایین، چیزی شبیه یک زاویۀ شیب (angle of depression) می باشد. شیب ها، زوایای شیب، و زوایای فراز، همگی به یکدیگر مرتبط هستند زیرا از توابع مثلثاتی یکسانی استفاده می کنند. فقط در کاربردهای شیب، قضیه اینگونه است که شما زاویه را بدست می آورید و نه طول یا مسافت چیزی را.
برای حل کردن یکی از این مسأله های نقشه کشی که شامل شیب باشد، شما می توانید از نسبت های مثلثاتی و مثلثهای قائم الزاویه استفاده کنید. یک ضلع این مثلث مسافت بین یک کارگر تا کارگر دیگر می باشد؛ ضلع دیگر این مثلث فاصلۀ عمودی از زمین تا نقطه ای بر روی یک دیرک می باشد. شما با این اندازه ها یک نسبت می سازید و زاویه را تعیین می کنید.
فرض کنید الیوت (Elliott) و فِرِد (Fred) در حال اندازه گیری برای خدمۀ آسفالت کنندۀ جاده می باشند. آنها می خواهند بدانند شیب رو به پایین زمین در امتداد ناحیه ای خاص از جاده چقدر است، تا مطمئن شوند در آنجا زهکشی مناسبی انجام شود. الیوت \(80\) فوت از فرد فاصله گرفت و یک دیرک بلند را به صورت عمود بر زمین در دستانش نگهداشت، که هر اینچ بر روی آن نشانه گذاری شده بود. فرد به واسطۀ یک ابزار رویت به آن دیرک نگاه کرد. با نگاه کردن صاف از وسط ابزار، و موازی با خط افق، فِرِد یک نقطه بر روی درجۀ \(50\) اینچ دیرک را دید ـــ آن را نقطۀ \(A\) بنامید. سپس، فِرِد به واسطۀ آن ابزار رویت، به پایین دیرک نگاه کرد، تا یک زاویۀ شیب ایجاد کند. شکل 6-10 را به عنوان نموداری از این وضعیت ببینید. زاویۀ شیب، یا شیب جاده تا محلی که الیوت ایستاده است، چقدر است؟
روش دیگر برای یافتن اندازۀ این زاویه اینست که از یک ماشین حساب علمی و تابع تانژانت معکوس (inverse tangent) می باشد. در فصل \(15\) در مورد توابع معکوس توضیح خواهم داد، اما شما می توانید یک قدم رو به جلو حرکت کنید و از مزیت فن آوری بهره مند شوید. ماشین حساب من می گوید که زاویه ای که تانژانت آن برابر با \(0.05208333\) است، یک زاویۀ \(2.98146\) درجه می باشد. بنابراین، برآورد سه درجه از روی جدول، دقیقاً درست است.
اگر اولین بخش در این فصل را خوانده باشید، باید تشخیص دهید که شیب زمین رو به پایین، چیزی شبیه یک زاویۀ شیب (angle of depression) می باشد. شیب ها، زوایای شیب، و زوایای فراز، همگی به یکدیگر مرتبط هستند زیرا از توابع مثلثاتی یکسانی استفاده می کنند. فقط در کاربردهای شیب، قضیه اینگونه است که شما زاویه را بدست می آورید و نه طول یا مسافت چیزی را.
برای حل کردن یکی از این مسأله های نقشه کشی که شامل شیب باشد، شما می توانید از نسبت های مثلثاتی و مثلثهای قائم الزاویه استفاده کنید. یک ضلع این مثلث مسافت بین یک کارگر تا کارگر دیگر می باشد؛ ضلع دیگر این مثلث فاصلۀ عمودی از زمین تا نقطه ای بر روی یک دیرک می باشد. شما با این اندازه ها یک نسبت می سازید و زاویه را تعیین می کنید.
فرض کنید الیوت (Elliott) و فِرِد (Fred) در حال اندازه گیری برای خدمۀ آسفالت کنندۀ جاده می باشند. آنها می خواهند بدانند شیب رو به پایین زمین در امتداد ناحیه ای خاص از جاده چقدر است، تا مطمئن شوند در آنجا زهکشی مناسبی انجام شود. الیوت \(80\) فوت از فرد فاصله گرفت و یک دیرک بلند را به صورت عمود بر زمین در دستانش نگهداشت، که هر اینچ بر روی آن نشانه گذاری شده بود. فرد به واسطۀ یک ابزار رویت به آن دیرک نگاه کرد. با نگاه کردن صاف از وسط ابزار، و موازی با خط افق، فِرِد یک نقطه بر روی درجۀ \(50\) اینچ دیرک را دید ـــ آن را نقطۀ \(A\) بنامید. سپس، فِرِد به واسطۀ آن ابزار رویت، به پایین دیرک نگاه کرد، تا یک زاویۀ شیب ایجاد کند. شکل 6-10 را به عنوان نموداری از این وضعیت ببینید. زاویۀ شیب، یا شیب جاده تا محلی که الیوت ایستاده است، چقدر است؟
-
بخش هایی از این مثلث قائم الزاویه را که می توانید برای حل این مسأله مورد استفاده قرار دهید، شناسایی کنید.
مقادیری که می دانید عبارت از اضلاع مجاور و روبروی این زاویۀ شیب می باشند. اندازۀ این زاویه را \(x\) بنامید.
-
تعیین کنید که از کدام تابع مثلثاتی باید استفاده کنید.
تانژانت این زاویه با اندازۀ \(x\)، از ضلع روبرو (opposite) تقسیم بر ضلع مجاور (adjacent) استفاده می کند.
-
معادله ای با این تابع مثلثاتی بنویسید؛ سپس مقادیر معلوم را در آن جایگذاری کنید.
$$\tan x = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$
در این مسأله، شما نیاز دارید تا معادله را با یک واحد اندازه گیری مشترک بنویسید ـــ یا به فوت و یا به اینچ. تبدیل \(80\) فوت به اینچ یک عدد بزرگ را ایجاد می کند؛ تبدیل کردن \(50\) اینچ به فوت شامل یک کسر یا عدد اعشاری می باشد. هر واحدی را که انتخاب کنید، تصمیم با خودتان است. در این مثال، من عدد بزرگتر را انتخاب می کنم، بنابراین فوت را به اینچ تبدیل می کنم.
$$80 \text{ feet} = 80 \cdot 12 \text{ inches} = 960 \text{ inches}$$
با جایگذاری این مقادیر، به تانژانت یک زاویه خاص با اندازۀ \(x\) درجه می رسید:
$$\tan x = \frac{\text{opp}}{\text{adj}} = \frac{50}{960} = 0.05208333$$
-
این معادله را برای بدست آوردن مقدار \(x\) حل کنید.
در ضمیمۀ این کتاب می توانید ببینید که یک زاویه با اندازۀ \(2.9\) درجه دارای تانژانت \(0.0507\)، و یک زاویۀ \(3\) درجه، دارای تانژانت \(0.0524\) می باشد. این زاویۀ \(3\) درجه دارای تانژانتی نزدیکتر به \(0.05208333\) است، بنابراین می توانید برآورد کنید که شیب جادۀ قرار گرفته بین الیوت و فِرِد برابر با \(3\) درجه می باشد.
روش دیگر برای یافتن اندازۀ این زاویه اینست که از یک ماشین حساب علمی و تابع تانژانت معکوس (inverse tangent) می باشد. در فصل \(15\) در مورد توابع معکوس توضیح خواهم داد، اما شما می توانید یک قدم رو به جلو حرکت کنید و از مزیت فن آوری بهره مند شوید. ماشین حساب من می گوید که زاویه ای که تانژانت آن برابر با \(0.05208333\) است، یک زاویۀ \(2.98146\) درجه می باشد. بنابراین، برآورد سه درجه از روی جدول، دقیقاً درست است.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: