خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


به کار گیری اتحادها در حل معادلات مثلثاتی

به کار گیری اتحادها در حل معادلات مثلثاتی
نویسنده : امیر انصاری
برخی معادلات مثلثاتی شامل بیش از یک تابع مثلثاتی می باشند. بقیه ترکیبی از چندین زاویه و زوایایی یکسان با متغیری یکسانند. به عنوان مثالهایی از اینگونه معادلات می توانیم به موارد زیر اشاره کنیم:

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار
$$


3 \cos^2 x=\sin^2 x \\
2 \sec x = \tan x + \cot x \\
\cos 2x+\cos x+1=0
$$
برای اینکه این معادلات را به شکلی قابل مدیریت تر در بیاورید، به نحویکه بتوانید از فاکتورگیری یا یکی از سایر روشهای مورد اشاره در این فصل برای حل کردن آنها استفاده کنید، در مورد استفاده از اتحادها برای جانشینی با برخی یا همۀ جملات تصمیم گیری می کنید (برای اطلاعات بیشتر در مورد اتحادهای اصلی مثلثاتی، فصل 11 را ببینید). به عنوان مثال، برای حل کردن \(3 \cos^2 x=\sin^2 x \) برای تمامی زوایای بین \(0\) و \(2 \pi\)، اتحاد فیثاغورثی را بکار بگیرید.

  1. \(\sin^2 x\) را با معادل آن از اتحاد فیثاغورثی، جایگزین کنید، \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) یا \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) . $$3 \cos^2 x=1-\cos^2 x$$
  2. \(\cos^2 x\) را به هر دو سمت معادله بیفزایید و با تقسیم کردن آن را ساده کنید. $$
    4 \cos^2 x=1 \\
    \cos^2 x = \frac{1}{4}
    $$
  3. جذر هر دو سمت را بگیرید. $$
    \sqrt{\cos^2 x} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \\
    \cos x = \pm \frac{1}{2}
    $$
  4. این معادلات را برای مقادیری از \(x\) که آنها را برآورده می سازند، حل کنید.
    اگر \(\cos x=\frac{1}{2}\)، سپس \(x=\cos^{-1} \biggl(\frac{1}{2}\biggr)=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)
    اگر \(\cos x=-\frac{1}{2}\)، سپس \(x=\cos^{-1}\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\)

در مثال بعدی، شما با سه تابع مثلثاتی متفاوت کار را آغاز می کنید. یک تاکتیک خوب اینست که هر تابع را با استفاده از یک اتحاد نسبت یا یک اتحاد معکوس جایگزین کنید. استفاده از این اتحادها کسرهایی را ایجاد می کند، و کسرها نیاز به مخرج مشترک دارند. در ضمن، داشتن کسرها در معادلات مثلثاتی چیز خوبی است، زیرا حاصلضربهایی که نتیجۀ ضرب کردن و ایجاد کسرهای معادل می باشند معمولاً بخشهایی از اتحادهایی می باشند که شما می توانید با جایگزین کردن آنها این عبارتها را بسیار ساده تر کنید. معادلۀ \(2 \sec x = \tan x + \cot x\) را برای تمامی مقادیر ممکن در واحد درجه حل کنید.

  1. هر جمله را با اتحاد معکوس یا اتحاد نسبت متناظرش جایگزین کنید. $$
    2\biggl(\frac{1}{\cos x}\biggr) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} \\
    \frac{2}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}
    $$
  2. این کسرها را با مخرج مشترک \(\sin x \cos x\) بازنویسی کنید.
    هر جمله را در کسری که برابر با \(1\) می باشد ضرب کنید، که در آن کسر سینوس یا کسینوس هم در صورت و هم در مخرج قرار گرفته باشد.
    $$
    \frac{2}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\cos x} \\
    \frac{2 \sin x}{\sin x \cos x} = \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos x} + \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x}
    $$
  3. دو کسر سمت راست را با یکدیگر جمع کنید. سپس، با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، صورت جدید را با \(1\) جایگزین کنید. $$
    \frac{2 \sin x}{\sin x \cos x} = \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x \cos x} \\
    \frac{2 \sin x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}
    $$
  4. با تفریق جملۀ سمت راست از هر دو سمت معادله، این معادله را برابر با صفر قرار دهید.
    این تفریق را انجام دهید تا یک کسر واحد بسازید.
    $$\frac{2 \sin x-1}{\sin x \cos x} = 0$$
  5. اکنون صورت این کسر را برابر با \(0\) قرار دهید. $$2 \sin x - 1 = 0 \text{ or } 2 \sin x=1, \sin x = \frac{1}{2}$$
    اگر صورت این کسر برابر با \(0\) باشد، سپس کل این کسر برابر با \(0\) خواهد بود. مخرج نمی تواند برابر با \(0\) باشد ـــ چنین عددی وجود ندارد.

  6. این معادله را برای مقادیری از \(x\) که آن را برآورده می سازند، حل کنید. $$
    x=\sin^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)=30^{\circ},150^{\circ},... \\
    x=30^{\circ}+360^{\circ}n \text{ or } x=150^{\circ}+360^{\circ}n
    $$
در مثال بعدی، دو زاویۀ مختلف در عملیات می باشند. یکی از این زوایا دوبرابر اندازۀ دیگری می باشد، بنابراین شما از یک اتحاد زاویۀ مضاعف برای کاهش این جملات به تنها یک زاویه استفاده می کنید. ترفند کار اینست که از نسخۀ صحیح اتحاد کسینوس زاویۀ مضاعف استفاده کنید.

معادلۀ \(\cos 2x+\cos x+1=0\) را برای مقادیر \(x\) بین \(0\) و \(2\pi\) حل کنید.

  1. \(\cos 2x\) را با \(2 \cos^2 x -1\) جایگزین کنید. $$2 \cos^2 x - 1 + \cos x + 1 =0$$
    این نسخه از کسینوس اتحاد زاویۀ مضاعف انتخاب بهتری است زیرا تابع مثلثاتی دیگر در این معادله هم اکنون دارای کسینوس می باشد.

  2. این معادله را ساده سازی کنید. سپس \(\cos x\) را فاکتور بگیرید. $$2 \cos^2 x + \cos x =0 \\
    \cos x(2 \cos x +1)=0$$
  3. هر فاکتور را برابر با \(0\) قرار دهید. $$\cos x=0 \text{ or } 2 \cos x + 1 =0, 2 \cos x = -1, \cos x=-\frac{1}{2}$$
  4. این معادلات را برای مقادیری از \(x\) که آنها را برآورده سازند، حل کنید.
    اگر \(\cos x=0\)، سپس \(x = \cos^{-1}(0)=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\)
    اگر \(\cos x=-\frac{1}{2}\)، سپس \(x=\cos^{-1}\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\)

مثال بعدی به شکل فریبنده ای ساده می باشد. چیزی که باید بدانید اینست که شما باید یک اتحاد زاویۀ مضاعف را پیشاپیش شناسایی کنید و یک جانشینی سریع انجام دهید. این مسأله همچنین یک پیش درآمد خوب برای بخش بعدی می باشد که مربوط به معادلات دارای پاسخهای چند زاویه هستند. معادلۀ \(\sin x \cos x=\frac{1}{2}\) را برای تمامی پاسخهای بین \(0\) و \(360\) درجه، حل کنید.

  1. از اتحاد سینوس زاویۀ مضاعف برای ایجاد جانشین برای عبارت سمت چپ استفاده کنید.
    با این اتحاد آغاز کنید و هر سمت را در \(\frac{1}{2}\) ضرب کنید، به این نتیجه می رسید:
    $$\sin 2x=2 \sin x \cos x \\
    \frac{1}{2} \sin 2 x=\sin x \cos x
    $$
  2. عبارت سمت چپ از معادلۀ اصلی را با معادل آن از اتحاد زاویۀ مضاعف، بازنویسی کنید. $$
    \sin x \cos x=\frac{1}{2} \\
    \frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{2}
    $$
  3. هر سمت از این معادله را در \(2\) ضرب کنید. $$2 \cdot \frac{1}{2} \sin 2x=\frac{1}{2} \cdot 2 \\
    \sin 2x=1$$
  4. این عبارت را به شکل یک تابع معکوس بازنویسی کنید. $$2x=\sin^{-1}(1) $$
    برای اطلاعات بیشتر در مورد توابع معکوس مثلثاتی، فصلهای 15 و 16 را ببینید.

  5. تعیین کنید کدام زوایا درون دو دوران این عبارت را برآورده می سازند. $$2x=\sin^{-1}(1)=90^{\circ},450^{\circ}$$
    شما به این دلیل از دو دوران استفاده می کنید که ضریب \(x\) برابر با \(2\) می باشد.

  6. هر سمت را بر \(2\) تقسیم کنید. $$
    \frac{2x}{2}= \frac{90^{\circ}}{2},\frac{450^{\circ}}{2} \\
    x = 45^{\circ},225^{\circ}
    $$
    توجه داشته باشید که زوایای حاصل بین \(0\) و \(360\) درجه قرار دارند.

شما می توانید این تکنیک زاویۀ مضاعف را برای سایر عبارات زوایای متعدد مورد استفاده قرار دهید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.