یک عدد غیرگویا عددی حقیقی (real number) است که نمی تواند به شکل یک کسر ساده نوشته شود. اعداد غیرگویا را اعداد اصم یا اعداد گنگ نیز می نامند. برای درک بهتر اعداد گویا و غیرگویا به مثالهایی که در ادامه آمده اند توجه کنید:





عدد \(1.5\) را در نظر بگیرید. عدد \(1.5\) عددی گویا (Rational) می باشد زیرا می توانید آنرا به صورت یک کسر بنویسیم:
$$1.5=\frac{3}{2}$$
حالا عدد \(\pi\) را که عددی غیرگویا می باشد در نظر بگیرید. \(\pi\) که معادل \(3.14159...\) می باشد، را نمی توانید به شکل یک کسر بنویسید. زیرا این عدد تا ابد ادامه می یابد و هیچ وقت خاتمه نمی یابد:
$$\pi = 3.14159... = \frac{?}{?}$$

اعداد گویا (Rational Numbers)

یک عدد گویا می تواند به شکل یک کسر، یا نسبت (Ratio) بین دو عدد صحیح نوشته شود. به عبارت دیگر به صورت یک کسر ساده بین دو عدد نوشته شود. در ادامه مثالهایی از اعداد گویا آمده است:

• \(1.5\) عددی گویا می باشد، زیرا می تواند به شکل نسبت \(\frac{3}{2}\) نوشته شود.
  
• \(7\) عددی گویا است، زیرا می تواند به شکل نسبت \(\frac{7}{1}\) نوشته شود.
  
• \(0.333...\) نیز عددی گویا می باشد، زیرا می تواند به شکل نسبت \(\frac{1}{3}\) نوشته شود.
  
• \(9.5\) عددی گویا است زیرا می تواند به شکل نسبت \(\frac{19}{2}\) نوشته شود.
  

اعداد غیرگویا (Irrational Numbers)

برخی از اعداد را نمی توان به شکل نسبتی بین دو عدد صحیح نوشت، این اعداد را غیرگویا می نامند. یک سرنخ دیگر برای شناسایی اعداد غیرگویا اینست که بدون الگویی تکرار شونده تا ابد ادامه می یابند. بنابراین ما با سعی کردن برای نوشتن عددی به صورت یک کسر ساده می توانیم بگوییم که آیا آن عددی گویا است یا غیرگویا؟

• به عنوان مثال معروفی از اعداد غیرگویا، عدد پی (\(\pi\)) را در نظر بگیرید:
  $$\pi = 3.1415926535897932384626433832795...$$
  البته عدد پی به همینجا ختم نمی شود و بدون هیچ الگوی تکراری تا ابد ادامه می یابد. ما نمی توانیم یک کسر ساده بنویسیم که عدد \(\pi\) را نشان دهد. البته کسر رایج \(\frac{22}{7}\) را برای نشان دادن عدد \(\pi\) مورد استفاده قرار می دهند، در واقع \(\frac{22}{7} = 3.1428571428571...\) که به عدد پی نزدیک است اما دقیقاً خود عدد پی نمی باشد.
  
• \(\sqrt{2}\) که برابر با \(1.4142135623730950...\) است نیز عددی غیرگویا می باشد. ما نمی توانیم \(\sqrt{2}\) را به شکل یک کسر ساده (کسری که صورت و مخرج آن اعداد صحیح باشند) بنویسیم.
  
• مثال معروف دیگری از اعداد غیرگویا، عدد \(e\) می باشد. این عدد، را عدد اویلر (Euler's Number) می نامند:
  $$e=2.7182818284590452353602874713527...$$
  عدد اویلر یک عدد غیرگویا است زیرا نمی توانیم آن را به صورت یک کسر ساده بنویسیم.
  

توجه به ضرب اعداد غیرگویا در یکدیگر

به مثالهای زیر توجه کنید:

• \(\pi \times \pi = \pi^2\) که عددی غیرگویا می باشد.
  
• اما \(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\) که عددی گویا می باشد.
  

بنابراین مراقب باشید ... ضرب کردن اعداد غیرگویا در یکدیگر ممکن است منجر به تولید نتایجی گویا شود!