خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
لیست اتحادهای مثلثاتی
یک جنبۀ مهم در مورد مثلثات که افرادی که در مدرسه آن را مطالعه کرده اند، به خاطر می آورند، زمانی است که آنها صرف اثبات اتحادهای مثلثاتی کرده اند ـــ اثبات یعنی یک سمت از یک معادله را با سمت دیگر آن تطبیق دهیم. برخی اثبات اتحادها را بهترین کاری که تابحال کرده اند می دانند ـــ آنها از این کار بسیار لذت می برند و بیشتر و بیشتر می خواهند. اگرچه، سایرینی هم هستند که این کار اثبات اتحادها را زیاد هیجان انگیز نمی دانند ـــ یک رویداد بزرگ که باید از آن عبور کرد و گذشت. چیزی که در این فصل می یابید عبارت از یک استراتژی بازی و پیشنهاداتی می باشد تا آنهایی که علاقۀ زیادی به حل کردن اینگونه معماها ندارند، شروع به لذت بردن از این فرآیند کنند. به منظور لذت بیشتر از مطالعه، من این فصل را به روش هایی تقسیم کرده ام که برای اثبات انواع مختلف اتحادها بهتر کار می کنند.
چرا به اثبات اتحادها نیاز دارید؟ آیا با وجودیکه آنها را اتحاد می نامند، هنوز نمی دانید که آنها صحیح می باشند؟ قطعاً که می دانید، با این حال اثبات کردن آنها برای آینده، هنگامیکه مسأله های پیچیدۀ مثلثاتی را حل می کنید، سودمند می باشد، زیرا فرآیند حل کردن آنها در این آماده سازی ها می باشد. بسیاری از عبارتهای مثلثاتی که از آنها برای حل کردن مسأله های کاربردی استفاده می کنید دارای جملاتی نسبتاً پیچیده و دارای ظاهری ناخوشایند می باشند. با انجام جایگذاری ها و دستکاری ها با اتحادهای مثلثاتی، می توانید آن عبارتها را قابل استفاده تر کنید. تمامی این تمرین ها با اثبات اتحادها شما را آماده می کند و به شما هوشیاری لازم از آنچه که شدنی است را می دهد.
قبل از اینکه اثبات کردن (یا حل کردن) اتحادها را آغاز کنید، نیاز دارید تا نگاهی اجمالی به معادل های متفاوتی که برای حل کردن آنها مورد استفاده قرا خواهید داد، بیندازید.
در اینجا لیستی برای مرجع قرار دادن توسط شما داریم:
$$
\frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta \\
\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \\
\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta \\
\frac{1}{\cot \theta}= \tan \theta \\
\frac{1}{\sec \theta} = \cos \theta \\
\frac{1}{\csc \theta}= \sin \theta
$$
$$
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
$$
$$
\sin (- \theta) = - \sin \theta \\
\cos (-\theta) = \cos \theta \\
\tan (-\theta) = -\tan \theta
$$
$$
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \text{ or } \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \text{ or } \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \\
\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta \text{ or } \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \\
1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \text{ or } \cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1
$$
$$
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\
\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \\
\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}
$$
$$
\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta -1 = 1 - 2 \sin^2 \theta \\
\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
$$
$$
\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \\
\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}} \\
\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}
$$
چرا به اثبات اتحادها نیاز دارید؟ آیا با وجودیکه آنها را اتحاد می نامند، هنوز نمی دانید که آنها صحیح می باشند؟ قطعاً که می دانید، با این حال اثبات کردن آنها برای آینده، هنگامیکه مسأله های پیچیدۀ مثلثاتی را حل می کنید، سودمند می باشد، زیرا فرآیند حل کردن آنها در این آماده سازی ها می باشد. بسیاری از عبارتهای مثلثاتی که از آنها برای حل کردن مسأله های کاربردی استفاده می کنید دارای جملاتی نسبتاً پیچیده و دارای ظاهری ناخوشایند می باشند. با انجام جایگذاری ها و دستکاری ها با اتحادهای مثلثاتی، می توانید آن عبارتها را قابل استفاده تر کنید. تمامی این تمرین ها با اثبات اتحادها شما را آماده می کند و به شما هوشیاری لازم از آنچه که شدنی است را می دهد.
لیست اتحادهای مثلثاتی
قبل از اینکه اثبات کردن (یا حل کردن) اتحادها را آغاز کنید، نیاز دارید تا نگاهی اجمالی به معادل های متفاوتی که برای حل کردن آنها مورد استفاده قرا خواهید داد، بیندازید.
در اینجا لیستی برای مرجع قرار دادن توسط شما داریم:
اتحادهای معکوس (Reciprocal Identities)
$$
\frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta \\
\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \\
\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta \\
\frac{1}{\cot \theta}= \tan \theta \\
\frac{1}{\sec \theta} = \cos \theta \\
\frac{1}{\csc \theta}= \sin \theta
$$
اتحادهای نسبت (Ratio Identities)
$$
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
$$
اتحادهای زاویۀ مقابل (Opposite-Angle Identities)
$$
\sin (- \theta) = - \sin \theta \\
\cos (-\theta) = \cos \theta \\
\tan (-\theta) = -\tan \theta
$$
اتحادهای فیثاغورثی (Pythagorean Identities)
$$
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \text{ or } \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \text{ or } \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \\
\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta \text{ or } \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \\
1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \text{ or } \cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1
$$
اتحادهای جمع و تفاضل (Sum and Difference Identities)
$$
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\
\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \\
\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}
$$
اتحادهای زاویۀ مضاعف (Double-Angle Identities)
$$
\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta -1 = 1 - 2 \sin^2 \theta \\
\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
$$
اتحادهای نصف زاویه (Half-Angle Identities)
$$
\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \\
\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}} \\
\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}
$$
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: