هر تابعی می تواند با جابجایی افقی یا عمودی، سر و ته شدن به صورت افقی یا عمودی، یا کشیدن یا کوچک کردن افقی یا عمودی، به تابع مرتبط دیگری تبدیل گردد. من تبدیلات افقی را ابتدا انجام می دهم. تابع نمایی \(y=2^x\) را در نظر بگیرید. شکل 14-5 را ببینید.

تبدیلات افقی (Horizontal transformations)

تغییرات افقی با افزودن یک عدد به یا تفریق یک عدد از متغیر ورودی \(x\) یا با ضرب کردن \(x\) در عددی خاص، ایجاد می گردد. تمامی تبدیلات افقی، به استثنای بازتاب (reflection)، متضاد چیزی که انتظارش را دارید، کار می کنند: افزودن به \(x\) منجر می شود تا تابع به سمت چپ برود، تفریق از \(x\) منجر می شود تابع به سمت راست برود، ضرب کردن \(x\) در عددی بزرگتر از \(1\) تابع را کوچکتر می کند، و ضرب کردن \(x\) در عددی کوچکتر از \(1\) تابع را بسط می دهد. به عنوان مثال، نمودار \(y=2^{x+3}\) دارای همان شکل و جهتی است که نمودار موجود در شکل 14-5 نشان می دهد؛ صرفاً سه واحد به سمت چپ منتقل شده است. این تابع منتقل شده به جای اینکه از \((0,1)\) و \((1,2)\) عبور کند، از \((-3,1)\) و \((-2,2)\) عبور می کند. و نمودار \(y=2^{x-3}\) سه واحد در سمت راست \(y=2^x\) قرار دارد. تابع اصلی و هر دوی این تبدیلات در شکل 15-5 نشان داده شده اند.

اگر \(x\) در \(y=2^x\) را در \(2\) ضرب کنید، این تابع به صورت افقی با فاکتوری از \(2\) کوچکتر می شود. بنابراین هر نقطه ای بر روی این تابع جدید برابر با نصف فاصلۀ اصلی آن از محور \(y\) خواهد بود. مختصات \(y\) در هر نقطه بدون تغییر باقی خواهد ماند؛ مختصات \(x\) به نصف کاهش خواهد یافت. به عنوان مثال، \(y=2^x\) از نقطۀ \((1,2)\) عبور می کند، بنابراین \(y=2^{2x}\) از نقطۀ \((\frac{1}{2},2)\) عبور خواهد کرد؛ \(y=2^x\) از \((-4,\frac{1}{16})\) عبور می کند، پس \(y=2^{2x}\) از \((-2,\frac{1}{16})\) خواهد گذشت. ضرب کردن \(x\) در عددی کوچکتر از \(1\) تاثیر معکوسی دارد. هنگامی که \(y=2^x\) به \(y=2^{(\frac{1}{4})x}\) تبدیل شود، هر نقطه ای بر روی \(y=2^x\) به اندازۀ مسافتی \(4\) برابر آنچه که قبلاً بوده است، از محور \(y\) دور می شود. برای تجسم نمودار \(y=2^{(\frac{1}{2})x}\) ، تصور کنید نمودار \(y=2^x\) را در یک دستگاه مختصات قابل ارتجاع (کشسانی) دارید. این دستگاه مختصات را از سمت چپ و راست بگیرید و با فاکتوری از \(4\) آن را بکشید، همه چیز را از محور \(y\) دور کنید، اما محور \(y\) را در مرکز نگه دارید. اکنون نمودار \(y=2^{(\frac{1}{4})x}\) را دارید. این تبدیلات را بر روی ماشین حساب نموداریتان امتحان کنید.


آخرین تبدیل افقی بازتاب بر روی محور \(y\) می باشد. ضرب کردن \(x\) از \(y=2^x\) در \(-1\) آن را بر روی محور \(y\) بازتاب می دهد. به عنوان مثال، نقطۀ \((1,2)\) به \((-1,2)\) و نقطۀ \((-2,\frac{1}{4})\) به \((2,\frac{1}{4})\) تبدیل می شود. شکل 16-5 را ببینید.

تبدیلات عمودی (Vertical transformations)

برای تبدیل یک تابع به صورت عمودی، عددی را به کل تابع می افزایید یا آن عدد را از کل تابع تفریق می کنید یا کل آن تابع را در عددی ضرب می کنید. برای انجام چیزی بر روی کل تابع، فرض بگیرید تابع \(y=10^x\) باشد، تصور کنید که کل سمت راست این معادله داخل پرانتز باشد، مانند \(y=(10^x)\). اکنون، تمامی تبدیلات عمودی با قرار دادن یک عدد جایی در سمت راست معادله، و بیرون از پرانتزها، صورت می پذیرد. (اغلب، شما در واقع نیاز به این پرانتزها ندارید، اما گاهی اوقات پرانتزها ضرورت می یابند.) برخلاف تبدیلات افقی، تبدیلات عمودی به شیوه ای که انتظار دارید کار می کنند: افزودن منجر به بالا رفتن تابع می شود، تفریق آن را پایین می آورد، و ضرب کردن آن در عددی کوچکتر از \(1\) آن تابع را کوچکتر می کند. به عنوان مثال، تبدیلات زیر در تابع \(y=10^x\) را در نظر بگیرید:

• \(y=10^x+6\) تابع اصلی را \(6\) واحد بالا می برد.
  
• \(y=10^x-2\) تابع اصلی را \(2\) واحد پایین می آورد.
  
• \(y=5 \cdot 10^x\) تابع اصلی را به صورت عمودی با فاکتوری از \(5\) منبسط می کند (کِش می آورد).
  
• \(y=\frac{1}{3} \cdot 10^x\) تابع اصلی را به صورت عمودی با فاکتوری از \(3\) منقبض می کند (کوچکتر می کند).
  

ضرب کردن این تابع در \(-1\) آن را بر روی محور \(x\) بازتاب می دهد، یا، به عبارت دیگر آن را سروته می کند. این تبدیلات را بر روی ماشین حساب نموداریتان بررسی کنید.

همانطور که در بخش پیشین دیدید، تبدیلات افقی تنها مختصات های \(x\) از نقاط را تغییر می دهند، و مختصات های \(y\) دست نخورده باقی می مانند. برعکس آن، تبدیلات عمودی، تنها مختصات های \(y\) از نقاط را تغییر می دهند، و مختصات های \(x\) بدون تغییر باقی می مانند.