خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


دو مثلث قائم الزاویۀ خاص

دو مثلث قائم الزاویۀ خاص
نویسنده : امیر انصاری
از آنجا که بسیاری از مسأله های حسابان شامل زوایای \(30^{\circ}\)، \(45^{\circ}\)، و \(60^{\circ}\) می باشند، فکر خوبی است که دو مثلث قائم الزاویۀ نشان داده شده در شکل 2-6 را به یاد داشته باشید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



دو مثلث قائم الزاویۀ خاص

مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\)


هر مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) شکل یک مربع است که در امتداد قطر آن به دو نیم تقسیم شده است. مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) موجود در شکل 2-6 نصفِ یک مربع \(1\) در \(1\) است. قضیۀ فیثاغورث به شما می گوید که طول وتر این مثلث برابر با \(\sqrt{2}\) یا در حدود \(1.41\) می باشد.

قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean theorem): در هر مثلث قائم الزاویه رابطۀ \(a^2+b^2=c^2\) برقرار است، که در آن \(a\) و \(b\) طول ساق های این مثلث (اضلاعی که زاویۀ قائمه را شکل می دهند) و \(c\) طول وتر آن می باشد.

هنگامی که توابع مثلثاتی SohCahToa و کسرهای متقابل آنها را بر روی این زاویۀ \(45^{\circ}\) در مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) بکار می گیرید، به مقادیر مثلثاتی زیر می رسید:
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\sin 45^{\circ} = \frac{O}{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71 & \csc 45^{\circ} = \frac{H}{O} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} \approx 1.41 \\ \hline
\cos 45^{\circ} = \frac{A}{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71 & \sec 45^{\circ} = \frac{H}{A} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} \approx 1.41 \\ \hline
\tan 45^{\circ}=\frac{O}{A}=\frac{1}{1}=1&\cot 45^{\circ}=\frac{A}{O}=\frac{1}{1}=1 \\\hline
\end{array}
$$

مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\)


هر مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) برابر با نصفِ یک مثلث متساوی الاضلاع می باشد که مستقیم از وسط آن در امتداد ارتفاعش بریده شده باشد.

مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) موجود در شکل 2-6 نصف یک مثلث متساوی الاضلاع \(2\) در \(2\) در \(2\) می باشد. این مثلث دارای ساق هایی به طول \(1\) و \(\sqrt{3}\) (درحدود \(1.73\))، و وتری با طول \(2\) واحد می باشد.

مرتکب این اشتباه رایج نشوید که در یک مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\)، \(2\) را با \(\sqrt{3}\) تعویض کنید. یادتان باشد که \(2\) از \(\sqrt{3}\) بزرگتر است (\(\sqrt{4}\) برابر با \(2\) است، بنابراین \(\sqrt{3}\) باید از \(2\) کوچکتر باشد) و وتر همواره طولانی ترین ضلع در هر مثلث قائم الزاویه می باشد.

هنگامی که یک مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) را ترسیم می کنید، روی این واقعیت که عرض آن از ارتفاع اش بیشتر است، اغراق کنید (یا اگر آن را یک وری کرده اید، ارتفاع آن بیشتر از عرضش است). این کار منجر می گردد تا واضحاً مشخص شود که ضلع کوتاهتر (با طول \(1\)) روبروی زاویۀ کوچکتر (زاویۀ \(30^{\circ}\)) می باشد.

در اینجا مقادیر مثلثاتی برای زاویۀ \(30^{\circ}\) در یک مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) را داریم:
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\sin 30^{\circ} = \frac{O}{H} = \frac{1}{2} & \csc 30^{\circ} = \frac{H}{O} = \frac{2}{1} = 2 \\ \hline
\cos 30^{\circ} = \frac{A}{H} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87 & \sec 30^{\circ} = \frac{H}{A} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.15 \\ \hline
\tan 30^{\circ}=\frac{O}{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58 &\cot 30^{\circ}=\frac{A}{O}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} \approx 1.73 \\ \hline
\end{array}
$$
مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) با یک تیر دو نشان می زند، زیرا مقادیر توابع مثلثاتی برای زاویۀ \(60^{\circ}\) را نیز به شما می دهد. دوباره به شکل 2-6 بنگرید. برای زاویۀ \(60^{\circ}\) ، ضلع دارای طول \(\sqrt{3}\) هم اکنون، ضلع مقابل است و ضلع دارای طول \(1\) واحد ضلع مجاور زاویۀ \(60^{\circ}\) است، و ضلع دارای طول \(2\) واحد، هنوز هم، مسلماً، وتر است. حالا دوباره از SohCahToa استفاده کنید تا مقادیر توابع مثلثاتی برای زاویۀ \(60^{\circ}\) را بیابید:
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\sin 60^{\circ} = \frac{O}{H} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87 & \csc 60^{\circ} = \frac{H}{O} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.15 \\ \hline
\cos 60^{\circ} = \frac{A}{H} = \frac{1}{2} & \sec 60^{\circ} = \frac{H}{A} = \frac{2}{1} = 2 \\ \hline
\tan 60^{\circ}=\frac{O}{A}=\frac{\sqrt{3}}{1}= \sqrt{3} \approx 1.73 &\cot 60^{\circ}=\frac{A}{O}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58 \\ \hline
\end{array}
$$
ابزار یادآوری SohCahToa، همراه با دو مثلث قائم الزاویۀ خاص که به یادآوری آنها بسیار آسان می باشد و در شکل 2-6 نشان داده شده اند، پاسخها \(18\) تابع مثلثاتی را به شما می دهند!



نمایش دیدگاه ها (2 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.