خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


حد (Limit)

حد (Limit)
نویسنده : امیر انصاری
حدها (Limits) هم برای حساب دیفرانسیل و هم برای حساب انتگرال، بنیادین می باشند. تعریف رسمی یک مشتق (derivative) شامل یک حد است، کما اینکه تعریف یک انتگرال معین (definite integral) همینطور است. (اگر شما شخص واقعاً فعال و زرنگی هستید و نمی توانید برای خواندن تعاریف واقعی صبر کنید، فصل های 9 و 13 را بررسی کنید.) اکنون، روشن می شود که بعد از یادگیری میانبرهایی برای محاسبۀ مشتق ها و انتگرال ها، دیگر نیازی به استفاده از روش های طولانی تر حد ندارید. با این وجود، یادگیری ریاضیات حدها مهم است زیرا بنیادی را تشکیل می دهد که معماری وسیعی از حسابان بر روی آن ساخته شده است (اوکی، من کمی هیجان زده شده ام). در این فصل، با بررسی حدها و موضوع کاملاً مرتبط با آن یعنی پیوستگی، من زمینه را برای مشتق گیری (differentiation) و انتگرال گیری (integration) آماده می کنم.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



حد (Limit)


حدها می توانند مهارت آمیز باشند. اگر مفهوم آن را فوراً متوجه نشدید، نگران نباشید.

تعریف غیررسمیِ حد: (تعریف رسمی آن را به زودی خواهیم گفت). حد یک تابع (اگر حد داشته باشد) برای برخی مقادیر \(x\) در \(c\)، ارتفاعی است که همچنان که \(x\) از چپ و راست به \(c\) نزدیک و نزدیکتر می شود، این تابع به آن نزدیک و نزدیکتر می شود. (توجه: این تعریف برای حدهایی که در آنها \(x\) به مثبت بی نهایت یا منفی بی نهایت نزدیک می شود، کاربرد ندارد. در مورد آن حدها در ادامۀ همین فصل و در فصل 8 اطلاعات بیشتری ارائه خواهد شد.)

متوجه شدید؟ شوخی می کنید! اجازه دهید آن را به روش دیگری بگویم. یک تابع دارای یک حد برای یک مقدار \(x\) مشخص که آن را \(c\) می نامیم می باشد، اگر همینطور که \(x\) به آن مقدار داده شدۀ \(c\) از چپ و راست نزدیک و نزدیکتر می شود، آن تابع ارتفاع خاصی را نشانه برود. آیا کمکی به درک مطلب کرد؟ من که فکر نمی کنم. یادگیری حد به واسطۀ مثال ها بسیار ساده تر از یادگیری آن به واسطۀ این نوع تعاریف نامفهوم می باشد، بنابراین بیایید نگاهی به چند مثال بیندازیم.

استفاده از سه تابع برای توصیف چند حد


تابع \(f(x)=3x+1\) در سمت چپ شکل 1-7 را در نظر بگیرید. هنگامی که ما می گوییم، حد \(f(x)\) همینطور که \(x\) به \(2\) نزدیک می شود، برابر با \(7\) است، و آن را به شکل \(\lim \limits_{x \to 2} f(x)=7\) ، منظورمان اینست که همچنان که \(x\) از چپ و راست به \(2\) نزدیک و نزدیکتر می شود، \(f(x)\) به ارتفاع \(7\) نزدیک و نزدیکتر می گردد. در ضمن، تا آنجا که من می دانم، عدد \(2\) در این مثال، هیچ نام رسمی ندارد، اما من آن را عدد فلش (arrow-number) می نامم. عدد فلش یک موقعیت افقی در جهت \(x\) به شما می دهد. آن را با پاسخ مسالۀ حد یا اگر ساده تر بگویم با حد، اشتباه نگیرید، هر دوی اینها به یک مقدار \(y\) یا ارتفاع این تابع (در این مثال \(7\)) اشاره می کنند. اکنون به جدول 1-7 بنگرید.

حد (Limit)
جدول 1-7 نشان می دهد که همینطور که \(x\) از چپ و راست به \(2\) نزدیک می شود، \(y\) به \(7\) نزدیک می شود، و ازینرو این حد برابر با \(7\) است. اگر با خودتان می اندیشید که اینهمه غوغا برای چیست ـــ چرا فقط عدد \(2\) را در \(x\) جایگذاری نمی کنید تا تابع \(f(x)=3x+1\) را حل کنید و به پاسخ \(7\) برسید. در واقع، اگر تمامی توابع مانند \(f\) پیوسته (continuous) باشند، شما می توانید عدد فلش را جایگذاری کنید تا به پاسخ برسید، و این نوع از مسأله های حد اساساً بی معنی خواهند بود. ما به دلیل وجود توابع ناپیوسته (discontinuous) همانند \(g\) و \(h\) که در آنها حفره هایی وجود دارند، نیاز به استفاده از حد داریم.

تابع \(g\) در وسط شکل 1-7 با \(f\) یکسان است، به استثناء اینکه حفره ای در نقطۀ \((2,7)\) دارد و نقطۀ \((2,5)\) نیز جزء تابع است. در واقع، این تابع، \(g(x)\)، هرگز در یک مسالۀ معمولی حسابان ظاهر نخواهد شد ـــ من صرفاً برای توصیف چگونگی کارکرد حد از آن استفاده کرده ام. (به خواندن ادامه بدهید. من نیاز به زمینه چینی بیشتری دارم تا شما متوجه شوید به چه دلیل این تابع را در مثالها گنجانده ام.)

توابع مهم در حسابان توابعی همچون تابع \(h\) در سمت راست شکل 1-7 می باشند، که در مطالعۀ مشتق ها (derivatives) به وفور یافت می شوند. این تابع سوم با \(f(x)\) یکسان است، به استثناء اینکه نقطۀ \((2,7)\) از آن حذف شده است، یک حفره در \((2,7)\) ایجاد شده است و هیچ نقطۀ دیگری در این تابع نداریم که \(x\) آن برابر با \(2\) باشد.

تصور کنید که جدول ورودی ها و خروجی ها برای \(g(x)\) و \(h(x)\) چگونه خواهد بود. آیا می بینید که این مقادیر با مقادیر موجود در جدول 1-7 برای تابع \(f(x)\) یکسان خواهد بود؟ در هر دو تابع \(g\) و \(h\)، همینطور که \(x\) از چپ و راست به \(2\) نزدیک و نزدیکتر می شود، \(y\) به ارتفاع \(7\) نزدیک و نزدیکتر می گردد. در هر سه تابع بالا، همچنانکه \(x\) به \(2\) نزدیک می شود، حد برابر با \(7\) می باشد.

این ما را به یک نقطۀ بحرانی می رساند: چه زمانی تعیین حد یک تابع همینطور که \(x\) به مقدار مثلاً \(2\) نزدیک می شود، مقدار \(f(2)\) کاملاً بی ربط است ـــ یا حتی اینکه \(f(2)\) اصلاً وجود دارد. به هر سه تابع بالا در جاییکه \(x=2\) است، دوباره بنگرید: \(f(2)\) برابر با \(7\) است، \(g(2)\) برابر با \(5\) است، و \(h(2)\) وجود ندارد (یا همانطور که ریاضیدانان می گویند، تعریف نشده است). اما، باز هم، این سه نتیجه بی ربط هستند و تأثیری در پاسخ این مسالۀ حد ندارند.

شما به حد نمی رسید. در یک مسالۀ حد، \(x\) به عدد فلش \(c\) نزدیک و نزدیکتر می شود، اما به لحاظ فنی هرگز به آنجا نمی رسد، و چیزی که در زمان برابر بودن \(x\) با عدد فلش \(c\)، برای تابع رُخ می دهد، تاثیری در پاسخ مسالۀ حد ندارد (با این وجود در مورد توابع پیوسته مانند \(f(x)\) مقدار تابع برابر با پاسخ حد است و بدین ترتیب می تواند برای محاسبۀ پاسخ حد مورد استفاده قرار گیرد).

حدهای یکطرفه (one-sided limits)


حدهای یکطرفه درست مانند حدهای دوطرفۀ معمولی کار می کنند، با این استثناء که \(x\) فقط از سمت چپ یا فقط از سمت راست به عدد فلش \(c\) نزدیک می شود. مهمترین دلیل چنین حدهایی اینست که آنها در تعریف رسمی یک حد معمولی مورد استفاده قرار گرفته اند.

برای نشان دادن یک حد یکطرفه، در زمانی که \(x\) از سمت چپ به عدد فلش نزدیک می شود، یک بالانویس کوچک علامت تفریق بر روی عدد فلش قرار می دهید، و در زمانی که \(x\) از سمت راست به عدد فلش نزدیک می شود، یک بالانویس با علامت جمع بر روی عدد فلش قرار می دهید. اینگونه:
$$\lim \limits_{x \to 5^-} f(x) \text{ or } \lim \limits_{x \to 0^+} g(x)$$
به شکل 2-7 بنگرید. پاسخ مسالۀ حد معمولی، \(\lim \limits_{x \to 3} p(x)\)، وجود ندارد، زیرا همینطور که \(x\) از سمت چپ و راست به \(3\) نزدیک می شود، \(p(x)\) به ارتفاع یکسانی نشانه نمی رود.

حد (Limit)
با این وجود، هر دو حدهای یک طرفه موجودند. همینطور که \(x\) از سمت چپ به \(3\) نزدیک می شود، \(p(x)\) ارتفاع \(6\) را نشانه می گیرد، و هنگامی که \(x\) از سمت راست به \(3\) نزدیک می شود، \(p(x)\) ارتفاع \(2\) را نشانه روی می کند. مانند حدهای معمولی، مقدار \(p(3)\) تاثیری بر روی پاسخ هر کدام از این مسأله های حد یکطرفه ندارد. ازینرو:
$$\lim \limits_{x \to 3^-} p(x) = 6 \text{ and } \lim \limits_{x \to 3^+} p(x) = 2$$
تابعی همچون \(p(x)\) در شکل 2-7 تابع قطعه به قطعه (piecewise function) نامیده می شود، زیرا دارای تکه های جداگانه می باشد. هر بخش از تابع قطعه به قطعه، معادلۀ خودش را دارد ـــ به عنوان مثال، تابع سه قطعه ای زیر را ببینید:
$$
y = \begin{cases}
x^2 & \text{ for } & x \le 1 \\
3x-2 & \text{ for } & 1 \lt x \le 10 \\
x+5 & \text{ for } & x \gt 10
\end{cases}
$$
گاهی اوقات یک تکه از تابع قطعه به قطعه به تکۀ مجاورش متصل است، که در اینصورت تابع در آنجا پیوسته می باشد. و گاهی اوقات، همانند \(p(x)\)، یک تکه به تکۀ مجاورش متصل نمی شود ـــ نتیجه اش ناپیوستگی می شود.

تعریف رسمی حد


حالا که در مورد حدهای یکطرفه می دانید، می توانم تعریف رسمی ریاضی یک حد را به شما بگویم. بفرمایید:

تعریف رسمی حد: اجازه دهید \(f\) یک تابع و \(c\) یک عدد حقیقی باشد.

\(\lim \limits_{x \to c} f(x)\) فقط و فقط در صورتی وجود دارد که:

  1. \(\lim \limits_{x \to c^-} f(x)\) وجود داشته باشد،
  2. \(\lim \limits_{x \to c^+} f(x)\) وجود داشته باشد، و
  3. \(\lim \limits_{x \to c^-} f(x) = \lim \limits_{x \to c^+} f(x)\)

کتابهای حسابان همواره این را به شکل یک آزمون سه بخشی برای وجود یک حد ارائه می دهند، اما شرط سوم تنها چیزی است که نیاز است در موردش نگران باشید، زیرا \(1\) و \(2\) در \(3\) جاساز شده اند. شما صرفاً باید یادتان باشد که اگر سمت چپ و راست این معادله تعریف نشده یا ناموجود باشد، نمی توانید شرط \(3\) را برآورده سازید؛ به عبارت دیگر \(\text{undefined}=\text{undefined}\) یا \(\text{nonexistent}=\text{nonexistent}\) صحیح نمی باشند. (من فکر می کنم این دلیلی است که چرا کتابهای درسی حسابان از این تعریف سه بخشی استفاده کرده اند.) مادامیکه آن را به درستی درک کنید، شرط 3 تمام چیزی است که برای این درست آزمایی به آن نیاز دارید.

یادداشت مترجم: undefined به معنی تعریف نشده و nonexistent به معنای ناموجود می باشد.

هنگامی که می گوییم یک حد وجود دارد، بدین معناست که آن حد برابر با یک عدد متناهی (finite number) است. برخی از حدها برابر با بی نهایت یا منفی بی نهایت می باشند، اما با این وجود شما نمی گویید که آنها وجود ندارند. این ممکن است عجیب به نظر آید، اما حرف ما را بپذیرید. (در بخش بعدی در مورد حدهای بی نهایت بیشتر خواهید دانست.)

حدها و خطهای مجانب عمودی


یک تابع گویا (rational function) مانند \(f(x)=\frac{(x+2)(x-5)}{(x-3)(x+1)}\) دارای خطهای مجانب عمودی (vertical asymptotes) در \(x=3\) و \(x=-1\) می باشد. خط های مُجانب (asymptotes) را بیاد می آورید؟ آنها خطهایی خیالی هستند که نمودار یک تابع همچنان که رو به سمت بالا، پایین، چپ، یا راست به سمت بی نهایت یا منفی بی نهایت می رود، به آن خطها نزدیک و نزدیکتر می شود. \(f(x)\) در شکل 3-7 نشان داده شده است.

حد (Limit)
حد این تابع را در شکل 3-7 ،همچنانکه \(x\) به \(3\) نزدیک می شود، در نظر بگیرید. همچنانکه \(x\) از سمت چپ به \(3\) نزدیک می شود، \(f(x)\) رو به بالا و بی نهایت می رود، و همینطور که \(x\) از سمت راست به \(3\) نزدیک می شود، \(f(x)\) رو به پایین و منفی بی نهایت می رود. گاهی اوقات نشان دادن این با نوشتن، حاوی اطلاعات مفیدی خواهد بود:
$$\lim \limits_{x \to 3^-} f(x) = \infty \text{ and } \lim \limits_{x \to 3^+} f(x) = -\infty$$
اما همچنین صحیح است که بگوییم هر دوی این حدها وجود ندارند، زیرا بی نهایت یک عدد حقیقی نمی باشد. و اگر از شما خواسته شود تا حد معمولیِ دو طرفه را برای \(\lim \limits_{x \to 3} f(x)\) تعیین کنید، شما انتخاب دیگری جز اینکه بگویید آن حد موجود نیست، ندارید، زیرا حدها از سمت چپ و از سمت راست نابرابرند.

حدها و خطهای مجانب افقی


تا حالا، من حدهایی را مورد بررسی قرار دادم که در آنها \(x\) به یک عدد معمولیِ متناهی نزدیک می شد. اما \(x\) می تواند به بی نهایت یا منفی بی نهایت نیز میل کند. حدها در بی نهایت زمانی وجود دارند که یک تابع دارای یک خط مجانب افقی باشد. به عنوان مثال، تابع موجود در شکل 3-7 یک خط مجانب افقی در \(y=1\) دارد، که همچنان که تابع به سمت بی نهایت در سمت راست و منفی بی نهایت در سمت چپ می رود، به آن نزدیک و نزدیکتر می شود. (در حال حرکت به سمت چپ، این تابع از این خط مجانب افقی در \(x=-7\) عبور می کند و سپس تدریجاً رو به پایین و خط مجانب می رود. در حال رفتن به سمت راست، این تابع زیر این خط مجانب می ماند و به تدریج رو به بالا و به سمت آن می آید.) این حدها برابر با ارتفاع این خط مجانب افقی می باشند و به شکل زیر نوشته می شوند:
$$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = 1 \text{ and } \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = 1$$
در فصل 8 شما حدهای بیشتری در بی نهایت را خواهید دید.

محاسبۀ سرعت لحظه ای با حدها


اگر تا اینجا چُرت می زدید، بیدار شوید! مسالۀ زیر، که در نهایت به یک مسالۀ حد تبدیل می شود، شما را به آستانۀ حسابان می آورد. فرض کنید تصمیم گرفته اید که یک توپ را از پنجرۀ طبقۀ دومتان بیرون بیندازید. در اینجا فرمولی داریم که به شما می گوید بعد از تعداد معینی ثانیه، آن توپ چه مسافتی را طی می کند (مقاومت هوا نادیده گرفته شده است):
$$h(t)=16t^2$$
(در این فرمول \(h\) ارتفاع این توپ در حال سقوط در واحد فوت است، و \(t\) مدت زمان سپری شده از رها کردن این توپ در واحد ثانیه است)

اگر \(1\) را در \(t\) جایگذاری کنید، \(h\) برابر با \(16\) خواهد بود؛ بنابراین این توپ در طول ثانیۀ اول \(16\) فوت سقوط می کند. در طول \(2\) ثانیۀ اول، این توپ مجموعاً برابر \(16 \cdot 2^2\) یا \(64\) فوت سقوط می کند، و به همین ترتیب. اکنون، چیزی که از شما خواسته می شود اینست که سرعت دقیق این توپ را \(1\) ثانیه بعد از اینکه رهایش کردید، تعیین کنید؟ شما می توانید با این فرمول قابل اعتماد کار را آغاز کنید:

فرمول مسافت و فرمول سرعت: $$
\text{Distance} = \text{rate} \cdot \text{time} \\
\text{Rate} = \frac{\text{distance}}{\text{time}}
$$
Distance: مسافت
Rate: نرخ (سرعت)
time: زمان

با استفاده از فرمول سرعت، شما بسادگی می توانید سرعت میانگین در طول ثانیۀ دوم سقوط را بدست آورید. از آنجا که بعد از \(1\) ثانیه \(16\) فوت سقوط می کند و بعد از \(2\) ثانیه، مجموعاً \(64\) فوت سقوط می کند، میزان سقوط آن \(64-16\) یا \(48\) فوت از \(t=1\) تا \(t=2\) ثانیه است. فرمول زیر سرعت میانگین را به شما می دهد:
$$
\text{Average speed} = \frac{\text{total distance}}{\text{total time}} \\
=\frac{64-16}{2-1} \\
=48 \text{ feet per second}
$$
Average speed: سرعت میانگین
total distance: مجموع مسافت
total time: مجموع زمان
feet per second: فوت بر ثانیه

اما این پاسخی که می خواهید نیست، این توپ بعد از اینکه رها می شود، سریعتر و سریعتر سقوط می کند، و شما می خواهید سرعت دقیق آن را \(1\) ثانیه بعد از اینکه رهایش کردید، بدانید. این توپ بین \(1\) و \(2\) ثانیه سرعت می یابد، بنابراین این سرعت میانگین \(48\) فوت بر ثانیه در طول دومین ثانیه مسلماً از سرعت لحظه ای (instantaneous speed) در پایان ثانیۀ اول بیشتر است. برای اینکه تخمین بهتری بزنید، سرعت میانگین بین \(t=1\) ثانیه و \(t=1.5\) ثانیه را محاسبه کنید. بعد از \(1.5\) ثانیه، این توپ به میزان \(16 \cdot 1.5^2\) یا \(36\) فوت سقوط می کند، بنابراین از \(t=1\) تا \(t=1.5\)، این توپ \(36-16\) یا \(20\) فوت سقوط می کند. ازینرو سرعت میانگین آن برابر است با:
$$
\text{Average speed}=\frac{36-16}{1.5-1} \\
=40 \text{ feet per second}
$$
اگر این فرآیند را برای زمانهای سپری شدۀ یک چهارم ثانیه، یک دهم ثانیه، سپس یک صدم، یک هزارم، و یک ده هزارم ثانیه ادامه بدهید، به میانگین سرعت های نشان داده شده در جدول 2-7 می رسید.

حد (Limit)
همینطور که \(t\) به \(1\) ثانیه، نزدیک و نزدیکتر می شود، به نظر می رسد که سرعت میانگین به \(32\) فوت بر ثانیه نزدیکتر می شود.

در اینجا فرمولی داریم که برای تولید اعداد موجود در جدول 2-7 مورد استفاده قرار داده ایم. این فرمول، سرعت میانگین بین \(1\) ثانیه و \(t\) ثانیه را به شما می دهد:
$$
\text{Average speed}=\frac{16t^2-16 \cdot 1^2}{t-1} \\
=\frac{16(t^2 - 1)}{t-1} \\
= \frac{16(t-1)(t+1)}{t-1} \\
= 16t + 16 (\text{ where } t \ne 1)
$$
(یادتان باشد که در خط یکی مانده به آخر، آن \(t\) نمی تواند برابر با \(1\) باشد، زیرا منجر می شود تا صفر در مخرج کسرِ معادلۀ اصلی قرار گیرد. این محدودیت حتی بعد از اینکه \(t-1\) را خط زدید، به قوت خود باقی می ماند.)

شکل 4-7 نمودار این تابع را به شما نشان می دهد.

حد (Limit)
این نمودار، با نمودار خط \(y=16t+16\) یکسان است، با این استثناء که یک حفره در \((1,32)\) وجود دارد. این حفره به این دلیل در آنجا قرار دارد که اگر شما \(1\) را در \(t\) در فرمول سرعت میانگین جایگذاری کنید، به نتیجۀ زیر می رسید:
$$\text{Average speed } = \frac{16(1^2-1)}{1-1}=\frac{0}{0}$$
که تعریف نشده است. و چرا \(\frac{0}{0}\) را بدست می آورید؟ زیرا سعی دارید تا یک سرعت میانگین را از \(t=1\) تا \(t=1\) تعیین کنید ـــ که برابر با مجموع مسافت تقسیم بر زمان سپری شده می باشد. اما از \(t=1\) تا \(t=2\)، مسلماً هیچ زمانی وجود ندارد، و در طول این نقطه از زمان، این توپ هیچ مسافتی را طی نمی کند، شما از \(t=1\) تا \(t=1\) به \(\frac{\text{zero feet}}{\text{zero seconds}}\) به عنوان سرعت میانگین، دست پیدا می کنید.

مسلماً در اینجا یک مسأله وجود دارد. برای آنچه که در ادامه می آید آماده باشید، شما به یکی از نقاط خیلی جالب در توسعۀ حساب دیفرانسیل (differential calculus) رسیده اید.

تعریف سرعت لحظه ای (instantaneous speed): سرعت لحظه ای به عنوان حد سرعت میانگین همچنانکه زمان سپری شده به صفر میل می کند، می باشد.

در مورد مسالۀ توپ در حال سقوط، شما دارید:
$$\text{instantaneous speed}_{\text{at } t = 1 \text{ seconds}}=\lim \limits_{t \to 1} \frac{16(t^2-1)}{t-1} \\
=\lim \limits_{t \to 1} \frac{16(t-1)(t+1)}{t-1} \\
=\lim \limits_{t \to 1} (16t+16) \\
= 32 \text{ feet per secons}
$$
این حقیقت که زمان سپری شده هرگز به صفر نمی رسد، بر روی دقت پاسخ به این مسالۀ حد تاثیری ندارد ـــ پاسخ دقیقاً برابر با \(32\) فوت بر ثانیه می باشد، ارتفاع حفره در شکل 4-7 . چیز قابل توجه در مورد حدها اینست که شما را قادر می سازند تا سرعت دقیق در یک نقطۀ واحد از زمان را با گرفتن حد تابعی که مبتنی بر زمان سپری شده است، یعنی یک دوره بین دو نقطه از زمان، را محاسبه کنید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.