قوانین توان ها

نویسنده : امیر انصاری

دانستن قوانین توانها (power rules) در حسابان جزء ضروریات می باشد. در اینجا به قوانین توانها می پردازیم:

$x^0=1$
این قانون صرفنظر از اینکه $x$ برابر با چه چیزی می باشد ـــ یک کسر، یک عدد منفی، هر چیزی ـــ به جز صفر، (صفر به توان صفر تعریف نشده می باشد)، برقرار می باشد. بیایید آن را قانون سینک ظرفشویی بنامیم (که در آن سینک ظرفشوئی نشان دهندۀ صفر می باشد):
$$(\text{everything but the kitchen sink})^0 = 1$$

ترجمۀ فرمول:
everything but the kitchen sink: هر چیزی به جز سینک ظرفشویی
$x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ و $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$
به عنوان مثال، $4^{-2}=\frac{1}{4^2} =\frac{1}{16}$ . این چیز مهمی است! فراموشش نکنید! توجه داشته باشید که توان منفی است، اما پاسخ $\frac{1}{16}$ منفی نمی باشد.
$x^{\frac{2}{3}} = \biggl( \sqrt[3]{x} \biggr)^2 =\sqrt[3]{x^2} $ و $x^{\frac{a}{b}} = \biggl( \sqrt[b]{x} \biggr)^a = \sqrt[b]{x^a}$
شما می توانید از این قانون سودمند استفاده کنید تا یک مسالۀ ریشه (root) را به یک مسالۀ ساده تر توان تبدیل کنید.
$x^2 \cdot x^3 = x^5$ و $x^a \cdot x^b=x^{a+b}$
در اینجا توانها را با یکدیگر جمع می کنید. (در ضمن، شما نمی توانید با $x^2$ بعلاوۀ $x^3$ کاری انجام دهید. شما نمی توانید $x^2$ با $x^3$ را با یکدیگر جمع کنید، زیرا آنها جملاتی مشابه نیستند. شما تنها می توانید جملاتی را جمع یا تفریق کنید که بخش متغیر هر جمله یکسان باشد، به عنوان مثال، $3xy^2z+4xy^2z=7xy^2z$ . این مسأله به همان دلیلی که $3$ صندلی بعلاوۀ $4$ صندلی برابر با $7$ صندلی می شود، درست کار می کند؛ و همانطور که نمی توانید $5$ صندلی را بعلاوۀ $2$ ماشین کنید، نمی توانید جملات غیرمشابه را با یکدیگر جمع کنید.)
$\frac{x^5}{x^3} = x^2$ و $\frac{x^2}{x^6}=x^{-4}$ و $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
در اینجا توانها را تفریق می کنید.
$(x^2)^3 = x^6$ و $(x^a)b = x^{ab}$
در اینجا توانها را در یکدیگر ضرب می کنید.
$(xyz)^3 = x^3 y^3 z^3$ و $(xyz)^a = x^a y^a z^a$
در اینجا توانها را برای هر متغیر توزیع می کنید.
$(\frac{x}{y})^4 = \frac{x^4}{y^4}$ و $(\frac{x}{y})^a = \frac{x^a}{y^a}$
در اینجا نیز توانها را برای هر متغیر توزیع می کنید.
$(x+y)^2 = x^2 + y^2$ صحیح نمی باشد!

در این مورد توان را توزیع نکنید. به جای آن، دو عبارت را در یکدیگر ضرب کنید:
$$(x+y)^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2$$
ببینید اگر به اشتباه از قانون پیشین استفاده کنید، چه اتفاقی می افتد:
$$(3+5)^2=8^2=64 \\
(3+5)^2=3^2+5^2=9+25=34$$
همانطور که می بینید پاسخهای بدست آمده متفاوتند. پاسخ $64$ صحیح می باشد.