خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
موقعیت، سرعت، و شتاب
هر بار که در خودرویتان می نشینید، شاهد مشتق گیری (differentiation) هستید. سرعت شما، مشتق اول موقعیت شما می باشد. و هرگاه که پدال گاز یا ترمز را می فشارید ـــ شتاب می گیرید یا سرعت را کاهش می دهید ـــ یک مشتق دوم را تجربه می کنید.
در اینجا مثالی داریم. یک یویو (yo-yo) مستقیم رو به پایین و بالا حرکت می کند. ارتفاع آن از سطح زمین، به عنوان تابعی از زمان، با تابع \(H(t)=t^3-6t^2+5t+30\) بدست می آید که در این تابع \(t\) در واحد ثانیه (seconds) و \(H(t)\) در واحد اینچ (inches) می باشد. در \(t=0\)، آن در ارتفاع \(30\) اینچی از سطح زمین قرار دارد، و بعد از \(4\) ثانیه، ارتفاع آن برابر با \(18\) اینچ می باشد. شکل 3-12 را ببینید.
سرعت (Velocity)، \(V(t)\)، مشتق موقعیت (که در این مسأله ارتفاع است) می باشد، و شتاب (acceleration)، \(A(t)\)، مشتق سرعت می باشد. بنابراین:
$$H(t)=t^3-6t^2+5t+30 \\
V(t)=H'(t)=3t^2-12t+5 \\
A(t)=V'(t)=H''(t)=6t - 12$$
به نمودار این سه تابع در شکل 4-12 نگاهی بیندازید.
با استفاده از این سه تابع و نمودارهای آنها، من می خواهم در مورد چندین چیز دربارۀ حرکت این یویو بحث کنم:
از آنجا که چیزهای بسیار زیادی برای پوشش دادن در اینجا وجود دارد، من برخی از جزئیات را حذف می کنم ـــ مانند اینکه اگر اکسترمم ها به صورت آشکار در نقاط پایانی (endpoints) رخ نداده باشند، همیشه آنها را در نقاط پایانی بررسی نمی کنم. از نظر شما اشکالی ندارد؟ فکر نمی کنم اشکالی داشته باشد. مسأله های موقعیت (Position)، سرعت (velocity)، و شتاب (acceleration)، برخی مفاهیم مطرح شده در فصل 11 را استفاده می کنند ـــ اکسترمم های موضعی (local extrema)، تقعر (concavity)، نقاط عطف (inflection points) ـــ بنابراین اگر این مفاهیم برایتان مبهم است می توانید ابتدا مروری بر آنها داشته باشید. قبل از آنکه به موضوعات مطرح شده در لیست بالا بپردازم، بیایید چندین چیز را در مورد سرعت (velocity)، سرعت (speed)، و شتاب (acceleration) مرور کنیم.
اگر از واژه های velocity و speed به جای یکدیگر استفاده کنید، هیچکدام از دوستان شما شکایتی نخواهند داشت ـــ و حتی متوجه تفاوت بین این دو هم نخواهند شد ـــ اما اگر آنها را به اشتباه به جای یکدیگر به کار بگیرید، دوستان ریاضیدانتان به شما معترض خواهند شد. تفاوتشان اینست. در مورد تابع velocity (سرعت سیر) در شکل 4-12 حرکت رو به بالا با یویو به عنوان سرعت سیر مثبت (positive velocity) تعریف شده است، و حرکت رو به پایین به عنوان سرعت سیر منفی (negative velocity) تعریف شده است. این روش استانداردی است که سرعت سیر در بیشتر مسأله های حسابان و فیزیک مورد استفاده قرار می گیرد. (یا اگر این حرکت به صورت افقی باشد، رفتن به سمت راست یک سرعت سیر مثبت و رفتن به چپ یک سرعت سیر منفی می باشد.)
از سوی دیگر، سرعت (Speed)، همواره مثبت (یا صفر) است. به عنوان مثال، اگر یک خودرو با سرعت \(50\) مایل بر ساعت حرکت کند، شما می گویید که سرعت آن \(50\) است، و منظورتان مثبت \(50\) می باشد، صرفنظر از اینکه آن خودرو به سمت راست یا به سمت چپ حرکت می کند سرعت همین است. در مورد سرعت سیر (velocity) جهت حرکت، حائز اهمیت است؛ در مورد سرعت (speed) این مسأله اهمیتی ندارد. در زندگی روزمره سرعت (speed) یک مفهوم ساده تر نسبت به سرعت سیر (velocity) است، زیرا همواره مثبت است و با درک عام ما از مفهوم اینکه چیزی چقدر سریع حرکت می کند مطابقت دارد. اما در حسابان، سرعت (speed) در واقع یک مفهوم مهارت آمیز است، زیرا به خوبی در سه طرح توابعی که در شکل 4-12 دیدید، نمی گنجد.
ماکزیمم و مینیمم ارتفاع این یویو، به عبارت دیگر، ماکزیمم و مینیمم \(H(t)\)، در اکسترمم های موضعی که در شکل 4-12 می توانید ببینید، رخ می دهند. برای یافتن آنها، مشتق \(H(t)\)، یعنی \(V(t)\)، را برابر با صفر قرار دهید و آن را حل کنید:
$$H'(t)=V(t)=3t^2-12t+5 \\
0=3t^2-12t+5 \\
t=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4(3)(5)}}{2 \cdot 3} \\
=\frac{12 \pm \sqrt{84}}{6} \\
=\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6} \\
=\frac{6 \pm \sqrt{21}}{3} \\
= \sim 0.47 \text{ or } \sim 3.53$$
این دو عدد صفرهای \(H'(t)\) (که برابر با \(V(t)\) می باشد) و مختصات های \(t\) یعنی مختصات های زمان، از ماکزیمم و مینیمم در \(H(t)\) هستند، که شما می توانید در شکل 4-12 ببینید. به عبارت دیگر، اینها زمانهایی هستند که یویو به ماکزیمم و مینیمم ارتفاعش می رسد. این اعداد را در \(H(t)\) جایگذاری کنید تا ارتفاع ها را بدست آورید:
$$H(0.47) \approx 31.1 \\
H(3.53) \approx 16.9$$
بنابراین، این یویو در \(t \approx 0.47\) ثانیه تا ارتفاع \(31.1\) اینچ از سطح زمین بالا می رود و در \(t \approx 16.9\) تا \(16.9\) اینچ پایین می آید. (راستی، آیا می دانید چرا ماکزیمم و مینیمم ارتفاع این یویو در جاهایی رخ می دهد که سرعت سیر برابر با صفر می باشد؟)
همانطور که پیشتر در همین فصل توضیح دادم، سرعت سیر در واقع مانند سرعت است، با این استثناء که در حالیکه سرعت همواره مثبت (یا صفر) است، سرعت سیر می تواند مثبت باشد (هنگامی که به سمت بالا یا راست می رود) یا منفی باشد (هنگامی که رو به سمت پایین یا چپ می رود). ارتباط بین تغییر مکان (displacement) و مسافت پیموده شده (distance traveled) مشابه همین است: مسافت پیموده شده همواره مثبت (یا صفر) است، اما رفتن به سمت پایین یا سمت چپ به عنوان تغییر مکان منفی محاسبه می شود. در گفتار روزمره، سرعت و مسافت طی شده، مفاهیم ساده تری هستند، اما هنگامی که پای حسابان یا فیزیک به میان می آید، سرعت سیر و تغییر مکان، مفاهیم بنیادی تری هستند.
بیایید به تجزیه و تحلیل یویو برگردیم. تغییر مکان کل به شکل موقعیت نهایی منهای موقعیت آغازین تعریف می شود. بنابراین، از آنجا که یویو در ارتفاع \(30\) آغاز می شود و در ارتفاع \(18\) پایان می یابد:
$$\text{Total displacement} = 18-30=-12 \text{ inches}$$
از آنجا که تغییر مکان خالص (net movement) رو به سمت پایین است، این مقدار منفی است.
سرعت سیر میانگین با تقسیم کردن تغییر مکان کل بر زمان سپری شده بدست می آید. ما اندکی پیش تغییر مکان کلی (\(-12\) اینچ) را محاسبه کردیم، و زمان از \(0\) تا \(4\) ثانیه می رود، پس زمان سپری شده برابر با \(4\) ثانیه می باشد. بنابراین:
$$\text{Average velocity}=\frac{-12 \text{ inches}}{4 \text{ seconds}} = -3 \text{ inches per second}$$
این پاسخ منفیِ \(3\) به شما می گوید که این یویو به طور میانگین با سرعت \(3\) اینچ بر ثانیه رو به پایین می رود.
برای تعیین ماکزیمم و مینیمم سرعت سیر این یویو در طول بازۀ \(0\) تا \(4\) ثانیه، مشتق \(V(t)\) (که برابر با \(A(t)\)) است، برابر با صفر قرار داده و حل کنید:
$$V'(t)=A(t)=6t-12 \\
6t-12=0 \\
6t=12 \\
t=2$$
دوباره به شکل 4-12 بنگرید. در \(t=2\)، شما صفرِ \(A(t)\)، مینیم موضعی \(V(t)\)، و نقطۀ عطف \(H(t)\)، را بدست می آورید. اما شما هم اکنون آن را می دانید، درست است؟ اگر نه، فصل 11 را مرور کنید.
حالا، \(V(t)\) را در عدد بحرانی \(2\) و در نقاط پایانی بازه، \(0\) و \(4\)، ارزیابی کنید:
$$V(t)=3t^2-12t+5 \\
V(0)=5 \\
V(2)=-7 \\
V(4)=5$$
بنابراین، این یویو، دوبار دارای ماکزیمم سرعت سیر \(5\) اینچ بر ثانیه است ـــ در آغاز و پایان این بازه. این یویو در \(t=2\) ثانیه، به مینیمم سرعت سیر که \(-7\) اینچ بر ثانیه است، می رسد.
همانطور که در بخش های قبلی اشاره شد، سرعت سیر و تغییر مکان، مفاهیم فنی تری هستند، در حالیکه سرعت و مسافت طی شده، مفاهیمی متناسبتر با درک عام هستند. مسلماً، سرعت چیزی است که بر روی سرعت سنج خوردویتان می بینید، و می توانید مسافت طی شده را بر روی کیلومتر شمار یا سفر سنج، بعد از اینکه آن را بر روی صفر تنظیم کردید، ببینید.
برای تعیین مسافت کل، مسافت های پیموده شده در هر مرحله از سفر یویو، را با یکدیگر جمع بزنید: مرحلۀ بالایی، مرحلۀ پایینی، و مرحلۀ بالایی دوم.
در ابتدا این یویو از ارتفاع \(30\) اینچ به حدود \(31.1\) اینچ می رود (جایی که اولین نقطۀ بازگشت قرار دارد). این مسافت در حدود \(1.1\) اینچ می باشد. در ادامه، از ارتفاع حدود \(31.1\) به حدود \(16.9\) می رود (ارتفاع دومین نقطۀ بازگشت). این مسافت برابر با \(31.1\) منهای \(16.9\)، یا در حدود \(14.2\) اینچ می باشد. در پایان، این یویو دوباره از حدود \(16.9\) اینچ تا ارتفاع نهایی اش یعنی \(18\) اینچ بالا می رود. این \(1.1\) اینچ دیگری می باشد. این سه مسافت را با یکدیگر جمع بزنید تا مسافت طی شدۀ کل را بدست آورید:
$$\sim 1.1+ \sim 14.2 + \sim 1.1 \approx 16.4 \text{ inches}$$
توجه: این پاسخ را با تغییر مکان کل که \(-12\) بود مقایسه کنید. تغییر مکان منفی است، زیرا حرکت خالص رو به سمت پایین است. و مقدار مثبت تغییر مکان (یعنی \(12\)) کمتر از مسافت طی شدۀ \(16.4\) می باشد، زیرا در تغییر مکان مرحلۀ سفر رو به بالایِ یویو، مرحلۀ مسافت رو به پایین را خنثی می کند. به عملیات ریاضی آن نگاهی بیندازید:
$$1.1 - 14.2+1.1=-12$$
قضیه را گرفتید؟
سرعت میانگین این یویو با تقسیم مسافت طی شدۀ کل بر زمان سپری شده، بدست می آید. بنابراین:
$$\text{Average speed} \approx \frac{16.4}{4} \approx 4.1 \text{ inches per second}$$
شما پیشتر سرعت سیر ماکزیمم این یویو (\(5\) اینچ بر ثانیه) و سرعت سیر مینیمم آن (\(-7\) اینچ بر ثانیه) را تعیین کردید. سرعت سیر \(-7\) برابر با سرعت \(7\) می باشد، بنابراین آن ماکزیمم سرعت این یویو است. مینیمم سرعت آن یعنی صفر در دو نقطۀ چرخش آن رخ می دهد.
یک روش خوب برای تجزیه و تحلیل سرعت ماکزیمم و مینیمم اینست که تابع سرعت و نمودار آن را در نظر بگیریم. سرعت برابر با قدرمطلق سرعت سیر می باشد. بنابراین، در مورد مسالۀ یویویِ ما، تابع سرعت، \(S(t)\)، برابر با \(|V(t)|=|3t^2-12t+5|\) می باشد. نمودار \(S(t)\) را در شکل 5-12 بررسی کنید. با نگاه کردن به این نمودار، به سادگی می توانید ببینید که سرعت ماکزیمم این یویو در \(t=2\) رخ می دهد (سرعت ماکزیمم برابر است با: \(S(2)=|3(2)^2-12(2)+5|=7\)) و سرعت مینیمم آن در صفر و در دو طول از مبدأ (x-intercepts) رخ می دهد.
بیایید شتاب را بررسی کنیم: پدال گاز را تا انتها فشار دهید.
نمودار تابع شتاب، \(A(t)=6t-12\) ، در قسمت پایینِ شکل 4-12 یک خط ساده است. مشاهدۀ اینکه شتاب این یویو از مینیمم \(-12 \frac{\text{inches per second}}{\text{second}}\) در \(t=0 \text{ seconds}\) به ماکزیمم \(12 \frac{\text{inches per second}}{\text{second}}\) در \(t=4 \text{ seconds}\) می رسد، و اینکه این شتاب در \(t=2\) ، زمانیکه این یویو به سرعت سیر مینیممش (و سرعت ماکزیممش) می رسد برابر با صفر است، ساده است. هنگامی که شتاب منفی است ـــ در بازۀ \([0,2)\) ـــ بدین معناست که سرعت سیر کاهش می یابد. هنگامی که شتاب مثبت است ـــ در بازۀ \((2,4]\) ـــ سرعت سیر افزایش می یابد.
کشف اینکه چه زمانی این یویو سرعت می گیرد و سرعتش کاهش می یابد احتمالاً جذابتر است و حرکت این یویو را بهتر از اطلاعاتی که در بخش قبل ارائه شد، توصیف می کند. هرگاه که سرعت سیر و شتاب حسابان هر دو مثبت یا هر دو منفی باشند، سرعت یک شیء بالا می رود (چیزی که در زندگی روزمره به نام شتاب می شناسیم). و هنگامی که سرعت سیر و شتاب حسابان هر دو دارای علامتهای متضاد یکدیگر باشند، سرعت یک شیء کاهش می یابد (چیزی که در زندگی روزمره به نام کاهش سرعت می شناسیم).
دوباره به سه نمودار موجود در شکل 4-12 بنگرید. از \(t=0\) تا حدود \(t=0.47\)، سرعت سیر مثبت و شتاب منفی می باشد، بنابراین این یویو در حالیکه رو به سمت بالا می رود سرعتش کاهش می یابد (تا اینکه سرعت سیر آن به صفر می رسد و یویو به ماکزیمم ارتفاعش می رسد). به زبان ساده، این یویو از \(0\) تا حدود \(0.47\) ثانیه، کاهش سرعت می یابد. بیشترین کاهش سرعت در \(t=0\) رخ می دهد که در آن این کاهش سرعت برابر با \(12 \frac{\text{inches per second}}{\text{second}}\) می باشد (نمودار آن منفی \(12\) را نشان می دهد، اما من آن را مثبت \(12\) می نامم، زیرا من آن را یک کاهش سرعت نامیده ام، موضوع را گرفتید؟)
از حدود \(t=0.47\) تا \(t=2\)، هم سرعت سیر و هم شتاب منفی هستند، بنابراین این یویو همچنانکه رو به پایین می آید، سرعتش بالاتر می رود. از \(t=2\) تا حدود \(t=3.53\) سرعت سیر منفی می باشد و شتاب مثبت می باشد، بنابراین این یویو دوباره همچنانکه رو به پایین ادامه می یابد، سرعتش کاهش می یابد (تا اینکه به پایین ترین سطح ارتفاع خودش برسد). در نهایت از حدود \(t=3.53\) تا \(t=4\) هم سرعت سیر و هم شتاب مثبت می باشند، بنابراین این یویو مجدداً سرعتش بالا می رود. این یویو در \(t=4\) ثانیه به بالاترین شتابش \(12 \frac{\text{inches per second}}{\text{second}}\) می رسد.
به ارتباطات زیر بین این سه نمودار موجود در شکل 4-12 توجه کنید. بخش منفی از نمودار \(A(t)\) ـــ از \(t=0\) تا \(t=2\) ـــ با بخش در حال کاهش از نمودار \(V(t)\) و بخش دارای تقعر رو به پایین از نمودار \(H(t)\)، متناظر می باشد. بازۀ مثبت از نمودار \(A(t)\) ـــ از \(t=2\) تا \(t=4\) ـــ با بازۀ در حال افزایش از نمودار \(V(t)\) و با بخش دارای تقعر رو به بالا از نمودار \(H(t)\)، متناظر می باشد. هنگامی که \(t=2\) ثانیه باشد، \(A(t)\) داری یک صفر، \(V(t)\) دارای یک مینیمم موضعی، و \(H(t)\) دارای یک نقطۀ عطف می باشد.
مشتق موقعیت (position) برابر با سرعت (velocity) می باشد، و مشتق سرعت برابر با شتاب (acceleration) می باشد. اگر تابعی موقعیت چیزی را به شکل تابعی از زمان خروجی بدهد، شما تابع موقعیت را مشتق گیری می کنید تا به تابع سرعت برسید، و تابع سرعت را مشتق گیری می کنید تا به تابع شتاب برسید. اگر این را به بیانی دیگر اما معادل اولی بگوییم، مشتق اول موقعیت برابر با سرعت، و مشتق دوم موقعیت برابر با شتاب می باشد.
در اینجا مثالی داریم. یک یویو (yo-yo) مستقیم رو به پایین و بالا حرکت می کند. ارتفاع آن از سطح زمین، به عنوان تابعی از زمان، با تابع \(H(t)=t^3-6t^2+5t+30\) بدست می آید که در این تابع \(t\) در واحد ثانیه (seconds) و \(H(t)\) در واحد اینچ (inches) می باشد. در \(t=0\)، آن در ارتفاع \(30\) اینچی از سطح زمین قرار دارد، و بعد از \(4\) ثانیه، ارتفاع آن برابر با \(18\) اینچ می باشد. شکل 3-12 را ببینید.
سرعت (Velocity)، \(V(t)\)، مشتق موقعیت (که در این مسأله ارتفاع است) می باشد، و شتاب (acceleration)، \(A(t)\)، مشتق سرعت می باشد. بنابراین:
$$H(t)=t^3-6t^2+5t+30 \\
V(t)=H'(t)=3t^2-12t+5 \\
A(t)=V'(t)=H''(t)=6t - 12$$
به نمودار این سه تابع در شکل 4-12 نگاهی بیندازید.
با استفاده از این سه تابع و نمودارهای آنها، من می خواهم در مورد چندین چیز دربارۀ حرکت این یویو بحث کنم:
-
ماکزیمم و مینیمم ارتفاع
-
ماکزیمم، مینیمم، و میانگین سرعت (velocity)
-
مجموع جابجایی
-
ماکزیمم، مینیمم، و میانگین سرعت (speed)
-
مجموع مسافت طی شده
-
شتاب مثبت و منفی
-
بالا بردن سرعت و کم کردن سرعت
یادداشت مترجم: در اینجا دو بار واژۀ سرعت با معادل های انگلیسی متفاوت مورد اشاره قرار گرفته است، velocity و speed هر چند به لحاظ لغوی هر دو "سرعت" معنا می دهند اما به لحاظ فیزیکی بین این دو تفاوت وجود دارد. velocity یک کمیت برداری (vector quantity) است و speed یک کمیت اسکالر (scalar quantity) می باشد که به لحاظ فنی در فیزیک با هم متفاوتند. برای تفکیک بهتر این دو واژه در مورد velocity از ترجمۀ "سرعت سیر" نیز استفاده خواهم نمود.
از آنجا که چیزهای بسیار زیادی برای پوشش دادن در اینجا وجود دارد، من برخی از جزئیات را حذف می کنم ـــ مانند اینکه اگر اکسترمم ها به صورت آشکار در نقاط پایانی (endpoints) رخ نداده باشند، همیشه آنها را در نقاط پایانی بررسی نمی کنم. از نظر شما اشکالی ندارد؟ فکر نمی کنم اشکالی داشته باشد. مسأله های موقعیت (Position)، سرعت (velocity)، و شتاب (acceleration)، برخی مفاهیم مطرح شده در فصل 11 را استفاده می کنند ـــ اکسترمم های موضعی (local extrema)، تقعر (concavity)، نقاط عطف (inflection points) ـــ بنابراین اگر این مفاهیم برایتان مبهم است می توانید ابتدا مروری بر آنها داشته باشید. قبل از آنکه به موضوعات مطرح شده در لیست بالا بپردازم، بیایید چندین چیز را در مورد سرعت (velocity)، سرعت (speed)، و شتاب (acceleration) مرور کنیم.
سرعت سیر (Velocity)، سرعت (speed)، و شتاب
اگر از واژه های velocity و speed به جای یکدیگر استفاده کنید، هیچکدام از دوستان شما شکایتی نخواهند داشت ـــ و حتی متوجه تفاوت بین این دو هم نخواهند شد ـــ اما اگر آنها را به اشتباه به جای یکدیگر به کار بگیرید، دوستان ریاضیدانتان به شما معترض خواهند شد. تفاوتشان اینست. در مورد تابع velocity (سرعت سیر) در شکل 4-12 حرکت رو به بالا با یویو به عنوان سرعت سیر مثبت (positive velocity) تعریف شده است، و حرکت رو به پایین به عنوان سرعت سیر منفی (negative velocity) تعریف شده است. این روش استانداردی است که سرعت سیر در بیشتر مسأله های حسابان و فیزیک مورد استفاده قرار می گیرد. (یا اگر این حرکت به صورت افقی باشد، رفتن به سمت راست یک سرعت سیر مثبت و رفتن به چپ یک سرعت سیر منفی می باشد.)
از سوی دیگر، سرعت (Speed)، همواره مثبت (یا صفر) است. به عنوان مثال، اگر یک خودرو با سرعت \(50\) مایل بر ساعت حرکت کند، شما می گویید که سرعت آن \(50\) است، و منظورتان مثبت \(50\) می باشد، صرفنظر از اینکه آن خودرو به سمت راست یا به سمت چپ حرکت می کند سرعت همین است. در مورد سرعت سیر (velocity) جهت حرکت، حائز اهمیت است؛ در مورد سرعت (speed) این مسأله اهمیتی ندارد. در زندگی روزمره سرعت (speed) یک مفهوم ساده تر نسبت به سرعت سیر (velocity) است، زیرا همواره مثبت است و با درک عام ما از مفهوم اینکه چیزی چقدر سریع حرکت می کند مطابقت دارد. اما در حسابان، سرعت (speed) در واقع یک مفهوم مهارت آمیز است، زیرا به خوبی در سه طرح توابعی که در شکل 4-12 دیدید، نمی گنجد.
شما باید در هنگام تجزیه و تحلیل سرعت سیر و شتاب، در ذهنتان بین سرعت سیر (velocity) و سرعت (speed) تمایز قائل شوید. روشی که ما در مورد سرعت سیر، سرعت، و شتاب صحبت می کنیم ـــ در کلاس حسابان، برخلاف زندگی روزمره ـــ می تواند کاملاً عجیب باشد. به عنوان مثال، اگر شیئی به سمت پایین (یا سمت چپ) سریعتر و سریعتر برود، سرعت آن افزایش می یابد، اما سرعت سیر آن کاهش می یابد زیرا سرعت سیر آن یک عدد منفی بزرگ و بزرگتر می گردد (و اعداد منفی بزرگتر، اعداد کوچکتری هستند). این عجیب به نظر می آید، اما اینگونه کار می کند. و در اینجا چیز عجیب دیگری داریم: شتاب به عنوان نرخ تغییر سرعت سیر، تعریف می شود، نه سرعت. بنابراین، اگر سرعت شیئی در حالیکه رو به سمت پایین می رود و دارای سرعت سیر در حال افزایش می باشد، کاهش یابد، ـــ از آنجا که سرعت سیر یک عدد منفی کوچک و کوچکتر می گردد ـــ آن شیء دارای شتاب مثبت می باشد. در زبان روزمره، شما می گویید که شتاب آن شیء در حال کاهش است (آهسته تر می شود)، اما در کلاس حسابان، با وجود اینکه هنوز هم می توانید بگویید آن شیء آهسته تر می شود، می گویید که آن شیء دارای سرعت سیر منفی و شتاب مثبت می باشد. در ضمن، کاهش شتاب (deceleration) یک واژۀ فنی صحیح نیست، بنابراین شما باید از آن در کلاس حسابان اجتناب کنید. بهتر اینست که از این واژه ها استفاده کنید: شتاب مثبت (positive acceleration)، شتاب منفی (negative acceleration)، سرعت سیر مثبت (positive velocity)، و سرعت سیر منفی (negative velocity)، سرعت دادن (speeding up)، و کاهش سرعت (slowing down).
ماکزیمم و مینیمم ارتفاع
ماکزیمم و مینیمم ارتفاع این یویو، به عبارت دیگر، ماکزیمم و مینیمم \(H(t)\)، در اکسترمم های موضعی که در شکل 4-12 می توانید ببینید، رخ می دهند. برای یافتن آنها، مشتق \(H(t)\)، یعنی \(V(t)\)، را برابر با صفر قرار دهید و آن را حل کنید:
$$H'(t)=V(t)=3t^2-12t+5 \\
0=3t^2-12t+5 \\
t=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4(3)(5)}}{2 \cdot 3} \\
=\frac{12 \pm \sqrt{84}}{6} \\
=\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6} \\
=\frac{6 \pm \sqrt{21}}{3} \\
= \sim 0.47 \text{ or } \sim 3.53$$
این دو عدد صفرهای \(H'(t)\) (که برابر با \(V(t)\) می باشد) و مختصات های \(t\) یعنی مختصات های زمان، از ماکزیمم و مینیمم در \(H(t)\) هستند، که شما می توانید در شکل 4-12 ببینید. به عبارت دیگر، اینها زمانهایی هستند که یویو به ماکزیمم و مینیمم ارتفاعش می رسد. این اعداد را در \(H(t)\) جایگذاری کنید تا ارتفاع ها را بدست آورید:
$$H(0.47) \approx 31.1 \\
H(3.53) \approx 16.9$$
بنابراین، این یویو در \(t \approx 0.47\) ثانیه تا ارتفاع \(31.1\) اینچ از سطح زمین بالا می رود و در \(t \approx 16.9\) تا \(16.9\) اینچ پایین می آید. (راستی، آیا می دانید چرا ماکزیمم و مینیمم ارتفاع این یویو در جاهایی رخ می دهد که سرعت سیر برابر با صفر می باشد؟)
سرعت سیر (Velocity) و تغییر مکان (displacement)
همانطور که پیشتر در همین فصل توضیح دادم، سرعت سیر در واقع مانند سرعت است، با این استثناء که در حالیکه سرعت همواره مثبت (یا صفر) است، سرعت سیر می تواند مثبت باشد (هنگامی که به سمت بالا یا راست می رود) یا منفی باشد (هنگامی که رو به سمت پایین یا چپ می رود). ارتباط بین تغییر مکان (displacement) و مسافت پیموده شده (distance traveled) مشابه همین است: مسافت پیموده شده همواره مثبت (یا صفر) است، اما رفتن به سمت پایین یا سمت چپ به عنوان تغییر مکان منفی محاسبه می شود. در گفتار روزمره، سرعت و مسافت طی شده، مفاهیم ساده تری هستند، اما هنگامی که پای حسابان یا فیزیک به میان می آید، سرعت سیر و تغییر مکان، مفاهیم بنیادی تری هستند.
تغییر مکان کل (Total displacement)
بیایید به تجزیه و تحلیل یویو برگردیم. تغییر مکان کل به شکل موقعیت نهایی منهای موقعیت آغازین تعریف می شود. بنابراین، از آنجا که یویو در ارتفاع \(30\) آغاز می شود و در ارتفاع \(18\) پایان می یابد:
$$\text{Total displacement} = 18-30=-12 \text{ inches}$$
از آنجا که تغییر مکان خالص (net movement) رو به سمت پایین است، این مقدار منفی است.
سرعت سیر میانگین (Average velocity)
سرعت سیر میانگین با تقسیم کردن تغییر مکان کل بر زمان سپری شده بدست می آید. ما اندکی پیش تغییر مکان کلی (\(-12\) اینچ) را محاسبه کردیم، و زمان از \(0\) تا \(4\) ثانیه می رود، پس زمان سپری شده برابر با \(4\) ثانیه می باشد. بنابراین:
$$\text{Average velocity}=\frac{-12 \text{ inches}}{4 \text{ seconds}} = -3 \text{ inches per second}$$
این پاسخ منفیِ \(3\) به شما می گوید که این یویو به طور میانگین با سرعت \(3\) اینچ بر ثانیه رو به پایین می رود.
ماکزیمم و مینیمم سرعت سیر
برای تعیین ماکزیمم و مینیمم سرعت سیر این یویو در طول بازۀ \(0\) تا \(4\) ثانیه، مشتق \(V(t)\) (که برابر با \(A(t)\)) است، برابر با صفر قرار داده و حل کنید:
$$V'(t)=A(t)=6t-12 \\
6t-12=0 \\
6t=12 \\
t=2$$
دوباره به شکل 4-12 بنگرید. در \(t=2\)، شما صفرِ \(A(t)\)، مینیم موضعی \(V(t)\)، و نقطۀ عطف \(H(t)\)، را بدست می آورید. اما شما هم اکنون آن را می دانید، درست است؟ اگر نه، فصل 11 را مرور کنید.
حالا، \(V(t)\) را در عدد بحرانی \(2\) و در نقاط پایانی بازه، \(0\) و \(4\)، ارزیابی کنید:
$$V(t)=3t^2-12t+5 \\
V(0)=5 \\
V(2)=-7 \\
V(4)=5$$
بنابراین، این یویو، دوبار دارای ماکزیمم سرعت سیر \(5\) اینچ بر ثانیه است ـــ در آغاز و پایان این بازه. این یویو در \(t=2\) ثانیه، به مینیمم سرعت سیر که \(-7\) اینچ بر ثانیه است، می رسد.
سرعت و مسافت طی شده
همانطور که در بخش های قبلی اشاره شد، سرعت سیر و تغییر مکان، مفاهیم فنی تری هستند، در حالیکه سرعت و مسافت طی شده، مفاهیمی متناسبتر با درک عام هستند. مسلماً، سرعت چیزی است که بر روی سرعت سنج خوردویتان می بینید، و می توانید مسافت طی شده را بر روی کیلومتر شمار یا سفر سنج، بعد از اینکه آن را بر روی صفر تنظیم کردید، ببینید.
مسافت طی شدۀ کل
برای تعیین مسافت کل، مسافت های پیموده شده در هر مرحله از سفر یویو، را با یکدیگر جمع بزنید: مرحلۀ بالایی، مرحلۀ پایینی، و مرحلۀ بالایی دوم.
در ابتدا این یویو از ارتفاع \(30\) اینچ به حدود \(31.1\) اینچ می رود (جایی که اولین نقطۀ بازگشت قرار دارد). این مسافت در حدود \(1.1\) اینچ می باشد. در ادامه، از ارتفاع حدود \(31.1\) به حدود \(16.9\) می رود (ارتفاع دومین نقطۀ بازگشت). این مسافت برابر با \(31.1\) منهای \(16.9\)، یا در حدود \(14.2\) اینچ می باشد. در پایان، این یویو دوباره از حدود \(16.9\) اینچ تا ارتفاع نهایی اش یعنی \(18\) اینچ بالا می رود. این \(1.1\) اینچ دیگری می باشد. این سه مسافت را با یکدیگر جمع بزنید تا مسافت طی شدۀ کل را بدست آورید:
$$\sim 1.1+ \sim 14.2 + \sim 1.1 \approx 16.4 \text{ inches}$$
توجه: این پاسخ را با تغییر مکان کل که \(-12\) بود مقایسه کنید. تغییر مکان منفی است، زیرا حرکت خالص رو به سمت پایین است. و مقدار مثبت تغییر مکان (یعنی \(12\)) کمتر از مسافت طی شدۀ \(16.4\) می باشد، زیرا در تغییر مکان مرحلۀ سفر رو به بالایِ یویو، مرحلۀ مسافت رو به پایین را خنثی می کند. به عملیات ریاضی آن نگاهی بیندازید:
$$1.1 - 14.2+1.1=-12$$
قضیه را گرفتید؟
سرعت میانگین (Average speed)
سرعت میانگین این یویو با تقسیم مسافت طی شدۀ کل بر زمان سپری شده، بدست می آید. بنابراین:
$$\text{Average speed} \approx \frac{16.4}{4} \approx 4.1 \text{ inches per second}$$
ماکزیمم و مینیمم سرعت
شما پیشتر سرعت سیر ماکزیمم این یویو (\(5\) اینچ بر ثانیه) و سرعت سیر مینیمم آن (\(-7\) اینچ بر ثانیه) را تعیین کردید. سرعت سیر \(-7\) برابر با سرعت \(7\) می باشد، بنابراین آن ماکزیمم سرعت این یویو است. مینیمم سرعت آن یعنی صفر در دو نقطۀ چرخش آن رخ می دهد.
یک روش خوب برای تجزیه و تحلیل سرعت ماکزیمم و مینیمم اینست که تابع سرعت و نمودار آن را در نظر بگیریم. سرعت برابر با قدرمطلق سرعت سیر می باشد. بنابراین، در مورد مسالۀ یویویِ ما، تابع سرعت، \(S(t)\)، برابر با \(|V(t)|=|3t^2-12t+5|\) می باشد. نمودار \(S(t)\) را در شکل 5-12 بررسی کنید. با نگاه کردن به این نمودار، به سادگی می توانید ببینید که سرعت ماکزیمم این یویو در \(t=2\) رخ می دهد (سرعت ماکزیمم برابر است با: \(S(2)=|3(2)^2-12(2)+5|=7\)) و سرعت مینیمم آن در صفر و در دو طول از مبدأ (x-intercepts) رخ می دهد.
ماکزیمم و مینیمم سرعت: در مورد یک تابع پیوستۀ سرعت سیر (velocity function)، هرگاه که سرعت سیر ماکزیمم و مینیمم دارای علامتهای متضاد یکدیگر باشند یا وقتیکه یکی از آنها برابر با صفر باشد، سرعت مینیمم (minimum speed) برابر با صفر می باشد. هرگاه که ماکزیمم و مینیمم سرعت سیر، هر دو مثبت یا هر دو منفی باشند، سپس سرعت مینیمم کمتر از قدر مطلق های ماکزیمم و مینیمم سرعت سیر می باشد. در تمامی موارد، سرعت ماکزیمم، بزرگتر از قدر مطلق های ماکزیمم و مینیمم سرعت سیر می باشد.
شتاب (acceleration)
بیایید شتاب را بررسی کنیم: پدال گاز را تا انتها فشار دهید.
شتاب مثبت و شتاب منفی
نمودار تابع شتاب، \(A(t)=6t-12\) ، در قسمت پایینِ شکل 4-12 یک خط ساده است. مشاهدۀ اینکه شتاب این یویو از مینیمم \(-12 \frac{\text{inches per second}}{\text{second}}\) در \(t=0 \text{ seconds}\) به ماکزیمم \(12 \frac{\text{inches per second}}{\text{second}}\) در \(t=4 \text{ seconds}\) می رسد، و اینکه این شتاب در \(t=2\) ، زمانیکه این یویو به سرعت سیر مینیممش (و سرعت ماکزیممش) می رسد برابر با صفر است، ساده است. هنگامی که شتاب منفی است ـــ در بازۀ \([0,2)\) ـــ بدین معناست که سرعت سیر کاهش می یابد. هنگامی که شتاب مثبت است ـــ در بازۀ \((2,4]\) ـــ سرعت سیر افزایش می یابد.
سرعت گرفتن و کاهش سرعت
کشف اینکه چه زمانی این یویو سرعت می گیرد و سرعتش کاهش می یابد احتمالاً جذابتر است و حرکت این یویو را بهتر از اطلاعاتی که در بخش قبل ارائه شد، توصیف می کند. هرگاه که سرعت سیر و شتاب حسابان هر دو مثبت یا هر دو منفی باشند، سرعت یک شیء بالا می رود (چیزی که در زندگی روزمره به نام شتاب می شناسیم). و هنگامی که سرعت سیر و شتاب حسابان هر دو دارای علامتهای متضاد یکدیگر باشند، سرعت یک شیء کاهش می یابد (چیزی که در زندگی روزمره به نام کاهش سرعت می شناسیم).
دوباره به سه نمودار موجود در شکل 4-12 بنگرید. از \(t=0\) تا حدود \(t=0.47\)، سرعت سیر مثبت و شتاب منفی می باشد، بنابراین این یویو در حالیکه رو به سمت بالا می رود سرعتش کاهش می یابد (تا اینکه سرعت سیر آن به صفر می رسد و یویو به ماکزیمم ارتفاعش می رسد). به زبان ساده، این یویو از \(0\) تا حدود \(0.47\) ثانیه، کاهش سرعت می یابد. بیشترین کاهش سرعت در \(t=0\) رخ می دهد که در آن این کاهش سرعت برابر با \(12 \frac{\text{inches per second}}{\text{second}}\) می باشد (نمودار آن منفی \(12\) را نشان می دهد، اما من آن را مثبت \(12\) می نامم، زیرا من آن را یک کاهش سرعت نامیده ام، موضوع را گرفتید؟)
از حدود \(t=0.47\) تا \(t=2\)، هم سرعت سیر و هم شتاب منفی هستند، بنابراین این یویو همچنانکه رو به پایین می آید، سرعتش بالاتر می رود. از \(t=2\) تا حدود \(t=3.53\) سرعت سیر منفی می باشد و شتاب مثبت می باشد، بنابراین این یویو دوباره همچنانکه رو به پایین ادامه می یابد، سرعتش کاهش می یابد (تا اینکه به پایین ترین سطح ارتفاع خودش برسد). در نهایت از حدود \(t=3.53\) تا \(t=4\) هم سرعت سیر و هم شتاب مثبت می باشند، بنابراین این یویو مجدداً سرعتش بالا می رود. این یویو در \(t=4\) ثانیه به بالاترین شتابش \(12 \frac{\text{inches per second}}{\text{second}}\) می رسد.
گره زدن همۀ اینها با یکدیگر
به ارتباطات زیر بین این سه نمودار موجود در شکل 4-12 توجه کنید. بخش منفی از نمودار \(A(t)\) ـــ از \(t=0\) تا \(t=2\) ـــ با بخش در حال کاهش از نمودار \(V(t)\) و بخش دارای تقعر رو به پایین از نمودار \(H(t)\)، متناظر می باشد. بازۀ مثبت از نمودار \(A(t)\) ـــ از \(t=2\) تا \(t=4\) ـــ با بازۀ در حال افزایش از نمودار \(V(t)\) و با بخش دارای تقعر رو به بالا از نمودار \(H(t)\)، متناظر می باشد. هنگامی که \(t=2\) ثانیه باشد، \(A(t)\) داری یک صفر، \(V(t)\) دارای یک مینیمم موضعی، و \(H(t)\) دارای یک نقطۀ عطف می باشد.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: