درست به همان اندازه که کار کردن بر روی یک سمت اتحاد جذاب می باشد، گاهی اوقات کار کردن بر روی هر دو سمت یک اتحاد سودمند و مجاز می باشد. کار کردن بر روی هر دو سمت یک اتحاد معمولاً هنگامی که روشی شفاف و مطمئن برای تغییر دادن یک سمت برای مطابقت کردن با سمت دیگر ندارید، ضرورت می یابد. من حتی در مواقعی که این کار مجاز نبوده است، مجبور شده ام که به کار کردن بر روی هر دو سمت متوسل شوم؛ کار کردن رو به سمت عقب، از یک سمت به نتایج سمت دیگر می تواند سرنخ های ارزشمندی را در ارتباط با اینکه چگونگه چیزی را حل کنید، به شما می دهد.





در یک اتحاد مثلثاتی، کار کردن بر روی هر دو سمت، با کار کردن بر روی هر دو سمت یک معادلۀ جبری، کاملاً یکسان نمی باشد. در جبر، شما می توانید هر دو سمت را در عدد یکسانی ضرب کنید، هر دو سمت را مربع سازید، چیز یکسانی را به هر دو سمت معادله بیفزایید یا از آن تفریق کنید، و به همین ترتیب. هنگامی که اتحادها و معادلات مثلثاتی را حل می کنید (فصل 17 را ببینید)، شما می توانید از تمامی آن قوانین جبری استفاده کنید، بعلاوۀ اینکه می توانید هر جا که لازم باشد با اتحادهای مثلثاتی گوناگون، جایگزینی را انجام بدهید. شما حتی می توانید یک اتحاد متفاوت را در هر سمت درج کنید ـــ یک مزیت بزرگ از کار کردن بر روی اتحادهای مثلثاتی همین است.

اولین مثال نسبتاً آسان می باشد، اما این مفهوم را می رساند. اتحاد زیر را با کار کردن بر روی هر دو سمت آن، حل کنید:
$$\frac{\sin \theta}{\csc \theta} + \frac{\cos \theta}{\sec \theta}= \tan \theta \cot \theta$$

1. دو مخرج این کسرها را با اتحادهای معکوسشان جایگزین کنید و همچنین، کتانژانت در سمت راست را نیز با معکوسش جایگزین کنید. $$\frac{\sin \theta}{\frac{1}{\sin \theta}} + \frac{\cos \theta}{\frac{1}{\cos \theta}} = \tan \theta \biggl( \frac{1}{\tan \theta} \biggr)$$
   
2. دو کسر سمت چپ را با معکوس کردن مخرج کسرها و ضرب آنها در صورتشان، ساده سازی کنید. سپس دو فاکتور موجود در سمت راست را در یکدیگر ضرب کنید. $$
   \sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{1} + \cos \theta \cdot \frac{\cos \theta}{1} = 1 \\
   \frac{\sin \theta}{1} \cdot \frac{\sin \theta}{1} + \frac{\cos \theta}{1} \cdot \frac{\cos \theta}{1} = 1 \\
   \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
   $$
   
3. جمع سمت چپ را با استفاده از اتحاد فیثاغورثی جایگزین کنید.
   به نتیجۀ \(1=1\) می رسید.
   

در مثال بعدی، شما همه چیز را به سینوس ها و کسینوس ها تبدیل می کنید. اتحاد زیر را اثبات کنید:
$$\frac{\csc x}{\cos x} = \cot x + \tan x$$

1. این توابع را با استفاده از اتحادهای معکوس و نسبت به معادل آنها تبدیل کنید. $$\frac{\frac{1}{\sin x}}{\cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}$$
   
2. در سمت چپ، مخرج را به شکل یک کسر بنویسید، سپس آن را سر و ته کنید و در صورت ضرب کنید. در سمت راست، هر کسر را در کسری معادل با \(1\) ضرب کنید (این کسر معادل \(1\) با استفاده از مخرج کسر دیگر ساخته می شود) تا برای همۀ کسرها به مخرجی مشترک برسید. $$
   \frac{\frac{1}{\sin x}}{\frac{\cos x}{1}} = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x} \\
   \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\sin x}
   $$
   
3. کسرهای ضرب شده در یکدیگر را ساده سازی کنید. دو کسر موجود در سمت راست را با یکدیگر جمع بزنید. $$
   \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x} + \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos x} \\
   =\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x \cos x}
   $$
   
4. صورت کسر در سمت راست را با استفاده از اتحاد فیثاغورثی جایگزین کنید. $$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$$
   

هنگامی که بر روی هر دو سمت کار می کنید، هرگاه که هر دو سمت یکسان خوانده شوند، کار انجام شده است. این با کار کردن بر روی یک سمت متفاوت است، که در آن شما چیزی را از معادلۀ اصلی دست نخورده باقی می گذارید.

این مثال آخر نیاز به اندکی خلاقیت دارد. اما کار کردن بر روی هر دو سمت هنوز هم بهتر جواب می دهد. اتحاد زیر را حل کنید:
$$\frac{1+\cot \alpha}{\cot \alpha} = \tan \alpha + \csc^2 \alpha - \cot^2 \alpha$$

1. کسر سمت چپ را با نوشتن هر جمله در صورت کسر، بر روی مخرج کسر، از یکدیگر جدا کنید. $$\frac{1}{\cot \alpha} + \frac{\cot \alpha}{\cot \alpha} = \tan \alpha+ \csc^2 \alpha - \cot^2 \alpha $$
   
2. کسر دوم را به \(1\) کاهش دهید. $$\frac{1}{\cot \alpha} + 1 = \tan \alpha+ \csc^2 \alpha - \cot^2 \alpha $$
   
3. اکنون \(\csc^2 \alpha\) در سمت راست را با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، با معادلش جایگزین کنید. $$\frac{1}{\cot \alpha} + 1 = \tan \alpha+ (1+\cot^2 \alpha) - \cot^2 \alpha $$
   
4. جملات سمت راست را بعد از حذف کردن پرانتزهای داخل آن، ساده سازی کنید ـــ دو تا از این جملات، قرینۀ یکدیگر می باشند. $$
   \require{cancel}
   \frac{1}{\cot \alpha} + 1 = \tan \alpha+ 1+ \cancel{\cot^2 \alpha} - \cancel{\cot^2 \alpha} \\
   =\tan \alpha + 1
   $$
   
5. کسر سمت راست را با استفاده از اتحاد معکوس جایگزین کنید. $$\tan \alpha + 1 =\tan \alpha + 1 $$