هنگامی که با توابع معکوس مثلثاتی کار می کنید، همیشه راحتتر اینست که اعدادی که با آنها کار می کنید نتایج بکار بردن یکی از توابع مثلثاتی بر روی یکی از اندازه زوایای رایج باشد. به خاطر سپردن مقادیر دقیق توابع مربوط به آن زاویه های رایج و کار کردن با آنها در مسائل آسانتر می باشد. با این حال، هنگامی که آن زاویه یک زاویۀ رایج نباشد، شما نیاز به استفاده از یک جدول یا یک ماشین حساب دارید. چیز مهمی نیست، فقط به آن خوش آیندی نمی باشد.





با استفاده از توابع معکوس مثلثاتی، شما می توانید برخی از مسائل جذاب را حل کنید، در حالی که شما حتی نیاز ندارید بدانید که اندازۀ آن زاویه در واقع چه می باشد. شما صرفاً نیاز به دانستن مقدار یک تابع، یک ربع صفحه، و چند اتحاد مثلثاتی، دارید.

به عنوان مثال، شما می توانید \(\cos\biggl( \sin^{-1} \biggl( -\frac{12}{13} \biggr) \biggr)\) را بیابید، که بیان می دارد "کسینوس زاویه ای را بیابید که سینوس آن برابر با \(\frac{12}{13}\) می باشد". برای حل کردن این مسأله نیازی به دانستن اندازۀ این زاویه ندارید، اما لازم است تا ربع صفحه ای که ضلع نهایی در آن قرار گرفته است را بدانید، زیرا در غیر اینصورت دو زاویۀ متفاوت می توانند پاسخ صحیحی باشند. سینوس در \(QI\) و \(QII\) مثبت می باشد، بنابراین این مسأله می تواند شامل یک زاویه در هر کدام از آن دو ربع صفحه باشد، اما کسینوس در هر دوی این ربع صفحه ها مثبت نمی باشد. مثال زیر را در نظر بگیرید.

\(\cos\biggl( \sin^{-1} \biggl( -\frac{12}{13} \biggr) \biggr)\) را بیابید، اگر ضلع نهایی آن در \(QII\) باشد.

1. از اتحاد فیثاغورثی برای یافتن مقدار عددی کسینوس این زاویه استفاده کنید.
   این مقدار را جایگزین \(\sin \theta\) کنید، جملۀ کسینوس را منزوی کنید، و سپس جذر هر دو سمت را بگیرید:
   $$
   \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \\
   \biggl(\frac{12}{13}\biggr)^2 + \cos^2 \theta = 1 \\
   \cos^2 \theta = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \\
   \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}
   $$
   
2. علامت پاسخ را تعیین کنید.
   از آنجا که ضلع نهایی این زاویه در \(QII\) قرار دارد، و کسینوس در آنجا منفی می باشد، پاسخ اینست:
   $$\cos \biggl(\sin^{-1} \biggl(-\frac{12}{13}\biggr) \biggr) = -\frac{5}{13}$$
   

در مسأله ای که از توابع معکوس مثلثاتی استفاده می کند، ربع صفحه مخفی نمی باشد. مثال قبلی شامل اطلاعاتی در این زمینه بود که ضلع نهایی این زاویه در کدام ربع صفحه قرار گرفته است. هنگامی که یک تابع معکوس در مسأله باشد، جزئیات ربع صفحه مربوط با بُرد تابعی که در مسأله وجود دارد به شما توضیح داده می شود. شما کافیست تا از ربع صفحه های معین استفاده کنید.

به عنوان مثال، برای یافتن \(\tan\biggl( \cos^{-1} \biggl( -\frac{11}{61} \biggr) \biggr)\) ، شما می توانید فرض کنید که ضلع نهایی این زاویه در \(QII\) قرار دارد، زیرا تابع کسینوس معکوس در آن ربع صفحه منفی می باشد.

1. از اتحاد معکوس و کسرمتقابل این عدد برای یافتن سکانت استفاده کنید.
   این مسأله شامل زاویه ای است که کسینوس آن برابر با \(-\frac{11}{61}\) می باشد. من آن را زاویۀ مجهول \(\theta\) می نامم و این عبارت را به لحاظ کسینوس \(\theta\) با آن اندازه، بازنویسی می کنم. من این عبارت را اینگونه بازنویسی کرده ام تا یک تابع معکوس مثلثاتی را به یک تابع مثلثاتی تبدیل کنم تا بتوانم از آن اتحاد استفاده نمایم.
   اگر \(\cos \theta = -\frac{11}{61}\)، آن گاه \(\sec \theta = - \frac{61}{11}\) .
   
   
2. از اتحاد فیثاغورثی برای بدست آوردن این تانژانت استفاده کنید. $$
   \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta = \biggl( -\frac{61}{11} \biggr)^2 = \frac{3721}{121} \\
   \tan^2 \theta = \frac{3721}{121} - 1 =\frac{3600}{121} \\
   \tan^2 \theta = \pm\sqrt{\frac{3600}{121}}=\pm \frac{60}{11}
   $$
   
3. علامت این پاسخ را تعیین کنید.
   از آنجا که ضلع نهایی در \(QII\) قرار دارد و تانژانت در آن ربع صفحه منفی می باشد:
   $$\tan\biggl( \cos^{-1} \biggl( -\frac{11}{61} \biggr) \biggr) = -\frac{60}{11}$$