یک فرمول به ظاهر مشکل برای مشتق های توابع معکوس (Inverse Functions) وجود دارد، اما قبل از اینکه به آن بپردازیم، به شکل 2-10 بنگرید، که به زیبایی کل این مفهوم را خلاصه می کند.






شکل 2-10 یک جفت تابع معکوس، \(f\) و \(g\) ، را نشان می دهد. به خاطر بیاورید که توابع معکوس با توجه به خط \(y=x\) متقارن می باشند. همانند هر جفت از توابع معکوس دیگر، اگر نقطۀ \((10,4)\) روی یک تابع باشد، \((4,10)\) بر روی معکوس آن خواهد بود. و به دلیل تقارن در نمودارها، شما می توانید ببینید که شیب در آن نقاط کسرهای متقابل (reciprocals) یکدیگر می باشند: در \((10,4)\) شیب برابر با \(\frac{1}{3}\) و در \((4,10)\) شیب برابر با \(\frac{3}{1}\) می باشد. این چگونگی کارکرد این مفهوم به صورت گرافیکی می باشد، و اگر تا اینجای کار با من بوده باشید، حداقل آن را به صورت گرافیکی درک کرده اید.

با این وجود، توضیح جبری آن اندکی مهارت آمیزتر است. نقطۀ \((10,4)\) بر روی \(f\) می تواند به شکل \((10,f(10))\) نوشته شود و شیب در این نقطه ــ و بدین ترتیب مشتق ـــ می تواند به شکل \(f'(10)\) بیان شود. نقطۀ \((4,10)\) بر روی \(g\) می تواند به شکل \((4,g(4))\) نوشته شود. سپس، از آنجا که \(f(10)=4\) می باشد، شما می توانید این \(4\) ها در \((4,(g(4))\) با \(f(10)\) ها، جایگزین کنید که نتیجۀ \(\biggl( f(10),g(f(10)) \biggr)\) را به شما می دهد. شیب و مشتق در این نقطه می تواند به شکل \(g'(f(10))\) بیان شود. این دو شیب کسرهای متقابل یکدیگر می باشند، بنابراین معادلۀ زیر را به شما نتیجه می دهد:
$$f'(10)=\frac{1}{g'(f(10))}$$
این معادلۀ دشوار چیزی بیشتر یا کمتر از دو مثلث بر روی این دو تابع در شکل 2-10 را بیان نمی کند.

اگر به جای \(10\) از \(x\) استفاده کنید، به یک فرمول کلی می رسید:


اوکی، شاید خیلی مهارت آمیزتر از این باشد.