دوباره به ارتباط بین شیب ها و نرخ ها باز می گردیم، شیب صرفاً نمایش بصری یک نرخ می باشد: شیب، \(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) ، صرفاً به شما می گوید این نرخ در کدام \(y\) در مقایسه با \(x\) تغییر می کند. به عنوان مثال، اگر مختصات \(y\) مسافت پیموده شده (در واحد مایل) را به شما بگوید، و مختصات \(x\) زمان سپری شده (در واحد ساعت) را به شما بگوید، شما به نرخ آشنایِ مایل بر ساعت (miles per hour) می رسید.





هر خط قاطع (secant line) در شکل 9-9 و 10-9 دارای شیبی است که با فرمول \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) تعیین می شود. این شیب، نرخ میانگین (average rate) در بازۀ \(x_1\) تا \(x_2\) می باشد. اگر \(y\) در واحد مایل و \(x\) در واحد ساعت باشد، شما سرعت میانگین در واحد مایل بر ساعت را در طول بازۀ زمانی از \(x_1\) تا \(x_2\) بدست می آورید.

هنگامی که حد و شیب خط مماس را بدست می آورید، نرخ لحظه ای (Instantaneous Rate) را در نقطۀ \((x_1,y_1)\) بدست می آورید. دوباره، اگر \(y\) در واحد مایل و \(x\) در واحد ساعت باشند، شما سرعت لحظه ای در آن نقطۀ واحد را در زمان \(x_1\) بدست می آورید. از آنجا که شیب آن خط مماس برابر با مشتق است، این تعریف دیگری از مشتق را به شما می دهد.