مشتق یک منحنی

بخش هایی که تا اینجای این فصل دیده اید شامل توابع خطی (linear functions) بودند ـــ خطهای راست با شیب بدون تغییر. اما اگر تمامی توابع و نمودارها خطهایی با شیب بدون تغییر می بودند، نیازی به حسابان نبود. مشتق تابع لورل و هاردی که پیشتر در همین فصل نمودارش را دیدید، برابر با $2$ بود، اما برای تعیین شیب یک خط، نیازی به حسابان ندارید. حسابان ریاضیات تغییر است، بنابراین الان زمان خوبی برای پرداختن به موضوع سهمی ها (parabolas) می باشد، منحنی هایی با شیب های متغیر. شکل 7-9 نمودار سهمی (شلجمی) $y=\frac{1}{4}x^2$ می باشد.

توجه کنید که همینطور که به سمت راست می روید، چگونه این سهمی تندتر و تندتر می شود. شما از روی این نمودار می توانید ببینید که نقطۀ $(2,1)$، دارای شیب $1$ است؛ در $(4,4)$ شیب برابر با $2$ است؛ در $(6,9)$ این شیب برابر با $3$ است، و به همین ترتیب. برخلاف شیب بدون تغییر یک خط، شیب یک سهمی به این بستگی دارد که در کجای آن قرار دارید؛ آن بستگی به مختصات $x$ از جایی که بر روی سهمی هستید، دارد. بنابراین، مشتق (یا شیب) تابع $y=\frac{1}{4}x^2$ خودش تابعی از $x$ است ـــ یعنی $\frac{1}{2}x$ (اینکه چگونه به این عدد رسیده ام را در ادامه به شما نشان می دهم). برای یافتن شیب این منحنی در هر نقطه ای، شما صرفاً مختصات $x$ آن نقطه را در این مشتق $\frac{1}{2}x$ جایگذاری می کنید، و آن شیب را بدست می آورید. به عنوان مثال، اگر شیب را در نقطۀ $(3,2.25)$ بخواهید، $3$ را در $x$ جایگذاری کنید، و این شیب برابر با $\frac{1}{2}$ ضربدر $3$ ، یعنی $1.5$ خواهد بود. جدول 2-9 چندین نقطه بر روی این سهمی و میزان تندی آن نقاط را نشان می دهد.

نحوۀ نگارش این مشتق در حسابان اینگونه است:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x \text{ or } y'=\frac{1}{2}x$$
و می گویید:
مشتق تابع $y=\frac{1}{4}x^2$ برابر است با $\frac{1}{2}x$ .
یا می توانید فقط بگویید:
مشتق $y=\frac{1}{4}x^2$ برابر است با $\frac{1}{2}x$ .

من به شما قول داده بودم که بگویم، چگونه این مشتق را از $y=\frac{1}{4}x^2$ استخراج کرده ام، پس بفرمایید:

با تابع اصلی کار را آغاز کنید، $\frac{1}{4}x^2$ ، توان را بردارید و آن را در ابتدای عبارت به عنوان ضریب قرار دهید.
ضرب کنید.
$2$ ضربدر $\frac{1}{4}$ برابر با $\frac{1}{2}$ است، بنابراین نتیجۀ $\frac{1}{2}x^2$ را به شما می دهد.
توان را $1$ واحد کاهش دهید.
در این مثال، $2$ تبدیل به $1$ می شود. بنابراین این مشتق برابر است با $\frac{1}{2}x^1$ یا فقط $\frac{1}{2}x$ .