خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


فاکتورگیری (Factoring)

فاکتورگیری (Factoring)
نویسنده : امیر انصاری
فاکتورگیری به معنای نوشتن اعداد به صورت حاصلضرب می باشد، به عنوان مثال، \(12\) را به شکل \(2 \cdot 2 \cdot 3\) بنویسید. با این حال، شما با مسأله های اینچنینی در حسابان برخورد نخواهید داشت. در حسابان، شما باید قادر باشید تا عبارات جبری همچون \(5xy+10yz\) را به شکل \(5y(x+2z)\) فاکتورگیری کنید. فاکتورگیری های جبری همیشه شامل بازنویسیِ حاصلجمع جملات، به شکل یک حاصلضرب می باشد. آنچه در ادامه می آید یک یادآوری سریع در این ارتباط می باشد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



بزرگترین عامل مشترک (GCF) را بیرون بکشید


اولین گام در فاکتورگیری هر نوع عبارت جبری اینست که بزرگترین چیز مشترک در بین تمامی جملات آن را بیرون بکشید یا به عبارتی فاکتور بگیرید، به این چیز مشترک، بزرگترین عامل مشترک (greatest common factor) می گویند که به اختصار GCF نامیده می شود. به عنوان مثال، هر کدام از سه جملۀ \(8x^3y^4+12x^2y^5+20x^4y^3z\) دارای فاکتوری از \(4x^2y^3\) می باشند، بنابراین این عامل مشترک اینگونه می تواند بیرون کشیده شود:
$$8x^3y^4+12x^2y^5+20x^4y^3z=4x^2y^3(2xy+3y^2+5x^2z)$$
همواره اطمینان حاصل کنید که قبل از امتحان کردن سایر تکنیکهای فاکتورگیری، به دنبال \(GCF\) بگردید و آن را بیرون بکشید.

به دنبال یک الگو بگردید


بعد از اینکه \(GCF\) را در صورت وجود بیرون کشیدید، کار بعدی اینست که به دنبال یکی از سه الگوی زیر بگردید. اولین الگو بسیار مهم است؛ دو الگوی بعدی حائز اهمیت کمتری هستند.

تفاضل بین دو مربع (Difference of squares)


یادداشت مترجم: الگوی تفاضل بین دو مربع در مدارس ایران با نام اتحاد مزدوج مشهور است.

دانستن اینکه چگونه تفاضل بین دو مربع را فاکتورگیری کنید، حیاتی می باشد:
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$
اگر بتوانید چیزی مانند \(9x^4 - 25\) را به نحوی بازنویسی کنید که شبیه \((\text{this})^2 - (\text{that})^2\) گردد، سپس می توانید از این الگوی فاکتورگیری استفاده کنید. در اینجا چگونگی این کار را می بینید:
$$9x^4 - 25 = (3x^2)^2 - (5)^2$$
حالا، از آنجا که \((\text{this})^2 - (\text{that})^2 = (\text{this}-\text{that})(\text{this}+\text{that})\) ، می توانید این مسأله را فاکتورگیری نمایید:
$$(3x^2)^2 - (5)^2 = (3x^2-5)(3x^2+5)$$
تفاضل بین دو مربع، \(a^2 - b^2\)، قابل فاکتورگیری می باشد، اما مجموع دو مربع، \(a^2+b^2\)، قابل فاکتورگیری نمی باشد. به عبارت دیگر، \(a^2+b^2\)، همانند اعداد \(7\) و \(13\)، عدد اول (prime) می باشند و شما نمی توانید آنها را تجزیه کنید.

مجموع و تفاضل بین دو مکعب


شما همچنین ممکن است بخواهید قوانین فاکتورگیری برای مجموع و تفاضل بین دو مکعب (sum and difference of cubes) را به خاطر بسپارید:
$$
a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \\
a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)
$$

فاکتورگیری سه جمله ایها (trinomial factoring)


چندین تعریف: یک سه جمله ای (trinomial)، یک چند جمله ای (polynomial) است که دارای سه جمله باشد. یک چندجمله ای، عبارتی مشابه \(4x^5-6x^3+x^2-5x+2\) می باشد، به جز مقدار ثابت (constant) در این عبارت ـــ در این مثال ثابت برابر با \(2\) می باشد ـــ ، تمامی جملات دارای متغیری هستند که به توان مثبتی از عددی کامل (integral) رسیده باشد. به عبارت دیگر، هیچ توان کسری یا توان منفی در چندجمله ایها مجاز نمی باشد (بنابراین \(\frac{1}{x}\) یک چندجمله ای نمی باشد، زیرا برابر با \(x^{-1}\) است). و هیچ رادیکالی، هیچ لگاریتمی، هیچ سینوس یا کسینوسی، یا هر چیز دیگری مجاز نمی باشد ـــ صرفاً جملاتی دارای یک ضریب (coefficient)، مانند \(4\) در \(4x^5\)، که در متغیری که به توانی رسیده است ضرب شده باشد، مجاز می باشند. درجۀ (degree) یک چندجمله ای، بالاترین توان \(x\) در آن چندجمله ای می باشد. به عنوان مثال، چندجمله ایِ اول این پاراگراف دارای درجه ای از \(5\) است.

ایدۀ بدی نیست که در مسأله هایی همچون مسالۀ زیر، یک سه جمله ای را به حاصلضرب دو دوجمله ای فاکتور بگیریم:
$$6x^2+13x-5=(2x+5)(3x-1)$$
یک سری تکنیک های استاندارد برای فاکتورگیری یک سه جمله ای وجود دارد که احتمالاً در دوره های آموزش جبر، یک یا دو تا از آنها را فرا گرفته اید. اگر یکی از آن تکنیک ها را به خاطر می آورید، عالی است. شما فاکتورگیری سه جمله ایها را در حسابان زیاد نخواهید داشت، اما به هر حال ابزارهای سودمندی برای الان و آینده می باشند. بنابراین اگر مهارتهایتان در این زمینه اندکی زنگ زده باشد توصیه می کنم تا آنها را مرور کنید.

یادداشت مترجم: در دوره های آموزش جبر در سایت خوش آموز می توانید این تکنیکها را مرور کنید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.