جبر زبان حسابان می باشد. همانطور که بدون دانستن زبان چینی نمی توانید شعرهای چینی بنویسید، نمی توانید حسابان را نیز بدون دانستن جبر انجام دهید. بنابراین، اگر دانش شما در مورد پیش جبر و جبر زنگ زده باشد، مطمئن شوید که چیزهای اساسی که در ادامه آمده اند را مرور کرده باشید.

کار با کسرها (Fractions)

یک صفحۀ تصادفی از یک کتاب حسابان را باز کنید، احتمال اینکه یک کسر را ببینید بسیار بالاست ـــ شما نمی توانید از آنها فرار کنید. کنار آمدن با آنها نیازمند اینست که چندین قانون را بدانید.

چندین قانون سریع

قبل از هر چیز یک قانون ساده اما خیلی مهم را مطرح می کنیم، زیرا اغلب در مطالعۀ حسابان با آن برخورد می کنید:


هنگامی که چگونگی کارکرد تقسیم را در نظر بگیرید، دانستن اینکه چرا \(\frac{5}{0}\) تعریف نشده می باشد، آسان است:
$$\frac{8}{2}=4$$
مسلماً این عبارت به شما می گوید که \(2\) چهار مرتبه درون \(8\) قرار می گیرد؛ به عبارت دیگر، \(2+2+2+2=8\) . خوب، چند صفر را باید با یکدیگر جمع بزنید تا به حاصل جمع \(5\) برسید؟ شما نمی توانید این کار را انجام دهید، و از این رو نمی توانید \(5\) (یا هر عدد دیگری را) بر صفر تقسیم کنید.

در اینجا قانون سریع دیگری داریم.

ضرب کسرها

جمع کردن معمولاً ساده تر از ضرب کردن است، اما در مورد کسرها، عکس این ماجرا برقرار است ـــ بنابراین من می خواهم ابتدا به مقابلۀ ضربها بروم.

ضرب کسرها به سادگی یک بشکن زدن است ـــ کافیست صورتها را در یکدیگر و مخرجها را در یکدیگر ضرب کنید:
$$
\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{10} \\
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}
$$

تقسیم کسرها

تقسیم کسرها یک مرحلۀ اضافی دارد: شما کسر دوم را سروته می کنید و سپس ضرب را انجام می دهید ـــ اینگونه:
$$
\frac{3}{10} \div \frac{4}{5} \\
= \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{40} \\
= \frac{3}{8}
$$
در بالا ما کاهش کسرها و عملیات خط زدن را بعد از عملیات انجام داده ایم، شما می توانید این کار را قبل از عملیات انجام دهید:
$$
\require{cancel}
\frac{3}{_2\cancel{10}} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{4} = \frac{3}{8}
$$
همچنین توجه داشته باشید که مسالۀ اصلی می تواند به شکل زیر نیز نوشته شود:
$$\frac{\frac{3}{10}}{\frac{4}{5}}$$

جمع کسرها

شما می دانید که:
$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} =\frac{5}{7}$$
شما به این دلیل می توانید این جمع را اینگونه انجام دهید که هم اکنون یک مخرج مشترک دارید. در مورد متغیرها نیز به همین شکل جمع کار می کند:
$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$$
توجه داشته باشید که هرجا در معادلۀ بالا که یک \(2\) دارید، در معادلۀ پایین یک \(a\) دارید؛ و هرجا که در معادلۀ بالا \(3\) دارید، در معادلۀ پایین \(b\) دارید؛ ایضاً در مورد \(7\) و \(c\) همینطور است. این مسأله یک اصل قدرتمند را بیان می کند:


اگر با خودتان می اندیشید که با متغیرها در یک مسأله چکار کنید، از خودتان بپرسید اگر به جای متغیرها اعداد می بودند، چگونه آن مسأله را انجام می دادید. سپس مسأله را همانگونه پیش ببرید، مشابه این مورد:
$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$$
شما نمی توانید این کسرها را مشابه مثالهای قبلی با یکدیگر جمع بزنید، زیرا این مسأله مخرج مشترکی ندارد. حالا فرض کنید در اینجا گیر کرده اید، مسأله را به جای متغیرها با اعداد پیش ببرید. به خاطر بیاورید که چگونه جمع \(\frac{2}{5}+\frac{3}{8}\) را انجام می دادید؟ من قصد ندارم تا هر خط از این راه حل را ساده کنم. دلیلش را بزودی خواهید فهمید.

1. کوچکترین مخرج مشترک را بیابید، و کسرها را تبدیل کنید (در واقع، در هنگام جمع زدن کسرها هر مخرج مشترکی درست جواب خواهد داد).
   در اینجا کوچکترین مخرج مشترک برابر با \(5\) ضربدر \(8\) یا \(40\) می باشد، بنابراین هر کسر را به کسری با مخرج \(40\) تبدیل کنید:
   $$
   \frac{2}{5}+\frac{3}{8} \\
   = \frac{2}{5} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{5} \\
   =\frac{2\cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 8}
   $$
   \(8 \cdot 5\) با \(5 \cdot 8\) برابر است، بنابراین شما می توانید ترتیب آن را تغییر دهید. مخرج این کسرها برابر با \(40\) می باشند، اما من تمایل دارم تا فعلاً آنها را به شکل \(5 \cdot 8\) نگهدارم.
   
   
2. صورتها را با یکدیگر جمع بزنید و مخرج مشترک را بدون تغییر نگهدارید:
   $$=\frac{2\cdot 8 + 3\cdot 5}{5 \cdot 8} =\frac{16+15}{40} = \frac{31}{40} $$
   شما می توانید ببینید که حاصل این جمع برابر با \(\frac{16+15}{40}\) یا \(\frac{31}{40}\) می باشد.
   

اکنون برای انجام مسالۀ اصلی، یعنی \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\) آماده اید. در این مسأله به جای \(2\) یک \(a\) دارید، و به جای \(5\) یک \(b\) دارید، به جای \(3\) یک \(c\)، و به جای \(8\) یک \(d\) دارید. کافیست مراحل یکسانی را مشابه آنچه که در هنگام جمع زدن \(\frac{2}{5} + \frac{3}{8}\) داشتید، انجام دهید. شما می توانید به هر کدام از اعداد در راه حل بالا به عنوان نقشی که بر یک روی سکه قرار دارد و متغیر متناظرش در روی دیگر سکه نقش بسته است، فکر کنید. به عنوان مثال در اینجا سکه ای داریم که یک روی آن \(2\) و روی دیگر آن \(a\) می باشد. سکۀ دیگری دارای \(8\) در یک سمت و \(d\) در سمت دیگرش است، و به همین ترتیب. اکنون هر مرحله از راه حل قبلی را پیش ببرید، هر سکه را بچرخانید و در نهایت به پاسخ مسالۀ اصلی می رسید. پاسخ نهایی اینست:
$$\frac{ad+cb}{bd}$$

تفریق کسرها

تفریق کسرها، مشابه جمع کسرها کار می کند، با این استثناء که به جای جمع کردن، تفریق می کنید.

خط زدن در کسرها

به پایان رساندنِ مسأله های حسابان ـــ بعد از اینکه تمامی مراحل حسابان را انجام دادید ـــ گاهی اوقات نیاز به عملیات جبری همچون خط زدن دارد. مطمئن شوید که چگونگی خط زدن و زمانیکه می توانید خط زدن را انجام دهید و همینطور زمانی که نمی توانید این کار را صورت دهید، بدانید.

در کسر \(\frac{x^5y^2}{x^3z}\) ، سه تا از \(x\) ها می توانند از صورت و مخرج این کسر خط زده شوند، که نتیجه اش کسر ساده شدۀ \(\frac{x^2y^2}{z}\) می باشد. اگر به جای توانها \(x\) ها را بنویسید، با وضوح بیشتری می توانید چگونگی کارکرد خط زدن را متوجه شوید:
$$\frac{x^5y^2}{x^3z} = \frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y}{x \cdot x \cdot x \cdot z}$$
اکنون سه \(x\) را از صورت و مخرج این کسر خط بزنید:
$$ \frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot z}$$
چیزی که برای شما باقی می ماند \(\frac{x \cdot x \cdot y \cdot y}{z}\) یا \(\frac{x^2y^2}{z}\) می باشد.

خط زدن در عبارت جبری

یک عبارت جبری (algebraic expression) یا صرفاً عبارت (expression)، چیزی شبیه \(xyz\) یا \(a^2 p^3 \sqrt{q} - 6\)، می باشد، در اصل هر چیزی به جز یک علامت برابری (اگر دارای علامت برابری باشد، یک معادله است). خط زدن در مورد عبارات جبری به همان شیوۀ متغیرهای واحد صورت می پذیرد. در اینجا نکته ای داریم که صرفاً برای خط زدن نیست، بلکه برای تمامی مباحث جبری است.


بنابراین، اگر هر \(x\) در مسالۀ قبلی، با \((xyz-q)\) جایگزین شود، خواهید داشت:
$$\frac{(xyz-q)^5 y^2}{(xyz-q)^3 z}$$
و سه تا از عبارتهای \((xyz-q)\) از صورت و مخرج این کسر خط می خورند، درست مشابه سه \(x\) که خط خوردند. نتیجۀ ساده شده برابر است با:
$$\frac{(xyz-q)^2 y^2}{z}$$

قانون ضرب برای خط زدن

اکنون می دانید چگونه خط بزنید. شما همچنین نیاز دارید تا بدانید که چه زمانی می توانید خط بزنید.


خط زدن در عبارتی مشابه عبارت زیر مجاز است:
$$\frac{a^2 b^3 (xy-pq)^4 (c+d)}{a b^4 z (xy-pq)^3 }$$
به ضرب به عنوان چیزی که جریان الکتریسیته را از خودش عبور می دهد، فکر کنید. جریان الکتریکی می تواند از یک سمت از صورت کسر به سمت دیگر آن گردش یابد، از \(a^2\) تا \((c+d)\)، زیرا تمامی این متغیرها و عبارتها با ضرب به یکدیگر متصل شده اند. (توجه داشته باشید که یک علامت جمع یا تفریق که درون پرانتزها قرار گرفته باشد ـــ به عنوان مثال علامت \(+\) در \((c+d)\) ـــ جریان را متوقف نمی کند.) از آنجا که در مخرج این کسر نیز یک زنجیرۀ ناشکسته از ضرب ها قرار دارد، در اینجا خط زدن مجاز است. شما می توانید یک \(a\)، سه \(b\)، و سه عبارت \((xy-pq)\) را خط برنید. نتیجه را در اینجا می بینید:
$$\frac{a(xy-pq)(c+d)}{bz}$$