خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اتحادهای نصفِ زاویه

اتحادهای نصفِ زاویه
نویسنده : امیر انصاری
اتحادهای مثلثاتی به شکل مجموع (sums)، تفاضل ها (differences)، مضرب ها (multiples)، و تنصیف ها (halves) ظاهر می شوند. با این اتحادها، شما می توانید سینوس یک زاویۀ \(15\) درجه را با استفاده از فرمولی که شامل نصف \(30\) درجه می باشد، بدست آورید. همچنین می توانید تانژانت \(22\frac{1}{2}\) درجه را با استفاده از نصف \(45\) درجه بدست آورید. این اتحادها صرفاً روش های بیشتر و بیشتری برای فراهم کردن یک مقدار دقیق برای بیشتر زوایای رایج در مثلثات ایجاد می کنند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



اتحادهای نصف زاویه (half-angle identities) مقدار تابع را برای نصف اندازۀ زاویۀ \(\theta\) می یابند:
$$
\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \\
\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}} \\
\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}
$$
توجه داشته باشید که تانژانت در فرمول نصفِ زاویۀ آن دارای دو نسخه می باشد. چه عالی! درست مانند سه نسخۀ کسینوس در اتحاد زاویۀ مضاعف، شما می توانید در هر مورد نسخۀ راحتتر و مناسبتر را انتخاب کنید.

اتحادهای نصف زاویه نتیجۀ گرفتنِ اتحادهای زاویۀ مضاعف و فشردن آنها می باشد. یک عبارت فنی تر به جای واژۀ فشردن اینست که یک اتحاد زاویۀ مضاعف را برای بدست آوردن یک زاویۀ واحد حل کنید. در اینجا چگونگی بوجود آمدن اتحاد نصفِ زاویه برای سینوس را می بینید:

  1. اتحاد زاویۀ مضاعفِ کسینوس را که فقط یک سینوس در آن وجود دارد، بنویسید. $$\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$$
    استفاده از اتحاد زاویۀ مضاعف کسینوس بهتر از اتحاد زاویۀ مضاعف سینوس جواب می دهد، زیرا فرمول سینوس هر دو تابع را در سمت راست معادله اش دارد، و شما به سادگی نمی توانید از شر یکی از آنها خلاص شوید.

  2. آن را برای بدست آوردن \(\sin \theta\) حل کنید. ابتدا جملۀ \(\sin^2 \theta\) را در سمت چپ منزوی کنید. $$
    \cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \\
    2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2 \theta
    $$
  3. هر سمت را بر \(2\) تقسیم کنید، و سپس جذر هر سمت را بدست آورید. $$
    \sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2 \theta}{2} \\
    \sqrt{\sin^2 \theta} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{2}} \\
    \sin \theta = \pm \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{2}}
    $$
  4. \(2 \theta\) را با \(\alpha\) و \(\theta\) را با \(\frac{\alpha}{2}\) جایگزین کنید. $$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$$
    با تعویض حروف الفبا، شما ساده تر می توانید ارتباط بین این دو زاویه را ببینید، که یکی نصفِ دیگری می باشد.

شما می توانید فرمول نصف زاویۀ کسینوس را با انتخاب گزینۀ مناسب از کسینوس زاویۀ مضاعف و دنبال کردن مراحلی شبیه به مورد پیشین، پیدا کنید. در تانژانت، شما هم از اتحادهای سینوس و هم از اتحادهای کسینوس استفاده می کنید. اما قبل از هر چیز به این علامت های \(+\) و \(-\) در اتحادهای سینوس و کسینوس نصف زاویه می پردازیم.

توضیح دادن \(\pm\)


اتحادهای مثلثاتی بیشمارند. بسیاری از مردم می گویند اتحادهای بسیار زیادی وجود دارند، و برخی می گویند اتحادها کافی نیستند. من پرکاربردترین اتحادها را در این فصل و فصل 11 لیست کرده ام. شما ممکن است با خودتان بیندیشید، چرا برخی از این اتحادهای نصف زاویه در مقابلشان علامت \(\pm\) را دارند؛ سایر اتحادها این سرآغاز را ندارند. برای رسیدن به پاسخ این پرسش به خواندن ادامه دهید.

چیزی که در مورد اتحادهای نصف زاویه برای سینوس و کسینوس، منحصر به فرد می باشد این حقیقت است که علامت آنها بستگی به ربع صفحه ای که آن زاویه ای که نصف کرده اید در آن قرار می گیرد دارد، یا به عبارتی به بزرگی آن زاویه بستگی دارد. اگر می خواهید سینوس نصف زاویۀ \(30\) درجه را بدانید، بررسی می کنید که آن نصف زاویه در کدام ربع صفحه قرار دارد. هم زاویۀ \(30\) درجه و هم نصف آن یعنی \(15\) درجه، در ربع صفحۀ اول قرار دارند، بنابراین سینوس هر دوی آنها مثبت می باشد. با این حال در مورد زاویۀ \(300\) درجه و نصف آن یعنی \(150\) درجه ماجرا اینطور نیست. سینوس در ربع صفحۀ چهارم، که \(300\) درجه در آن قرار می گیرد، منفی می باشد، اما سینوس \(150\) درجه مثبت است، زیرا ضلع نهایی آن در ربع صفحۀ دوم می باشد. هنگامی که فرمول نصف زاویه را به کار می برید، باید در نظر بگیرید که هر زاویه در کدام ربع صفحه قرار می گیرد و علامتهای مناسب با آن ربع صفحه را بر روی آنها اعمال کنید.

اتحاد نصف زاویه برای تانژانت


اتحاد نصف زاویه برای تانژانت دارای دو نسخه می باشد. داشتن بیش از یک گزینه، صرفنظر از اینکه می تواند آزار دهنده باشد، واقعاً خوب نیز است، زیرا می توانید نسخه ای را که نسبت به وضعیت مسالۀ شما بهتر است انتخاب کنید. فرمول های نصف زاویه برای تانژانت، شامل هم سینوس و هم کسینوس می باشند، اما این توابع مکان هایشان را در صورت و مخرج این کسر، تعویض می کنند. گاهی اوقات سینوس یک تابع دارای یک رادیکال در مقدار دقیقش نمی باشد و در عین حال کسینوس آن تابع دارای رادیکال در مقدار دقیقش می باشد (یا برعکس این حالت). بسته به مقادیر سینوس و کسینوس، شما نسخه ای از اتحاد تانژانت نصف زاویه را انتخاب می کنید که بعد از جایگذاری مقادیر در آن کار با آن ساده تر باشد. هنگامی که در مورد رادیکال های موجود در مخرج کسر نگرانی نداشته باشید، عملیات ریاضی ساده تر است.

قبل از هر چیز، ببینیم این اتحادهای تانژانت نصف زاویه از کجا آمده اند؟

  1. از اتحاد نسبت برای تانژانت استفاده کنید و اتحادهای نصف زاویه برای سینوس و کسینوس را در آن جایگذاری کنید. $$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}}{\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}}$$
    شما می توانید علامت \(\pm\) را رها کنید، زیرا نمی خواهید انتخاب کنید که کدام علامت را با اتحاد تانژانت بکار ببرید.

  2. صورت و مخرج کسر را زیر رادیکال یکسانی قرار دهید و سپس این کسر مرکب (complex fraction) را ساده سازی کنید. $$=\frac{\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}}{\sqrt{\frac{1+ \cos \theta}{2}}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}\cdot \frac{2}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}$$
  3. صورت و مخرج را در مزدوجِ (conjugate) مخرج ضرب کنید. $$=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \cdot \frac{1-\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \sqrt{\frac{(1-\cos \theta)^2}{1+\cos^2 \theta}}$$
  4. مخرج را با استفاده از اتحاد فیثاغورثی جایگزین کنید و سپس با قرار دادن رادیکال بر بالای صورت و مخرج به صورت جداگانه، ساده سازی کنید. $$
    \sqrt{\frac{(1-\cos \theta)^2}{1-\cos^2 \theta}} = \sqrt{\frac{(1-\cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}} \\
    =\frac{\sqrt{(1-\cos \theta)^2}}{\sqrt{\sin^2 \theta}} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}
    $$
برای یافتن شکل دیگرِ این اتحاد تانژانت نصف زاویه، مرحلۀ 3 را با ضرب صورت و مخرج کسر در مزدوجِ صورت کسر به جای مزدوج مخرج کسر، تغییر بدهید.

استفاده از اتحادهای نصف زاویه


با جمع کردن، تفریق کردن، یا دوبرابر کردن اندازۀ زوایا، شما می توانید مقادیر دقیق بسیاری از توابع مثلثاتی را بیابید. این بخش چندین مثال از انواع زوایا و توابع آنها که شما می توانید با اتحادهای نصف زاویه به آنها برسید را برای شما تدارک دیده است.

اگرچه شما می توانید از یک اتحاد تفاضل برای یافتن سینوس \(15\) درجه استفاده کنید، همچنین می توانید از اتحاد نصف زاویه نیز بدین منظور استفاده نمایید.

  1. تعیین کنید که کدام زاویه دوبرابر زاویه ای که مشغول کار بر روی آن هستید، می باشد.
    نصف \(30\) برابر با \(15\) است، پس انتخاب شما \(30\) درجه می باشد. به رایج ترین زوایا بچسبید ـــ آنهایی که دارای مقادیری دقیق می باشند (فصل 7 را ببینید) یا مضرب هایی از \(30\) و \(45\) می باشند.

  2. آن زاویه را در اتحاد سینوس نصف زاویه جایگذاری کنید. $$
    \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \\
    \sin 15^{\circ} = \sin \frac{30}{2} = +\sqrt{\frac{1-\cos 30}{2}}
    $$
    از آنجا که سینوس \(15\) درجه مقداری مثبت است، علامت مقابل رادیکال به \(+\) تبدیل خواهد شد.

  3. مقادیر توابع را جایگذاری کنید و پاسخ را ساده سازی نمایید. $$\sin 15^{\circ} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$$
    نتیجۀ بدست آمده خیلی زیبا نیست، اگرچه زیبایی در چشمان بیننده است. برخی این پاسخ را فوق العاده در نظر می گیرند، زیرا یک مقدار دقیق است و نه یک برآورد اعشاری.

اکنون سعی کنید تا اتحاد نصف زاویه را با رادیان ها مورد استفاده قرار دهید. تانژانت \(\frac{\pi}{8}\) را بیابید.

  1. تعیین کنید کدام زاویه دوبرابر زاویه ای که مشغول کار روی آن هستید، می باشد.
    زاویۀ \(\frac{\pi}{4}\) دوبرابر \(\frac{\pi}{8}\) می باشد.

  2. اندازۀ این زاویه را در یکی از اتحادهای تانژانت نصف زاویه جایگذاری کنید. $$
    \tan \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\
    \tan \frac{\pi}{8} = \tan \frac{\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}}
    $$
  3. مقادیر توابع را جایگذاری کنید و پاسخ را ساده سازی نمایید. $$
    \tan \frac{\pi}{8} = \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
    $$
  4. برای اینکه رادیکال را از مخرج کسر بیرون بکشید، با ضرب کردن صورت و مخرج این کسر در مزدوج مخرج، این کسر را گویاسازی کنید. $$=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2} = \sqrt{2} - 1$$
اتحاد دیگر برای تانژانت نصف زاویه دقیقاً همین پاسخ را به شما می دهد. با این حال، آن شکل ساده تر نمی باشد، زیرا هم سینوس و هم کسینوس این زاویه دارای رادیکال می باشند. با این وجود، اگر این مسأله شامل یک زاویۀ \(60\) درجه می شد، داستان فرق می کرد. سینوس \(60\) درجه برابر با \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) و کسینوس آن برابر با \(\frac{1}{2}\) است، که عملاً به شما التماس می کند تا از شکلی که کسینوس در مخرجش قرار دارد استفاده کنید، و در اینصورت به رادیکال در مخرج کسر برخورد نمی کنید. هر دوی این اتحادها بدرستی کار می کنند ـــ گزینه ای که استفاده می کنید صرفاً به سلیقۀ شخصی شما بستگی دارد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.