در برخی اتحادها، اینکه با کدام سمت باید کار کنید یا چه کاری را با هر دو سمت باید انجام دهید واضح نیست. و در برخی نمونه ها، شما با انبوهی از توابع مواجه می شوید که فهمیدن اینکه چه اتفاقی در حال رخ دادن است، تقریباً غیرممکن می باشد. در مواردی دیگر، جملات مختلف، دارای توانهای متفاوتی از تابع یکسانی می باشند. در اینگونه موارد، ساده کردن مسائل یا با تغییر دادن همه چیز به سینوسها و کسینوسها یا با فاکتورگیری برخی از توابع، می تواند بهترین تصمیم ممکن شما باشد.

تغییر دادن به سینوس ها و کسینوس ها

در اولین مثال، شما می توانید از اتحادهای معکوس یا نسبت، بسته به اینکه می خواهید با کدام سمت کار کنید، برای تبدیل همه چیز به سینوس ها و کسینوس ها استفاده کنید. اتحاد مثلثاتی زیر را حل کنید:
$$\tan \theta + \cot \theta = \csc \theta \sec \theta$$

1. بنابر رهنمودهایی که بیان می دارند بر روی سمتی که تعداد جملات بیشتری دارد کار کنید، دو جملۀ موجود در سمت چپ را با استفاده از اتحادهای نسبت جایگزین کنید. $$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \csc \theta \sec \theta$$
   
2. برای بدست آوردن یک مخرج مشترک، هر دو جملۀ سمت چپ را در کسرهایی برابر با \(1\) ضرب کنید (با استفاده از مخرج جملۀ دیگر). $$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\cos \theta} = \csc \theta \sec \theta$$
   
3. این کسرها را ساده کنید و سپس با یکدیگر جمع بزنید، زیرا هم اکنون دارای مخرجی مشترک می باشند. $$
   \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta \sin \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \csc \theta \sec \theta \\
   \frac{\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta}{\cos \theta \sin \theta} = \csc \theta \sec \theta
   $$
   
4. با استفاده از اتحاد فیثاغورثی صورت کسر در سمت چپ را با معادل آن جایگزین کنید. $$\frac{1}{\cos \theta \sin \theta} = \csc \theta \sec \theta$$
   
5. اکنون از اتحادهای معکوس بر روی جملات موجود در مخرج کسر استفاده کنید و سپس هر کسر را وارون کرده و ضرب کنید. $$
   \frac{1}{\frac{1}{\sec \theta} \cdot \frac{1}{\csc \theta}} = \csc \theta \sec \theta \\
   \frac{\sec \theta}{1} \cdot \frac{\csc \theta}{1} = \csc \theta \sec \theta \\
   \sec \theta \csc \theta = \sec \theta \csc \theta
   $$
   

در مثال بعدی، تنها دو جمله هم اکنون به شکل سینوس نوشته نشده اند، بنابراین جایگزین کردن آن دو جمله با جملاتی به لحاظ سینوس در هنگام حل کردن آن، طبیعی به نظر می رسد:
$$\frac{\sin x + 8 \csc x}{\sin x+4 \csc x} = \frac{\sin^2 x + 8}{\sin^2 x + 4}$$

1. دو کسکانت موجود در سمت چپ را با استفاده از اتحاد معکوس جایگزین کنید. $$
   \frac{\sin x + 8 (\frac{1}{\sin x})}{\sin x + 4(\frac{1}{\sin x})} = \frac{\sin^2 x + 8}{\sin^2 x +4} \\
   \frac{\sin x + \frac{8}{\sin x}}{\sin x + \frac{4}{\sin x}} = \frac{\sin^2 x + 8}{\sin^2 x +4}
   $$
   
2. هر جملۀ موجود در صورت و مخرج سمت چپ را در \(\sin x\) ضرب کنید. این کار برابر با ضرب کردن در سینوس بر روی سینوس یا \(1\) می باشد. $$
   \frac{\sin x}{\sin x} \cdot \frac{\sin x + \frac{8}{\sin x}}{\sin x + \frac{4}{\sin x}} = \frac{\sin^2 x + 8}{\sin^2 x + 4} \\
   \frac{\sin x (\sin x + \frac{8}{\sin x})}{\sin x (\sin x+ \frac{4}{\sin x})} = \frac{\sin^2 x + 8}{\sin^2 x + 4} \\
   \frac{\sin x \cdot \sin x + \sin x \cdot \frac{8}{\sin x}}{\sin x \cdot \sin x + \sin x \cdot \frac{4}{\sin x}} = \frac{\sin^2 x + 8}{\sin^2 x +4}
   $$
   
3. صورت و مخرج را ساده سازی کنید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\sin^2 x + \cancel{\sin x} \cdot \frac{8}{\cancel{\sin x}}}{\sin^2 x + \cancel{\sin x} \cdot \frac{4}{\cancel{\sin x}}} = \frac{\sin^2 x + 8}{\sin^2 x + 4} \\
   \frac{\sin^2 x + 8}{\sin^2 x + 4} = \frac{\sin^2 x + 8}{\sin^2 x + 4}
   $$
   

مثال بعدی دارای تعداد زیادی توابع و جملات متفاوت می باشد که منجر شده است کشف اینکه از کجا باید آغاز کنیم، تقریباً غیرممکن به نظر آید. اگرچه شما روشهایی دیگری برای کنار آمدن با آن دارید، من کسر سمت چپ را تماماً به سینوس ها و کسینوس ها تبدیل کرده ام. اگر می خواهید روش دیگری برای حل کردن یک اتحاد مشابه این را ببینید، به فصل 14 مراجعه کنید.

اتحاد زیر را حل کنید:
$$\frac{1+\sec x}{\tan x} - \frac{\tan x}{\sec x} = \cot x (1+\cos x)$$

1. در سمت چپ، سکانت ها را با استفاده از اتحاد معکوس تغییر دهید و تانژانت ها را با استفاده از اتحاد نسبت تغییر دهید. $$\frac{1+\frac{1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} - \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} = \cot x(1+\cos x)$$
   
2. در سمت چپ، هر جمله در صورت و مخرج کسر را در \(\cos x\) ضرب کنید و جملات را ساده سازی کنید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\cos x}{\cos x} \cdot \frac{1+\frac{1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} - \frac{\cos x}{\cos x} \cdot \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} = \cot x(1+\cos x) \\
   \frac{\cos x(1+\frac{1}{\cos x})}{\cos x(\frac{\sin x}{\cos x})} - \frac{\cos x(\frac{\sin x}{\cos x})}{\cos x(\frac{1}{\cos x})} = \cot x(1+\cos x) \\
   \frac{\cos x \cdot 1 + \cos x \cdot \frac{1}{\cos x}}{\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}} - \frac{\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x \cdot \frac{1}{\cos x}} = \cot x (1+\cos x) \\
   \frac{\cos x+\cancel{\cos x} \cdot \frac{1}{\cancel{\cos x}}}{\cancel{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cancel{\cos x}}} - \frac{\cancel{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cancel{\cos x}}}{\cancel{\cos x} \cdot \frac{1}{\cancel{\cos x}}} = \cot x(1+\cos x)
   $$
   از اینهمه شلوغی در نهایت به نتیجۀ زیر می رسید:
   $$\frac{\cos x+ 1}{\sin x} - \frac{\sin x}{1} = \cot x(1+\cos x)$$
   
3. یک مخرج مشترک برای این دو کسر موجود در سمت چپ بیابید، کسرها را با یکدیگر جمع بزنید، و نتیجه را ساده سازی کنید. $$
   \frac{\cos x+1}{\sin x} - \frac{\sin x}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{1} = \cot x(1+\cos x) \\
   \frac{\cos x+1}{\sin x} - \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \cot x(1+\cos x) \\
   \frac{\cos x+1-\sin^2 x}{\sin x} = \cot x(1+\cos x)
   $$
   
4. اکنون با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، \(\sin^2 x\) در صورت کسر را با معادل آن جایگزین کنید و ساده سازی انجام دهید. $$
   \frac{\cos x+1-(1-\cos^2 x)}{\sin x} = \cot x (1+\cos x) \\
   \frac{\cos x+1-1+\cos^2 x}{\sin x} = \cot x(1+\cos x) \\
   \frac{\cos x+\cos^2 x}{\sin x} = \cot x(1+\cos x)
   $$
   
5. \(\cos x\) را از هر جملۀ موجود در صورت این کسر فاکتور بگیرید. $$\frac{\cos x(1+\cos x)}{\sin x} = \cot x(1+\cos x)$$
   
6. در نهایت، دو فاکتور موجود در صورت این کسر را به کسرهایی که در یکدیگر ضرب شده اند بشکنید. سپس \(\frac{\cos x}{\sin x}\) را با استفاده از اتحاد نسبت جایگزین کنید. $$
   \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{(1+\cos x)}{1} = \cot x(1+\cos x) \\
   \cot x (1+\cos x) = \cot x(1+\cos x)
   $$
   

فاکتورگیری

سرنخی که به شما می گوید باید یک اتحاد را فاکتورگیری کنید اینست که توانهای یک تابع خاص یا تکرارهای آن تابع در تمامی جملات یک سمت از اتحاد وجود داشته باشد.

به عنوان مثال، اتحاد \(\sin^4 \theta + 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \cos^4 \theta = 1\) دارای سه جمله در سمت چپ می باشد که می توانید فاکتورگیری نمایید، زیرا آنها نتیجۀ مربع کردن یک دو جمله ای می باشند. الگویی که نیاز دارید این معادلۀ جبری برای مربع یک دوجمله ای می باشد: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) .

1. عبارت سمت چپ را به عنوان مربع یک دوجمله ای فاکتورگیری کنید. $$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 = 1$$
   
2. اکنون صرفاً با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، عبارت داخل پرانتز را با معادل آن جایگزین کنید. $$(1)^2 = 1$$
   

مثال پیشین واقعاً ساده بود ـــ مشروط بر اینکه شما الگوی مربع یک دوجمله ای را شناسایی کنید. در مثال بعدی، فاکتورگیری در صورت این کسر، و در جایی که توانهایی از \(\sin x\) ظاهر می شوند، اتفاق می افتد. اتحاد زیر را حل کنید:
$$\frac{\sin x-\sin^3 x}{\cos x} = \tan x \cos^2 x$$

1. در صورت کسر \(\sin x\) را فاکتور بگیرید. $$\frac{\sin x(1-\sin^2 x)}{\cos x} = \tan x \cos^2 x$$
   
2. با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، عبارت داخل پرانتز را با معادل آن جایگزین کنید. $$\frac{\sin x(\cos^2 x)}{\cos x} = \tan x \cos^2 x$$
   
3. اکنون این کسر را به حاصل ضرب دو کسر بشکنید، فاکتورهای صورت و مخرج این کسرها را با دقت سازماندهی کنید. $$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{(\cos^2 x)}{1} = \tan x \cos^2 x$$
   
4. با استفاده از اتحاد نسبت، اولین کسر با با \(\tan x\) جایگزین کنید. $$\tan x \cos^2 x= \tan x \cos^2 x$$
   

مثال بعدی نیاز به فاکتورگیری با استفاده از تفاضل بین دو مربع دارد. الگو در اینجا برابر با معادلۀ جبریِ \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\) یا \(a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)\) می باشد. اتحاد زیر را حل کنید:
$$\csc^2 \theta + \cot^2 \theta = \csc^4 \theta - \cot^4 \theta$$

1. دو جملۀ سمت راست را با استفاده از الگوی تفاضل بین دو مربع، فاکتورگیری کنید. $$\csc^2 \theta + \cot^2 \theta = (\csc^2 \theta - \cot^2 \theta)(\csc^2 \theta+\cot^2 \theta)$$
   
2. فقط در پرانتز سمت چپ، با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، \(\csc^2 \theta\) را با معادل آن جایگزین کنید.
   شما می خواهید تا دو جملۀ موجود در پرانتز سمت راست به همین شکل دست نخورده باقی بماند.
   $$\csc^2 \theta + \cot^2 \theta = (1+\cot^2 - \cot^2 \theta)(\csc^2 \theta + \cot^2 \theta)$$
   
3. اکنون این عبارت را ساده سازی کنید، از این دو قرینه خلاص شوید. $$
   \require{cancel}
   \csc^2 \theta + \cot^2 \theta = (1+ \cancel{\cot^2 \theta} - \cancel{\cot^2 \theta})(\csc^2 \theta + \cot^2 \theta)\\
   =(1)(\csc^2 \theta + \cot^2 \theta)
   $$
   

ترکیب هر دو روش تبدیل به سینوس و کسینوس و فاکتورگیری

درست زمانی که فکر می کنید اثبات اتحادها نمی تواند از اینی که هست جذابتر گردد، درمی یابید که مثالهای این بخش شامل هر دو روش بالا می باشند، یعنی هم تبدیل کردن جمله ها به سینوس ها و کسینوس ها و هم فاکتورگیری. سختترین قسمت اینست که تصمیم بگیرید ابتدا کدام کار را باید انجام دهید.

در مثال پیش رو، اگر ابتدا همه چیز را به سینوس ها و کسینوس ها تبدیل کنید، کار شما روانتر پیش می رود. (بعلاوۀ اینکه شما فوراً کشف نخواهید کرد که عبارت سمت چپ نتیجۀ مربع یک دوجمله ای می باشد.) اتحاد زیر را حل کنید:
$$\csc^2 \theta - 2 \csc \theta \cot \theta + \cot^2 \theta = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$$

1. جملات سمت چپ را با استفاده از اتحادهای معکوس و نسبت به سینوس ها و کسینوس ها تبدیل کنید و سپس کسرها را ساده سازی کنید. $$
   \frac{1}{\sin^2 \theta}-\frac{2}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \\
   \frac{1}{\sin^2 \theta} - \frac{2\cos \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
   $$
   
2. سه کسر موجود در سمت چپ را با یکدیگر جمع بزنید، زیرا دارای مخرج یکسانی می باشند. $$\frac{1-2\cos \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$$
   
3. مخرج این کسر را با استفاده از اتحاد فیثاغورثی جایگزین کنید.
   شما معمولاً از یک جملۀ ساده به دو جمله نمی روید، اما، سمت مقابل را نگاه کنید، خواهید دید که در مخرج \(1+\cos \theta\) قرار دارد، بنابراین این ایدۀ خوبی به نظر می رسد.
   $$\frac{1-2\cos \theta+\cos^2 \theta}{1-\cos^2 \theta} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$$
   
4. صورت این کسر را به عنوان مربع یک دوجمله ای فاکتورگیری کنید؛ مخرج آن را به عنوان تفاضل بین دو مربع فاکتورگیری کنید. $$\frac{(1-\cos \theta)^2}{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} $$
   
5. دو جمله ای های مشترک در صورت و مخرج این کسر را فاکتور بگیرید. $$
   \require{cancel}
   \frac{(1-\cos \theta)^{\cancel{2}}}{\cancel{(1-\cos \theta)}(1+\cos \theta)} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \\
   \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
   $$
   شما در مثلثات جبر فراوانی را خواهید یافت!
   

در مثال بعدی، خواهید دید که چگونه اول باید فاکتورگیری کنید و سپس به سراغ چیزهای اساسی دیگر بروید. اتحاد زیر را حل کنید:
$$\frac{\sin \theta}{\cot \theta - \cot \theta \cos^2 \theta} - \sec \theta = 0$$

1. در مخرج این کسر، \(\cot \theta\) را فاکتور بگیرید. $$\frac{\sin \theta}{\cot \theta(1-\cos^2 \theta)} - \sec \theta = 0$$
   
2. با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، مقدار داخل پرانتز را با معادل آن جایگزین کنید. $$\frac{\sin \theta}{\cot \theta (\sin^2 \theta)} - \sec \theta = 0$$
   
3. با استفاده از اتحادهای معکوس و نسبت، همه چیز را به لحاظ سینوس و کسینوس بنویسید. $$\frac{\sin \theta}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (\sin^2 \theta)} - \frac{1}{\cos \theta} = 0$$
   
4. کسرهای موجود در مخرج کسر اصلی را کاهش دهید و ساده سازی کنید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\sin \theta}{\frac{\cos \theta}{\cancel{\sin \theta}} (\frac{\sin^{\cancel{2}} \theta}{1})} - \frac{1}{\cos \theta} = 0 \\
   \frac{\sin \theta}{\cos \theta \sin \theta} - \frac{1}{\cos \theta} = 0
   $$
   
5. ساده سازی را با خط زدن \(\sin \theta\) ادامه دهید. $$
   \frac{\cancel{\sin \theta}}{\cos \theta \cancel{\sin \theta}} - \frac{1}{\cos \theta} = 0 \\
   \frac{1}{\cos \theta} - \frac{1}{\cos \theta} = 0 \\
   0=0
   $$