هنگامی که معادلات درجه دوم (quadratic equations) فاکتورگیری می شوند، زندگی خوب است. هنگامی که فاکتورگیری نمی شوند، شما هنوز هم می توانید زنده بمانید، البته با تشکر از فرمول حل معادلۀ درجه دوم (quadratic formula). در صورتیکه این فرمول را فراموش کرده باشید، در اینجا دوباره آن را خواهید دید.






در مثلثات، یک تابع مثلثاتی جایگزین \(x\) یا بخش متغیر فرمول حل معادلۀ درجه دوم می شود. به عنوان مثال، پاسخهای معادلۀ \(\sin^2 x-4 \sin x - 1 = 0\) را برای تمامی زوایای بین \(0\) تا \(360\) درجه بیابید. به جای \(x\) ها، جملات متغیر شامل \(\sin x\) ها می باشند.

1. مقادیر \(a\)، \(b\)، و \(c\) در این فرمول را شناسایی کنید.
   این مقادیر بدین شرح می باشند:
   $$a=1,b=-4,c=-1$$
   
2. این مقادیر را در فرمول حل معادلۀ درجه دوم جایگذاری کنید و ساده سازی کنید. $$
   \sin x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
   =\frac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2} \\
   =\frac{4\pm2\sqrt{5}}{2} = 2\pm \sqrt{5}
   $$
   
3. مقادیر برآوردی \(\sin x\) را از روی شکل حل شده بیابید.
   با استفاده از یک ماشین حساب علمی، \(2\pm \sqrt{5} \approx 2\pm 2.236\) می باشد. بنابراین، \(\sin x\) در حدود \(4.236\) یا \(-0.236\) می باشد.
   
   
4. از جدولی از مقادیر استفاده کنید تا زوایای برآوردی برای این سینوس ها را بیابید.
   اگر \(\sin x=4.236\)، به یک نتیجۀ غیرممکن می رسید. مقدار سینوس در بُرد \(-1\) تا \(1\) می باشد، بنابراین \(\sin x\) نمی تواند این مقدار را داشته باشد.
   
   اگر \(\sin x=-0.236\)، سپس \(x=\sin^{-1}(-0.236) \approx -14^{\circ}\) یا \(346^{\circ}\) . اینها زوایای یکسانی می باشند. ابتدا آن را به شکل یک زاویۀ منفی و سپس به شکل معادل مثبت آن می نویسید.
   
   زاویۀ دیگری نیز این معادله را برآورده می سازد. زاویۀ منفی دیگری که دارای یک زاویۀ مرجع \(14\) درجه می باشد، برابر با سومین ربع صفحۀ زاویۀ \(194\) درجه می باشد. برای اطلاعات بیشتر در مورد زاویۀ مرجع به فصل 8 مراجعه کنید.