خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مشتق گیری لگاریتمی

مشتق گیری لگاریتمی
نویسنده : امیر انصاری
فرض کنید که می خواهید مشتق تابعی را که در ادامه آمده است بدست آورید. اکنون می توانید کل اینها را در یکدیگر ضرب کنید و سپس مشتق گیری کنید، اما این کار مشقت فراوانی خواهد داشت. یا همچنین می توانید از قاعدۀ ضرب (product rule) چندین مرتبه استفاده کنید، اما آنهم بسیار خسته کننده و زمانبر خواهد بود. گزینۀ بهتر اینست که از مشتق گیری لگاریتمی (Logarithmic Differentiation) استفاده کنید:

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار
$$f(x)=(x^3-5)(3x^4+10)(4x^2-1)(2x^5-5x^2-10)$$


  1. لگاریتم طبیعی هر دو سمت را بگیرید. $$ \ln f(x)=\ln \biggl( (x^3-5)(3x^4+10)(4x^2-1)(2x^5-5x^2-10) \biggr) $$
  2. اکنون از ویژگی لگاریتم یک حاصلضرب استفاده کنید (اگر این ویژگی یادتان رفته است به فصل 4 نگاهی بیندازید). $$\ln f(x)=\ln(x^3-5)+\ln(3x^4+10)+\ln(4x^2-1)+\ln(2x^5-5x^2-10)$$
  3. مشتق هر دو سمت را بگیرید.
    بنابر قاعدۀ زنجیری (chain rule)، مشتق \(\ln f(x)\) برابر است با \(\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\) یا \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) . \(f(x)\) درست همانند کلمۀ \(\text{stuff}\) در یک مسالۀ قاعدۀ زنجیری معمولی، یا همانند \(y\) در یک مسالۀ مشتق ضمنی کار می کند. برای هر کدام از چهار جملۀ موجود در سمت راست این معادله، از قاعدۀ زنجیری استفاده می کنید:
    $$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3x^2}{(x^3-5)} + \frac{12x^3}{(3x^4+10)}+\frac{8x}{(4x^2-1)}+\frac{10x^4-10}{(2x^5-5x^2-10)}$$
  4. هر دو سمت این معادله را در \(f(x)\) ضرب کنید و کار تمام است. $$f'(x) = \biggl( \frac{3x^2}{(x^3-5)} + \frac{12x^3}{(3x^4+10)}+\frac{8x}{(4x^2-1)}+\frac{10x^4-10}{(2x^5-5x^2-10)} \biggr) \cdot \\
    (x^3-5)(3x^4+10)(4x^2-1)(2x^5-5x^2-10)$$
    (توجه: مطمئن شوید که این معادلۀ غول پیکر را به درستی می خوانید. سمت راست خط اول در خط دوم ضرب می شود.)

می پذیرم که این پاسخ کاملاً ترسناک است، و فرآیند حل آن خیلی آسان نیست، اما حرف من را در این زمینه بپذیرید، این روش بسیار ساده تر از سایر روش های جایگزین می باشد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.