اتحادهای زاویۀ مضاعف

اتحادهای مربوط به زوایایی که دوبرابرِ یکی از زوایایِ رایج می باشند، در حسابان و شاخه های مختلف ریاضی، فیزیک، و رشته های علمی، به وفور مورد استفاده قرار می گیرند. این اتحادها شما را قادر می سازند تا با یک زاویۀ بزرگتر به لحاظ یک زاویۀ کوچکتر و قابل مدیریت تر برخورد کنید. به عنوان مثال، یک تابع زاویۀ مضاعف (double-angle function) به شکل $\sin 2 \theta$، $\cos 2 \alpha$، یا $\tan 2x$ نوشته می شود، که در آنها $2 \theta$، $2 \alpha$، و $2x$ اندازۀ زوایا می باشند و فرض بر اینست که منظور شما $\sin (2 \theta)$، $\cos (2 \alpha)$، یا $\tan (2x)$ می باشد. در این بخش، به شما نشان می دهم که چگونه فرمولهای زاویه مضاعف برای سینوس و کسینوس بدست می آیند. در اینجا نمی خواهم وارد موضوع تانژانت شوم، اما تمام چیزی که نیاز است بدانید، اینست که از آنجایی که تانژانت برابر با نسبتی بین سینوس و کسینوس می باشد، اتحاد آن از اتحادهای زاویۀ مضاعف بدست می آید.

اتحادهای زاویۀ مضاعف (double-angle identities) تابع مربوط به دو برابر زاویۀ $\theta$ را می یابند. توجه داشته باشید که تابع کسینوس دارای سه نسخۀ متفاوت برای اتحاد زاویۀ مضاعف مربوط به آن می باشد.
$$
\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
= 2 \cos^2 \theta -1 \\
= 1 - 2 \sin^2 \theta \\
\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
$$

فرمول زاویۀ مضاعف برای سینوس

برای اینکه به شما نشان دهم فرمول زاویۀ مضاعف از کجا آمده است، با اتحاد سینوس جمع آغاز می کنم، $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ . اگر $\alpha = \beta$، آن گاه $\alpha + \beta$ به $\alpha + \alpha$ یا $2(\alpha)$ تبدیل می شود.

من می توانم این $\beta$ را با $\alpha$ جایگزین کنم، تا به نتیجۀ زیر برسم:
$$
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\
\sin (2\alpha)=2 \sin \alpha \cos \alpha
$$
به عنوان مثال، شما می توانید از این اتحاد زاویۀ مضاعف برای یافتن مقدار تابع برای سینوس $180$ درجه، استفاده کنید.

تعیین کنید، دوبرابر چه زاویه ای برابر با $180$ درجه می شود.
دوبرابرِ $90$ برابر با $180$ می باشد، بنابراین انتخاب شما $90$ درجه است.
این اندازه را در اتحاد سینوس زاویۀ مضاعف جایگذاری کنید. $$\sin 180^{\circ} = \sin 2 \cdot 180^{\circ} = 2 \sin 90^{\circ} \cos 90^{\circ}$$
این زوایا را با مقادیر توابع جایگزین کنید و پاسخ را ساده سازی نمایید. $$\sin 180^{\circ} = 2(1)(0)=0$$

اما اندازۀ آن زاویه به سادگی پیدا می شد، زیرا ضلع نهایی آن زاویه بر روی یک محور قرار دارد. در مورد چیزی اندکی چالش انگیزتر چطورید. این بار، از فرمول زاویۀ مضاعف برای یافتن سینوس $150$ درجه استفاده کنید.

تعیین کنید که دوبرابر چه زاویه ای برابر با $150$ درجه می شود.
دوبرابرِ $75$ برابر با $150$ می باشد، بنابراین انتخاب شما $75$ درجه می باشد. یک زاویۀ $75$ درجه از زوایای اصلی و رایج نمی باشد، اما شما می توانید مقدار سینوس $75$ درجه را با اتحادهای مثلثاتی جمع زوایا که پیشتر گفتیم، بدست آورید.
این اندازه را در اتحاد زاویۀ مضاعف برای سینوس، جایگذاری کنید. $$\sin 150^{\circ} = \sin 2 \cdot 75^{\circ} = 2 \sin 75^{\circ} \cos 75^{\circ}$$
این زوایا را با مقادیر توابع جایگزین کنید و پاسخ را ساده سازی نمایید.
شما مقدار $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ را در اختیار دارید و همچنین به کسینوس این زاویه نیاز دارید. یک اتحاد فیثاغورثی می تواند به شما کمک کند.
$$
\sin^2 75^{\circ} + \cos^2 75^{\circ} = 1 \\
\biggl( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \biggr)^2 + \cos^2 75^{\circ} = 1 \\
\cos^2 75^{\circ} = 1 - \frac{8+2\sqrt{12}}{16} \\
= 1 - \frac{8+4\sqrt{3}}{16} \\
= \frac{4}{4} - \frac{2+\sqrt{3}}{4} \\
= \frac{2-\sqrt{3}}{4} \\
\cos 75^{\circ} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}
$$

اوه! اکنون می توانید ببینید که چرا بهتر است تا گزینه های دیگری را در شکل اشکال مختلف اتحادهای مثلثاتی در اختیار داشته باشید.

بنابراین اکنون دارید:
$$
\require{cancel}
\sin 150^{\circ} = 2 \sin 75^{\circ} \cos 75^{\circ} \\
=\cancel{2} \biggl( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \biggr) \biggl( \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\cancel{2}} \biggr) \\
= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{6}) \sqrt{2-\sqrt{3}}}{4}
$$
این عبارت می تواند با ضرب کردن صورت و مخرج آن در مزدوج صورت کسر، ساده تر گردد.
$$
=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}\sqrt{2-\sqrt{3}}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}} \\
=\frac{(2-6)\sqrt{2-\sqrt{3}}}{4(\sqrt{2}-\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}
$$
هنوز هم جلوۀ خوبی ندارد، اما اگر از ماشین حسابتان برای محاسبۀ مقدار این کسر استفاده کنید، دقیقاً مقدار $\frac{1}{2}$ را بدست خواهید آورد. این بهینه ترین روش برای یافتن سینوس $150$ درجه نمی باشد، اما در اینجا مثالی از به کار بردن فرمول زاویۀ مضاعف برای بدست آوردن مقدار یک تابع مثلثاتی را مشاهده کردید.

فرمول زاویۀ مضاعف برای کسینوس

یافتن کسینوس دوبرابرِ یک زاویه از یافتن سایر مقادیر توابع آسانتر است، زیرا کسینوس سه انتخاب را در اختیار شما می گذارد. شما انتخابتان را بر اساس اینکه چه اطلاعاتی موجود است و کدام ساده تر به نظر می رسد، صورت می دهید. برای نشان دادن اینکه اولین اتحاد زاویۀ مضاعف برای کسینوس از کجا آمده است، من از اتحاد جمع زاویه برای کسینوس استفاده می کنم. از آنجا که این دو زاویه یکسان هستند، شما می توانید $\beta$ را با $\alpha$ جایگزین کنید، بنابراین $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $ به اتحاد زیر تبدیل می شود:
$$
\cos(\alpha + \alpha)=\cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \\
\cos (2\alpha)= (\cos \alpha)^2 - (\sin \alpha)^2 \\
= \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha
$$

برای بدست آوردن دومین نسخه، از اتحاد فیثاغورثی اول، $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ ، استفاده کنید. با حل کردن این اتحاد برای بدست آوردن $\sin^2 \alpha$ ، به نتیجۀ $\sin^2 \alpha = 1- \cos^2 \alpha$ می رسید. با جایگذاری این نتیجه در اتحاد زاویۀ مضاعف برای کسینوس و ساده سازی آن، به نتیجۀ زیر می رسید:
$$
\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \biggl( 1- \cos^2 \alpha \biggr) \\
= \cos^2 \alpha - 1 + \cos^2 \alpha \\
= 2 \cos^2 \alpha - 1
$$
برای یافتن آخرین نسخۀ اتحاد زاویۀ مضاعف برای کسینوس، اولین اتحاد فیثاغورثی را برای $\cos^2 \alpha$ حل کنید، که نتیجۀ $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ را می دهد. سپس این نتیجه را در اولین اتحاد مجموع زاویه برای کسینوس جایگذاری کنید:
$$
\cos (2 \alpha) = (1-\sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \\
=1-\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\
=1-2 \sin^2 \alpha
$$
بزرگترین مزیت داشتن سه اتحاد مختلف برای کسینوس یک زاویۀ مضاعف اینست که می توانید مقدار کسینوس را تنها با مقدار یک تابع دیگر بدست آورید. از سوی دیگر، اتحادهای مجموع و تفاضل برای سینوس و کسینوس، همچنین اتحاد زاویۀ مضاعف برای سینوس، همگی شامل هم سینوس و هم کسینوس زوایا می باشند.

در اینجا مثالی داریم که این برتری را به شما نشان می دهد. $\cos 2 \alpha$ را بیابید؛ زاویۀ $\alpha$ در ربع صفحۀ چهارم قرار دارد، و $\sin \alpha = -0.45$ می باشد.

اتحاد زاویۀ مضاعفِ مناسب را انتخاب کنید.
از آنجا که شما مقدار سینوس را می دانید، از $\cos 2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$ استفاده کنید.
مقدار داده شده را در این فرمول قرار دهید و ساده سازی کنید. $$
\cos 2 \alpha = 1 -2 (\sin \alpha)^2 = 1 - 2(-0.45)^2 \\
= 1-2(0.2025) = 1 - 0.4050 = 0.5950
$$

کسینوس بدست آمده مثبت می باشد. کسینوس در اولین و چهارمین ربع صفحه مثبت می باشد، بنابراین از کجا می دانید که ضلع نهایی این زاویۀ مضاعف در کدامیک از آن ربع صفحه ها قرار دارد؟ به اول مسأله بازگردید ـــ شما می دانید که زاویۀ اصلی در ربع صفحۀ چهارم قرار دارد. زاویه ای که در $QIV$ قرار داشته باشد، دارای اندازه ای بین $270$ تا $360$ درجه می باشد. اگر این زاویه را دوبرابر کنید، به مقداری بین $540$ تا $720$ درجه می رسید. زوایای بین این مقادیر در ربع صفحۀ سوم و چهارم قرار می گیرند. کسینوس در ربع صفحۀ چهارم مثبت است، پس این زاویۀ مضاعف در ربع صفحۀ چهارم قرار دارد.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی