خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


حل کردن معادلات درجه دوم

حل کردن معادلات درجه دوم
نویسنده : امیر انصاری
یک معادلۀ درجه دوم (quadratic equation)، معادله ای است که در آن بالاترین توان \(x\)، یا هر متغیر دیگری که در آن مورد استفاده قرار گرفته است، برابر با \(2\) باشد. شما می توانید معادلات درجه دوم را با یکی از سه روش اصلی زیر حل کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



روش 1: فاکتورگیری


معادلۀ زیر را حل کنید:
$$2x^2-5x=12$$
  1. همۀ جملات را به یک سمت معادله ببرید، در سمت دیگر معادله یک صفر قرار دهید. $$2x^2-5x-12=0$$
  2. فاکتورگیری کنید. $$(2x+3)(x-4)=0$$
    شما می توانید این فاکتورها را با ضرب کردنشان در یکدیگر درست آزمایی کنید. روش مورد استفاده برای این فاکتورگیری FOIL می باشد که در دورۀ آموزش جبر تشریح شده است.

  3. هر کدام از این فاکتورها را برابر با صفر قرار داده و حل کنید، در اینجا از ویژگی ضرب در صفر (zero product property) استفاده کرده ایم. $$2x+3=0 \\
    2x=-3 \\
    x=-\frac{3}{2}$$
    یا
    $$x-4=0 \\
    x=4$$
    بنابراین این معادله دو پاسخ دارد: \(x=-\frac{3}{2}\) و \(x=4\) .

مبین (discriminant) به شما می گوید که آیا یک معادلۀ درجه دوم قابل فاکتورگیری می باشد یا خیر. روش 1 تنها در صورتی درست کار می کند که این معادله قابل فاکتورگیری باشد. روش تست سریع این مطلب به سادگی یک بشکن زدن می باشد. یک معادلۀ درجه دوم در صورتی قابل فاکتورگیری می باشد که مبین \(b^2-4ac\)، یک عدد مربع کامل همچون \(0\)، \(1\)، \(4\)، \(9\) ، \(16\)، \(25\)، و ... باشد. (این مبین چیزهای زیر رادیکال در فرمول حل معادلۀ درجه دوم می باشد. در روش 2 این فرمول را می بینید.)

به عنوان مثال، در این معادلۀ درجه دوم، \(2x^2-5x-12=0\)، داریم: \(a=2\)، \(b=-5\)، و \(c=-12\). در نتیجه \(b^2-4ac\) برابر با \((-5)^2-4(2)(-12) = 121\) خواهد بود. از آنجا که \(121\) یک مربع کامل می باشد \((11^2)\)، این معادلۀ درجه دوم قابل فاکتورگیری است. از آنجا که فاکتورگیری سه جمله ایها اغلب ساده و سریع است، انتخاب شما ممکن است این باشد که صرفاً به داخل مسأله شیرجه بزنید و بدون اینکه خودتان را با سنجش مبین به زحمت بیندازید، برای فاکتورگیری سعی کنید. اما اگر در حین فاکتورگیری گیر کردید، ایدۀ بدی نیست که مبین را درست آزمایی کنید تا زمان بیشتری را صرف یک معادلۀ غیرقابل فاکتورگیری نکنید. (اما خواه یک معادلۀ درجه دوم قابل فاکتورگیری باشد و خواه نباشد، شما همیشه می توانید آن را با فرمول حل معادلۀ درجه دوم که در ادامه آمده است، حل کنید.)

روش 2: فرمول حل معادلۀ درجه دوم


پاسخ یا پاسخهای یک معادلۀ درجه دوم، \(ax^2+bx+c=0\)، با فرمول معادلۀ درجه دوم (quadratic formula) بدست می آید:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
اکنون همان معادله ای را که در روش 1 دیدید، با فرمول معادلۀ درجه دوم حل کنید:

  1. همۀ جملات را به یک سمت معادله منتقل کنید و در سمت دیگر معادله صفر قرار دهید. $$2x^2-5x-12=0$$
  2. ضریب ها را در فرمول معادلۀ درجه دوم جایگذاری کنید.
    در این مثال، \(a\) برابر با \(2\)، \(b\) برابر با \(-5\)، و \(c\) برابر با \(-12\) می باشند، بنابراین داریم:
    $$
    x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4(2)(-12)}}{2 \cdot 2} \\
    =\frac{5 \pm \sqrt{25-(-96)}}{4} \\
    =\frac{5 \pm \sqrt{121}}{4} \\
    =\frac{5 \pm 11}{4} \\
    =\frac{16}{4} \text{ or } -\frac{6}{4} \\
    x=4 \text{ or } -\frac{3}{2}
    $$
    این پاسخها با پاسخهای بدست آمده از روش 1 مطابقت می کنند ـــ منطقی است، چرا که ما در واقع همان معادله را حل کرده ایم.

روش 3: کامل کردن مربع


سومین روش حل کردن معادلات درجه دوم، کامل کردن مربع (Completing the square) نامیده می شود، زیرا این روش شامل ایجاد یک سه جمله ای مربع کامل می باشد که شما می توانید آن را با بدست آوردن جذرش حل کنید.

معادلۀ زیر را حل کنید:
$$3x^2=24x+27$$
  1. جملات دارای \(x^2\) و \(x\) را در یک سمت و جملۀ ثابت را در سمت دیگر معادله قرار دهید. $$3x^2-24x=27$$
  2. هر دو سمت را بر ضریب \(x^2\) تقسیم کنید (مگر اینکه مسلماً این ضریب برابر با \(1\) باشد). $$x^2-8x=9$$
  3. نصف ضریب \(x\) را بدست آورید، آن را مربع سازید، سپس آن را به هر دو سمت معادله بیفزایید.
    نصف \(-8\) می شود \(-4\) و \((-4)^2\) برابر با \(16\) است، بنابراین \(16\) را به هر دو سمت این معادله بیفزایید:
    $$x^2-8x+16=9+16$$
  4. سمت چپ معادله را به مربع یک دوجمله ای فاکتورگیری کنید. توجه داشته باشید که این فاکتور همیشه شامل همان عددی است که در مرحلۀ 3 می یابید (در این مثال این عدد \(-4\) است). $$(x-4)^2=25$$
  5. جذر هر دو سمت را بگیرید، یادتان نرود که یک علامت \(\pm\) در سمت راست قرار دهید. $$\sqrt{(x-4)^2} = \sqrt{25} \\
    x-4 = \pm 5$$
  6. پاسخها را بدست آورید. $$
    x=4\pm 5 \\
    x=9 \text{ or } -1
    $$



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.