خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


قوانین پایه ای مشتق گیری

قوانین پایه ای مشتق گیری
نویسنده : امیر انصاری
فصل 9 مفهوم اصلی اینکه یک مشتق چیست را به شما داد ـــ مشتق صرفاً یک نرخ مانند سرعت است و به سادگی شیب یک تابع است. مهم است که درک استوار و مستقیمی از این مفاهیم بنیادی داشته باشید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



شما همچنین هم اکنون شالودۀ ریاضی مشتق و تعریف فنی آن شامل حد در خارج قسمت تفاضلی را می دانید. اکنون، شاید برای گفتن چیزی که قصد گفتنش را دارم، برای همیشه از ورود به جمع ریاضیدانان ممنوع گردم، اما برای اینکه کاملاً صادق باشم می گویم، شما در واقع می توانید آن چیزهای مربوط به حد را فراموش کنید ـــ به استثناء اینکه برای پاس کردن امتحان نهایی تان نیاز به دانستنش دارید ـــ زیرا در این فصل به شما تکنیک های میانبری را یاد می دهم که با استفاده از آنها می توانید مشتق های را با نادیده گرفتن مشکلات حدها و خارج قسمت های تفاضلی بدست آورید.

برخی از این موضوعات به طرز اجتناب ناپذیری خشک هستند. اگر در هنگام پیشروی در درک این قوانین، در بیدار ماندن به مشکل برخوردید، به فصل قبلی بازگردید و یک نگاه دزدکی به سه فصل بعدی بیندازید تا بدانید که چرا باید ماهر شدن در این قوانین مشتق گیری، برایتان حائز اهمیت باشد. مسأله های بیشماری در کسب و کارها، اقتصاد، پزشکی، مهندسی، و فیزیک، بعلاوۀ سایر رشته ها، با این موضوع که یک تابع چقدر سریع بالا یا پایین می رود، سروکار دارند، و این چیزی است که مشتق به ما می گوید. و اغلب مهم است که بدانید در کجاها یک تابع سریعتر اوج می گیرد یا سقوط می کند (بزرگترین و کوچکترین شیب) و قله ها و دره های آن کجا هستند (که در آنها شیب برابر با صفر است). قبل از اینکه بتوانید این مسأله های جذاب را حل کنید، باید یاد بگیرید چگونه مشتق ها را بیابید. اگر فصل های 11، 12، و 13 همانند نواختن پیانو باشند، سپس این فصل شبیه یادگرفتن اندازه ها و مقیاس های آن می باشد ـــ خسته کننده است، اما شما باید انجامش دهید. شاید بخواهید الان یک چای نوش جان کنید.

قوانین پایه ای مشتق گیری


حسابان می تواند مشکل باشد، اما هرگز نباید فقط با همین بخش آن را قضاوت کنید. یاد گرفتن این نیم دوجین یا قوانین بیشتر از آن، به سادگی یک بشکن زدن می باشد. با این حال، اگر از این چیزهای ساده خسته شده اید، من به شما قول می دهم که در بخش های بعدی چالش های بسیاری داشته باشید.

قانون ثابت (constant rule)


این ساده است. \(f(x)=5\) یک خط افقی با شیب صفر می باشد، و ازینرو مشتق آن نیز صفر می باشد. بنابراین، برای هر عدد \(c\)، اگر \(f(x)=c\)، سپس \(f'(x)=0\) . یا شما می توانید آنرا به شکل \(\frac{d}{dx} c = 0\) بنویسید. پایان داستان!

قانون توان (power rule)


فرض کنید \(f(x)=x^5\) . برای یافتن مشتق این تابع، توان \(5\) را بگیرید، آن را قبل از \(x\) قرار دهید، و سپس توان را \(1\) واحد کم کنید (در این مثال، توان به \(4\) تبدیل می شود). این کار نتیجۀ \(f'(x)=5x^4\) را به شما می دهد.

در فصل 9، من \(y=x^2\) را با خارج قسمت تفاضلی، مشتق گیری کردم:
$$
y=x^2 \\
y'=\lim \limits_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\
= \lim \limits_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} \\
= \lim \limits_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h} \\
= \lim \limits_{h \to 0} (2x+h) \\
= 2x
$$
این اندکی کار می برد. به جای همۀ این کارها، صرفاً از قانون توان استفاده کنید: \(2\) را به ابتدا بیاورید، توان را \(1\) واحد کاهش دهید، که در اینجا توان باقیمانده \(1\) می شود که می توانید آن را نادیده بگیرید. بنابراین:
$$
y=x^2 \\
y'=2x
$$
از آنجا که این روش بسیار آسان است، شما ممکن است با خودتان بیندیشید چرا ما چیزهای پیچیدۀ مربوط به خارج قسمت تفاضلی را نادیده نگرفتیم و مستقیماً به سراغ این روش میانبر نرفتیم. خوب، مسلماً این کار منجر به صرفه جویی در زمان می شد، مخصوصاً اینکه بدانید بعد از دانستن این روش میانبر و سایر روش های میانبر، شما هرگز دیگر به خارج قسمت تفاضلی نیازی نخواهید داشت ـــ به جز برای امتحان نهایی تان. اما خارج قسمت تفاضلی در هر کتاب و دورۀ حسابان قرار داده شده است، زیرا یک درک کاملتر و غنی تر از حسابان و بنیاد آن به شما می دهد ـــ به آن به عنوان یک سازندۀ شخصیت ریاضی فکر کنید. یا صرفاً اینکه دبیران ریاضی سادیست هستند! خودتان می توانید قضاوت کنید.

قانون توان برای هر توانی کار می کند: توان مثبت، توان منفی، یا توان کسری:
$$
\text{if } f(x)=x^{-2} \text{ then } f'(x)=-2x^{-3} \\
\text{if } g(x)=x^{\frac{2}{3}} \text{ then } g'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \\
\text{if } h(x)=x \text{ then } f'(x)=1
$$
مشتق \(x\) برابر با \(1\) می باشد. مطمئن شوید که چگونگی گرفتن مشتق آخرین تابع در لیست بالا را به حافظه سپرده باشید. این ساده ترین در لیست بالا است، با این وجود اشتباه گرفتن آن نیز بسیار ساده است.

بهترین روش برای درک این مشتق اینست که دریابید که \(h(x)=x\) یک خط است که در شکل \(y=mx+b\) می گنجد، زیرا \(h(x)=x\) با \(h(x)=1x+0\) (یا \(y=1x+0\)) یکسان است . شیب (\(m\)) این خط برابر با \(1\) می باشد، بنابراین مشتق آن نیز برابر با \(1\) خواهد بود. یا میتوانید صرفاً این را حفظ کنید که مشتق \(x\) برابر با \(1\) می باشد. اما اگر هر دوی این ایده ها را فراموش کردید، همیشه می توانید از قانون توان استفاده کنید. \(h(x)=x\) را به شکل \(h(x)=x^1\) بازنویسی کنید، سپس قانون توان را روی آن بکار بگیرید: \(1\) را به ابتدا بیاورید و توان را \(1\) واحد کم کنید که به صفر تبدیل شود، نتیجۀ بدست آمده \(h'(x)=1x^0\) می باشد. از آنجا که \(x^0\) برابر با \(1\) است، شما به \(h'(x)=1\) می رسید.

توابع را به نحوی بازنویسی کنید که بتوانید از قانون توان استفاده کنید. شما می توانید توابع رادیکال را با بازنویسی آنها به شکل توابع توان و سپس استفاده از این قانون توان، مشتق گیری نمایید. به عنوان مثال، اگر \(f(x)=\sqrt[3]{x^2}\) ، آن را به شکل \(f(x)=x^{\frac{2}{3}}\) بازنویسی کنید و سپس از قانون توان بر روی این شکل جدید تابع استفاده نمایید. شما همچنین می توانید از قانون توان برای مشتق گیری تابعی همچون \(f(x)=\frac{1}{x^3}\) استفاده کنید، برای این منظور آن را به شکل \(f(x)=x^{-3}\) بازنویسی کنید، سپس از قانون توان استفاده نمایید.

قانون مضرب ثابت (constant multiple rule)


اگر تابعی که مشغول مشتق گیری آن هستید با یک ضریب (coefficient) آغاز گردد، چه می شود؟ تفاوتی ایجاد نمی کند. یک ضریب در فرآیند مشتق گیری تاثیری ندارد. شما صرفاً آن را نادیده می گیرید و بر اساس قانون مناسب، مشتق گیری را انجام می دهید. آن ضریب در جایی که هست می ماند تا مرحلۀ نهایی که در آن پاسختان را با ضرب کردن در آن ضریب ساده می کنید. مشتق تابع زیر را بدست آورید:
$$y=4x^3$$
راه حل: شما بنابر قانون توان می دانید که مشتق \(x^3\) برابر با \(3x^2\) می باشد، بنابراین مشتق \(4(x^3)\) برابر با \(4(3x^2)\) می باشد. این \(4\) بدون اینکه کاری انجام دهد، صرفاً همانجا می نشیند. سپس، به عنوان یک گام نهایی، شما ساده سازی را انجام می دهید: \(4(3x^2)\) برابر است با \(12x^2\) . بنابراین \(y'=12x^2\) . (راستی، بسیاری از افراد صرفاً \(3\) را به ابتدا می آورند، مانند \(y'=3 \cdot 4x^2\) ، که همان نتیجه را به شما می دهد.)

مشتق تابع زیر را بدست آورید:
$$y=5x$$
راه حل: این یک خط در شکل \(y=mx+b\) با \(m=5\) می باشد، بنابراین شیب آن \(5\) است، و در نتیجه مشتق نیز برابر با \(5\) خواهد بود: \(y'=5\) . (مهم است که هر از گاهی این گونه به صورت گرافیکی فکر کنید.) اما شما همچنین می توانید این مسأله را با قانون توان نیز حل کنید:
$$\frac{d}{dx} x^1 = 1 x^0 = 1$$
بنابراین:
$$\frac{d}{dx} 5(x^1) = 5(1)=5$$
یک مثال دیگر. مشتق تابع زیر را بدست آورید:
$$y=\frac{5x^{\frac{1}{3}}}{4}$$
راه حل: ضریب در اینجا \(\frac{5}{4}\) می باشد. بنابراین، از آنجا که طبق قانون توان \(\frac{d}{dx} x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}\) ، خواهیم داشت:
$$\frac{d}{dx} \frac{5}{4} (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{5}{4} \biggl( \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \biggr) = \frac{5}{12} x^{-\frac{2}{3}}$$

\(pi\) ، \(e\)، \(c\)، \(k\)، و از این قبیل. متغیر نیستند! فراموش نکنید که \(\pi (\approx 3.14)\) و \(e(\approx 2.72)\) عدد می باشند، نه متغیر، بنابراین مانند اعداد معمولی رفتار می کنند. ثابت ها در مسأله ها، مانند \(c\) و \(k\) نیز مانند اعداد معمولی رفتار می کنند. (راستی، عدد \(e\)، که به نام ریاضیدان بزرگ لئونارد اویلر نامگذاری شده است، شاید مهمترین عدد در کل ریاضیات باشد، اما در اینجا وارد آن موضوع نمی شوم.)

بنابراین، اگر \(y=\pi x\) باشد، \(y'=\pi\) ـــ این دقیقاً مانند مشتق گیری \(y=5x\) کار می کند. و از آنجا که \(\pi^3\) صرفاً یک عدد می باشد، اگر \(y=\pi^3\) سپس \(y'=0\) ـــ این دقیقاً مانند مشتق گیری \(y=10\) می باشد. شما همچنین مسأله هایی را می بینید که شامل ثابت هایی مانند \(c\) و \(k\) می باشند. مطمئن گردید که با آنها مانند اعداد معمولی رفتار می کنید. به عنوان مثال، مشتق \(y=5x+2k^3\) (که در آن \(k\) یک ثابت است) برابر با \(5\) می باشد، نه \(5+6k^2\) .

قانون جمع (sum rule)


هنگامی که مشتق جمع جملات را می خواهید، مشتق هر جمله را به صورت جداگانه بدست آورید.

اگر \(f(x)=x^6+x^3+x^2+x+10\) باشد، \(f'(x)\) چه خواهد بود؟

راه حل: کافیست از قانون توان برای هر کدام از چهار جملۀ اول استفاده کنید و از قانون ثابت برای جملۀ نهایی استفاده نمایید. بنابراین خواهیم داشت:
$$f'(x)=6x^5+3x^2+2x+1$$

قانون تفاضل (difference rule)


اگر به جای جمع یک تفاضل (تفریق) داشته باشید، تفاوتی نمی کند. شما هنوز هم هر جمله را به صورت جداگانه مشتق گیری می کنید. بدین ترتیب، اگر \(y=3x^5-x^4-2x^3+6x^2+5x\) سپس \(y'=15x^4-4x^3-6x^2+12x+5\) . علامتهای جمع و تفریق در مشتق گیری بی تاثیر هستند.

مشتق گیری از توابع مثلثاتی


در اینجا شما را با چگونگی مشتق گیری از شش تابع مثلثاتی آشنا می کنم:
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\frac{d}{dx} \sin x = \cos x & \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \\ \hline
\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x & \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x \\ \hline
\frac{d}{dx} \sec x=\sec x \tan x & \frac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x \\ \hline
\end{array}
$$
مطمئن شوید که مشتق توابع سینوس و کسینوس را حفظ کرده باشید. آنها به سادگی یک بشکن زدن هستند، و من کسی را نمی شناسم که آنها را فراموش کرده باشد. اگر در حفظ کردن طوطی وار خوب هستید، چهار مورد دیگر را نیز حفظ کنید. یا، اگر حفظ کردنی های شما خوب نیست، می توانید چهار مشتق آخر را با استفاده از قانون خارج قسمت (quotient rule) که در ادامه آمده است، بدست آورید. گزینۀ سوم اینست که از ترفند یادآور زیر استفاده کنید.

پسست (Psst)، مشتق کسکانت چیه؟ فرض کنید که در یک امتحان هستید و نمی توانید مشتق آن چهار تابع مثلثاتی آخر را بیاد آورید. به سمت فرد بغل دستی تان خم می شوید و آهسته زمزمه می کنید "Psst" (این معادل همان پیست خودمان در زبان فارسی است با این تفاوت که پسست خوانده می شود) مشتق \(\csc x\) چیه؟ این Psst را یادتان باشد. سه حرف آخر psst یعنی sst حروف آغازین \(\sec\)، \(\sec\)، و \(\tan\) می باشند. این سه را بنویسید، و زیر آنها توابع مثلثاتی متمم آنها (cofunctions) را بنویسید: \(\csc\)، \(\csc\)، \(\cot\) . در کنار \(\csc\) در وسط، یک علامت منفی قرار دهید. در پایان مشابه نمودار زیر فلش هایی را اضافه کنید:
$$
\sec \to \sec \leftarrow \tan \\
\csc \to -\csc \leftarrow \cot
$$
(این ممکن است پیچیده به نظر آید، اما، در این مورد حرف مرا قبول کنید، شما کلمۀ psst را به خاطر خواهید سپرد، و بعد از آن این نمودار به سادگی در ذهنتان نمایان می شود.)

به خط اول نگاه کنید. \(\sec\) قرار گرفته در سمت چپ یک فلش دارد که به \(\sec \tan\) اشاره می کند ـــ بنابراین مشتق \(\sec x\) برابر است با \(\sec x \tan x\) . \(\tan\) در سمت راست یک فلش دارد که به \(\sec \sec\) اشاره می کند، بنابراین، مشتق \(\tan x\) برابر است با \(\sec^2 x\) . ردیف پایین هم به همین شیوه کار می کند، با این تفاوت که هر دوی این مشتق ها منفی می باشند.

مشتق گیری توابع نمایی


هشدار: این مشتق ها را حفظ کنید.

اگر نمی توانید قانون زیر را حفظ کنید، ماشین حسابتان را به گردنتان آویزان کنید.
$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$
خودشه، مشتق \(e^x\) خودش است! این یک تابع خاص است: \(e^x\) و مضرب های آن، مانند \(5e^x\)، تنها توابعی هستند که مشتق خودشان می باشند. در مورد معنای این فکر کنید. به نمودار \(y=e^x\) در شکل 1-10 بنگرید.

قوانین پایه ای مشتق گیری
هر نقطۀ دلخواه بر روی این تابع را انتخاب کنید، فرض کنید \((2,\sim 7.4)\)، و ارتفاع این تابع در آن نقطه، \(\sim 7.4\) ، با شیب در آن نقطه برابر می باشد.

اگر پایۀ توان عددی غیر از \(e\) باشد، شما مجبور خواهید بود تا مشتق آن را با ضرب کردن آن در لگاریتم طبیعی (natural log) پایه بدست آورید:
$$
\text{if } y=2^x \text{ then } y'=2^x \ln 2 \\
\text{if } y=10^x \text{ then } y'=10^x \ln 10
$$

مشتق گیری توابع لگاریتمی


در اینجا به چگونگی مشتق گیری توابع لگاریتمی می پردازیم. (اگر در مورد لگاریتم نیاز به یادآوری دارید، فصل 4 را مرور کنید.) در اینجا مشتق لگاریتم طبیعی را داریم ـــ لگاریتم طبیعی، لگاریتمی با پایۀ \(e\) می باشد:
$$\frac{d}{dx} \ln x=\frac{1}{x}$$
اگر پایۀ این لگاریتم عددی غیر از \(e\) باشد، مشتق آن را همانند توابع نمایی بدست می آورید، با این استثناء که به جای ضرب کردن در لگاریتم طبیعی پایه، آن را بر لگاریتم طبیعی پایه، تقسیم می کنید. بنابراین:
$$
\frac{d}{dx} \log_2 x=\frac{\frac{1}{x}}{\ln 2} = \frac{1}{x \ln 2} \\
\frac{d}{dx} \log x=\frac{1}{x \ln 10}
$$
بیاد بیاورید که \(\log x\) به معنای \(\log_{10} x\) می باشد، بنابراین پایۀ آن برابر با \(10\) است.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.