مثلث ها (Triangles) اشکال بسیار سودمندی هستند. از زمانی که نوع بشر توانست چگونگی ثبت اطلاعات را بفهمد، افراد کاربردهایی از مثلثها در ریاضی و سایر علوم را مستند کرده اند. مثلث قائم الزاویه پرکاربردترین است؛ فیثاغورث دریافت که سایرین مثلثهای قائم الزاویه را به عنوان چندضلعی های قدرتمندی شناسایی کرده اند. اما مثلث های غیرقائم الزاویه (oblique triangles) ـــ آنهایی که دارای زاویۀ قائمه نمی باشند ـــ نیز، جایگاه خاص خودشان را دارند. اینجا جایی است که مثلثهای غیرقائم الزاویه و قوانین سینوس و کسینوس آنها وارد بازی می شوند.





باور کنید یا نه، قوانین سینوس از سینوس های زوایای یک مثلث استفاده می کنند. با سه قسمت به دقت انتخاب شده از یک مثلث، شما می توانید اندازۀ سایر قسمتهای آن مثلث را بدست آورید. مسلماً، شما باید از این قانون تبعیت کنید، و انتخابهای شما محدود می باشند. اینجا جایی است که قوانین کسینوس به کمک شما می آیند. این قانون آنقدرها آسان نیست، اما زمانی که قانون سینوس ها شما را به نتیجه نرساند، به شما کمک می کند.

مثلثات تمامی انواع احتمالات برای حل کردن مسأله های مساحت را میسر می سازد. با استفاده از ابزارهای ارائه شده در این فصل، شما نمی توانید مثلثی بیابید که از عهدۀ آن برنیایید.

توصیف بخشهای مختلف مثلث ها

هنگامی که صحبت از مثلث ها به میان می آید، شما مثلث های قائم الزاویه و مثلث های بزرگتر از قائم الزاویه، که مثلث های منفرجه نامیده می شوند را خواهید یافت. همچنین دسته بندیهای دیگری نیز مانند مثلث حاده الزاویه، مثلث متساوی الاضلاع، مثلث متساوی الساقین و ... موجود هستند. اما مهم نیست که آن را چه بنامید، هر مثلث دقیقاً شش بخش دارد: سه زاویه و سه ضلع. بعد از اینکه اطلاعاتی در مورد بخشهای یک مثلث بدست آوردید، می توانید انواع مختلف محاسبات و تغییرات را با استفاده از مثلث ها برای مدلسازی وضعیتها و حل کردن مسأله ها انجام دهید.

استاندارد سازی بخشهای مختلف یک مثلث

معمولاً، هنگام نامگذاری بخشهای مختلف یک مثلث، از یک سیستم یا الگو پیروی می کنید. استفاده از این سیستم به شما کمک می کند، حتی در مواقعی که تصویری از آن مثلث ندارید، اطلاعات را سازماندهی کنید، تا به شما در درک موضوع کمک شود. رایجترین سیستم اینست که زوایای یک مثلث را با حروف بزرگ، اغلب \(A\)، \(B\)، و \(C\)، و اضلاع روبروی هر کدام از این زوایا را با حروف کوچک منطبق بر نام زاویه اش، نامگذاری کنید. شکل 1-18 چگونگی این نامگذاری را به شما نشان می دهد.

تعیین یک مثلث

اگرچه هر مثلثی دارای شش بخش می باشد، شما تنها نیاز به دانستن اندازه های سه بخش آن دارید تا اندازۀ سایر بخشها را تعیین کنید. به عنوان مثال، اگر اندازۀ سه ضلع یک مثلث را داشته باشید، سپس می توانید هر کدام از سه زاویه را به روشنی تعیین کنید. شما نمی توانید بیش از یک شکل و اندازه از مثلث را با این سه ضلع بسازید.

بعد از اینکه مقادیر سه تا از بخشهای به دقت انتخاب شدۀ یک مثلث ار دانستید، می توانید هر کدام از این سه قاعده یا قانون را که شما را قادر می سازند سه بخش دیگر مثلث را بیابید، مورد استفاده قرار دهید. من در مورد هر کدام از این سه قانون در بخش مربوط به خودش در ادامۀ همین فصل بحث خواهم کرد.

یافتن بهترین ترکیب ممکن

چندین ترکیب از بخشهای منحصر به فرد یک مثلث را تعیین می کنند. شما احتمالاً این قواعد را از هندسه، هنگامی که اثبات ها را انجام می دادید، به خاطر داشته باشید. در اینجا لیستی از تمامی ترکیباتی که می توانید مورد استفاده قرار دهید داریم.


آخرین قاعده در واقع نسخۀ دیگری از قاعدۀ یکی قبل از آن است. هنگامی که اندازۀ دو زاویه را داشته باشید، می توانید اندازۀ زاویۀ سوم را تعیین کنید، بنابراین آن ضلع بین دو زاویۀ معلوم قرار می گیرد. شکل 2-18 این وضعیتها را به شما نشان می دهد.


شما ممکن است متوجه شده باشید که من به یکی از ترکیبها اشاره نکردم ـــ \(AAA\) ، که در آن اندازۀ هر سه زاویه معلوم می باشد. من این مورد را تعمداً رها کردم، در چنین وضعیتی، تنها چیزی که شما می توانید مطمئن شوید اینست که آن دو مثلث متشابه (similar) می باشند ـــ دارای شکل یکسانی هستند اما الزاماً اندازه های یکسانی ندارند.

برخورد با موارد مبهم

چهار وضعیت شما را قادر می سازند تا به طور منحصر بفرد یک مثلث را تعیین کنید، و من آنها را در بخش پیشین لیست کردم. یک مورد دیگر می تواند سودمند باشد، هرچند ممکن است به جای یک مثلث با دو مثلث متفاوت مواجه شوید: \(SSA\)، اندازۀ دو ضلع و یک زاویه که در بین آنها قرار ندارد. این وضعیت اندکی مهارت آمیز است، زیرا معمولاً دو مثلث متفاوت می تواند از آن ناشی شود ـــ به همین دلیل هم هست که به عنوان مبهم (ambiguous) به آن اشاره شده است. گاهی اوقات این مورد از هیچی بهتر است ـــ مشروط بر اینکه آگاه باشید که بیش از یک مثلث می تواند موجود باشد. شکل 3-18 چنین وضعیتی را نشان می دهد. در این دو مثلث، اضلاع \(a\) و \(c\) و زاویۀ \(A\) در هر دو مثلث هم اندازه هستند. با این وجود اندازۀ زاویۀ \(B\) و طول ضلع \(b\)، یکسان نمی باشند.